Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций

 

Пусть  - произвольная конечная односвязная область, ограниченная простым замкнутым гладким контуром L.

Определение 5.1. (см, напр., [19], с. 11) Функция комплексного переменного  называется бианалитической в области , если она имеет в этой области непрерывные частные производные по  и  до второго порядка включительно и удовлетворяет там дифференциальному уравнению

 

 

где  - дифференциальный оператор Коши - Римана,

Рассмотрим следующую задачу: требуется найти все бианалитические в  функции , удовлетворяющие на  следующим условиям:

 (5.1)

 (5.2)

 

где ,  (k = 0, 1) - заданные на  функции, причем  и  на .

Сформулированную выше задачу назовем задачей H₂, а соответствующую однородную задачу ( ) - задачей H₂°.

 

2.2 Метод решение задачи H ₂

Решение задачи будем искать в виде

 

 (6.1)

 

где

С учетом формулы (6.1) и того, что (k = 0, 1), краевые условия (4.1) и (4.2) можно переписать в виде

 (6.2)

 (6.3)

Равенство (6.3) представляет собой краевое условие скалярной задачи Гильберта для аналитической функции  в области . Перепишем условие (6.3) в комплексной форме

 

 (6.4)

где

 

Пусть  Решим задачу Гильберта (6.4) относительно . Решение задачи (6.4) при  задается следующей формулой (см. § 3):

 (6.5)

где  - определенная аналитическая в  функция, S - оператор Шварца, а

 

 - произвольная действительная постоянная, , k = 1, …, n, - произвольные комплексные постоянные, a  - функция, конформно отображающая область  плоскости  на единичный круг так, что некоторая точка  переходит в начало координат  и .

При , для того, чтобы задача имела аналитическое решение, нужно потребовать выполнения условий, которым должен удовлетворять свободный член для того, чтобы решение задачи было возможно.

Подставляя в (6.2) найденное по формуле (6.5) граничное значения аналитической функции , после некоторых преобразований, получаем краевое условие скалярной задачи Гильберта для определения аналитической функции :

 

 (6.6)

 

где

 (6.7)

Запишем условие (6.6) в виде

 

 (6.8)

 

где

Пусть  Решим скалярную задачу Гильберта (6.8) относительно . Решение задачи (6.8) при  задается следующими формулой (см. § 3):

 

 (6.9)

 

где  - определенная аналитическая в  функция, S - оператор Шварца, а

 

 

 - произвольная действительная постоянная, , k = 1, …, n, - произвольные комплексные постоянные, a  - функция, конформно отображающая область  плоскости  на единичный круг так, что некоторая точка  переходит в начало координат.

При , для того, чтобы задача имела аналитическое решение, нужно потребовать выполнения условий, которым должен удовлетворять свободный член для того, чтобы решение задачи было возможно.

Наконец, по найденным функциям  и , решение искомой задачи H₂ определим по формуле

 

 (6.10)

 

Обратно, если (6.10) есть решение задачи (5.1), (5.2), то аналитическая функция удовлетворяет краевому условию (6.3), а функция  - краевому условию (6.6).

Таким образом, получили следующий результат.

Теорема 6.1. Задача H₂ сводится к последовательному решению двух скалярных задач Гильберта (6.3) и (6.6) относительно неизвестных аналитических функций  и  соответственно. При этом в задаче Гильберта (6.6) свободный член  краевого условия содержит граничные значения аналитической функции .

 

3. Решение конкретных примеров

 

Пример 1. Пусть . Требуется найти все бианалитические в  функции , удовлетворяющие на  условиям:

 

 (1а)

 (2а)

 

Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1а) - (2а) в виде:

 

 (3а)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2а) принимает вид:

 

 (4а)

 

В комплексной форме равенство (4а) можно записать так:

 

 (5а)

 

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в  функцию

 

краевое условие (5а) перепишем в виде:

 

 (6а)

 

Но равенство (6а) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно функций и Общее решение задачи Римана (6а) задается так (см., напр., [6], с. 111):

 (7а)

 

где с₀ - произвольная комплексная постоянная.

Потребуем теперь от функций (7а) выполнения условий «симметрии»

 

 

Отсюда следует, что c₀ - чисто мнимая постоянная, т.е.

Итак, общее решение задачи Гильберта (4а) имеет вид

 

 (8а)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (3а) краевое условие (1а) можно записать так:

 

 

Подставив в последнее равенство вместо  граничное значение функции (8а), получим

 

 (9а)

 

Равенство (9а) можно переписать так:

 

 (10а)

 

Для решения задачи Гильберта (10а) введем в рассмотрение аналитическую в  функцию

 

 (11а)

 

Так как

 

 (12а)

 

то равенство (10а) можно переписать так

 (13а)

 

Но равенство (13а) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и  Индекс задачи Римана (13а) равен 2, так как . Следовательно, задача Римана (13а) безусловно разрешима и ее общее решение можно задать в виде (см., напр., [6], с. 111):

 

 (14а)

 

где с₁, с₂, с₃ - произвольные комплексные постоянные.

Далее потребуем от функций (14а) выполнения условий «симметрии» (12а), т.е.

 

 (15а)

 

Равенство (15а) равносильно тому, что справедлива система

 

 (16а)

 

Пусть c_k =α _k + iβ _k, k=1, 2, 3, где α _k, β _kÎ R. Тогда система (16a) примет вид:

 (17а)

 

Преобразуем систему (17а) к виду

 

 (18а)

 

Из системы (18а) находим, что β ₃= β ₁, α ₂ = 0, α ₃ = -1 - α ₁; β ₀, β ₁, β ₂, α ₁ - любые действительные числа. Подставляя найденные значения α ₃ и β _k, k = 0, 1, 2 в (14а) получаем

 

 (19а)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Из (3а) получаем общее решение задачи (1а) - (2а)

 

(20а)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1а) - (2а) в виде:

 

 (IIIа)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2а) принимает вид:

 

 (IVа)

 

Но равенство (IVа) есть краевое условие скалярной задачи Гильберта относительно функции . Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

В комплексной форме равенство (IVа) можно записать так:

 

 (Vа)

 

В данном случае , . Индекс , .

Найдем сначала общее решение однородной задачи

 

 (VIа)

 

Так как индекс данной задачи равен 0, то согласно лемме 2.2 ее решение будет задаваться формулой

 

 (VIIа)

 

Общее решение задачи (IVа) определим по формуле (2.36)

 

 (VIIIа)

где b₀ - действительная постоянная.

Итак, общее решение задачи Гильберта (IVа) имеет вид

 

 (IXа)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (IIIа) краевое условие (1а) можно записать так:

 

 

Подставив в последнее равенство вместо  граничное значение функции (IXа), получим

 

 (Xа)

 

Равенство (Xа) можно переписать так:

 

 (XIа)

 

Для задачи Гильберта (Xа) имеем , . Используя лемму 2.3 получим общее решение однородной задачи Гильберта

 

 (XIIа)

где - произвольная действительная постоянная, а - произвольная комплексная постоянная.

Общее решение задачи (Xа) определим по формуле (2.36)

 

 (XIIIа)

 

где - произвольная действительная постоянная, а - произвольная комплексная постоянная.

Пусть c₁ =α ₁ + iβ ₁, где α ₁, β ₁Î R. Тогда (XIIIа) примет вид:

 

 (XIVа)

 

Переобозначив , получим

 

 (XVа)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Из (3а) получаем общее решение задачи (1а) - (2а)

 

(XVIа)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Ответ:

где - произвольные действительные постоянные.

Пример 2. Пусть . Требуется найти все бианалитические в функции , удовлетворяющие на  условиям:

 

 (1б)

         (2б)

 

Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1б) - (2б) в виде:

 

 (3б)

 

где

Так как , то краевые условия (1б) и (2б) можно переписать в следующем виде:

 

 (4б)

 (5б)

 

Но равенство (5б) есть краевое условие задачи Гильберта относительно аналитической в  функции .

Краевое условие (5б) можно переписать так

 

 (6б)

Далее вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в области функцию

 

 

краевое условие (6б) можно переписать в виде

 

 (7б)

 

При выводе (7б) мы учли условие «симметрии»

 

 (8б)

 

Но равенство (7б) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и .

Так как , то задача Римана (7б) безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулами:

 

 (9б)

 (10б)

 

где с₀, - произвольная комплексная постоянная.

Потребовав от функций (9б) и (10б) выполнения условий «симметрии» (8б), получим

 или

 (11б)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Итак, с учетом (11б) из (9б) получаем

 

 (12б)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Таким образом, решение задачи Гильберта (5б) задается формулой (12б).

Наконец, подставив в краевое условие (4б) вместо  граничное значение функции (12б), получим

 

 или

 (13б)

 

Но равенство (13б) есть краевое условие обычной задачи Гильберта относительно аналитической функции .

Перепишем (13б) в комплексной форме:

 

 или

 (14б)

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую функцию

 

 (15б)

 

с учетом условия «симметрии»

 

 (16б)

 

из (14б) будем иметь

 

 (17б)

 

Равенство (17б) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и

Так как индекс задачи Римана (17б) , то для разрешимости задачи (17б) необходимо и достаточно выполнение следующего условия (см., напр., [6], с. 112):

 

 (18б)

 

Очевидно условие (18б) выполняются. Поэтому единственное решение задачи Римана (17б) можно задать так:

 (19б)

 (20б)

Далее не трудно заметить, что для функций (19б) и (20б) выполнится условие «симметрии» (18б).

Следовательно, единственное решение задачи Гильберта (13б) имеет вид:

 

 (21б)

 

Наконец, с учетом (12б), (21б) и (3б), решение исходной задачи (1б) - (2б) можно задавать так:

 

 или

 (22б)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1б) - (2б) в виде:

 

 (IIIб)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2б) принимает вид:

 

 (IVб)

 

Но равенство (IVб) есть краевое условие однородной задачи Гильберта относительно функции . Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

В комплексной форме равенство (IVб) можно записать так:

 (Vб)

 

Так как индекс данной задачи равен 0, то согласно лемме 2.2 ее решение будет задаваться формулой

 

 (VIб)

 

где  - произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (IIIб) краевое условие (1б) можно записать так:

 

 

Подставив в последнее равенство вместо  граничное значение функции (VIб), получим

 

 (VIIб)

 

Равенство (VIIб) можно переписать так:

 

 (VIIIб)

 

Для задачи Гильберта (VIIIб) имеем , .

Сначала проверим выполняются ли условия разрешимости (2.42)

, (IXб)

 

Так как условия разрешимости выполняются, то общее решение задачи (VIIIб) определим по формуле (2.38).

 

 (Xб)

 

решение исходной задачи (1б) - (2б) можно задавать так:

 

 (XIб)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Ответ:  где - произвольная действительная постоянная.

Пример 3. Пусть . Требуется найти все бианалитические в  функции , удовлетворяющие на  условиям:

 

 (1в)

 (2в)

 

Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1в) - (2в) в следующем виде:

 (3в)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2в) принимает вид:

 

 (4в)

 

В комплексной форме равенство (4в) можно записать так:

 

 (5в)

 

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в  функцию

 

 

краевое условие (5в) перепишем в виде:

 

 (6в)

 

Но равенство (6в) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно функций и  Так как индекс однородной задачи Римана (6в) , то задача (6в) неразрешима (см., напр., [6], с. 110). Следовательно, исходная задача (1в) - (2в) имеет только тривиальное решение.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1в) - (2в) в виде:

 

 (III в)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2в) принимает вид:

 

 (IV в)

 

Равенство (IV в) есть краевое условие однородной задачи Гильберта относительно функции . Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в §2.

Так как индекс данной задачи равен , то согласно лемме 2.4 она имеет лишь тривиальное решение.

Ответ: задача имеет тривиальное решение.

 

Заключение

 

В данной работе рассматривается одна из модельных краевых задач типа Гильберта в классах бианалитических функций в односвязной области.

Пользуясь общим представлением бианалитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также известной теорией краевых задач Гильберта в классах аналитических функций, автор разработал общий метод решения рассматриваемой задачи.

В заключительной части работы построены конкретные примеры, на которых иллюстрируется разработанный общий метод решения задачи типа Гильберта H₂ для бианалитических функций в единичном круге.

 

Список литературы

 

1. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976.

2. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1970. - 379 с.

.   Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 79, №6. - С. 921-924.

.   Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций: Джсс… канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1952. - 69 с.

.   Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

.   Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

.   Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 626 с.

.   Жегалов В.И. О задачах с производными в краевых условиях // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-тю - 1973. - Вып. 10. - С. 38-52.

.   Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-тю - 1975. - Вып. 12. - С. 50-57.

.   Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-тю - 1976. - Вып. 13. - С. 80-85.

.   Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

.   Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: Дисс… канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Одесса, 1991.142 с.

.   Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977.

.   Литвинчук Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 174, N б. - С. 1268-1270.

.   Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 511 с.

.   Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: Мир, 1976. - 493 с.

.   Привалов И.И. Граничные свойсва аналитических функций. - М.-Л., 1950. - 336 с.

.   Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 320, №2. - с. 284-288.

.   Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. - Смоленск: Изд-во СГПУ. - 1998. - 344 с.

.   Рогожин B.C. Новое интегральное представление кусочно аналитической функции и его приложение // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 135, №4, - С. 791-793.

.   Сабитов И.Х. Об одной граничной задаче теории функций // Изв. АН Тадж.ССР, Сер. ест. наук. - 1961. - Т. 4

гильберт бианалитический регуляризующий множитель

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: