О решении однородной задачи Гильберта (2.4)

Рассмотрим сначала случай, когда При этом предварительно найдем одно частное решение следующей простейшей неоднородной задачи Гильберта:

 

, (2.12)

 

где под понимается однозначная функция класса .

Известно (см., напр., [13], с. 180), что одним из решений задачи (2.12) является функция

 

, (2.13)

 

где   - решение интегрального уравнения

 

. (2.14)

 

Нетрудно проверить, что единственным решением интегрального уравнения Фредгольма (2.14) является функция

 

, (2.15)

 

где .

В силу (2.15) из (2.13) получим частное решение задачи (2.12) в следующем виде

. (2.16)

Замечание 2.2. Из равенства (2.12) вытекает, что для граничных значений аналитической в  функции  справедливо тождество:

 

. (2.17)

 

С учетом (2.17) из (2.4) получим

 

, . (2.18)

 

Но, в силу леммы 2.1, общее решение краевой задачи (2.18) задается в виде

 

 или , (2.19)

 

где   - произвольная действительная постоянная.

Таким образом, справедлива

Лемма 2.2. Если , то общее решение однородной задачи Гильберта (2.4) можно задавать формулой (2.19).

Пусть теперь , где   - отличное от нуля целое число.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию . Ясно, что  и , .

Как показано выше, функция

, где ,

 

удовлетворяет условию

 

. (2.20)

 

Следуя Г.С. Литвинчуку (см. [13], c. 183) функцию вида

, , (2.21)

будем называть канонической функцией задачи Гильберта (2.4).

Нетрудно проверить, что на  справедливо тождество («факторизация коэффициента» ):

 

, . (2.22)

 

С учетом (2.22) из (2.4) получим

 

, . (2.23)

 

Далее отдельно исследуем два случая:  и .

Случай 1. Пусть . Тогда функция  может иметь в точке  полюс порядка . Поэтому она представима в виде

 

, (2.24)

 

где   - аналитическая в  функция, непрерывная в , а , , - произвольные комплексные постоянные.

В силу (2.24) из (2.23) получаем

 

, (2.25)

где .

 

Теперь вводя в рассмотрение функции

 

, , (2.26)

 

краевое условие (2.25) можно записать так:

 

, (2.27)

 

где .

Но равенство (2.27) представляет собой краевое условие известной задачи о скачке (см., например, [6], с. 107) и ее решение задается в виде

 

, (2.28)

 

где   - произвольная комплексная постоянная.

Из (2.28) получаем

 

 (2.29)

 

Поскольку должно выполняться условие «симметрии»

 

, ,

 

то в (2.29) , т.е.   - действительная постоянная.

Итак, общее решение краевой задачи (2.25) имеет вид:

 

, (2.30)

 

где ,   - произвольные комплексные постоянные, а   - произвольная действительная постоянная.

С учетом (2.30) из (2.24) получаем общее решение однородной задачи Гильберта (2.4) при :

 

. (2.31)

 

Лемма 2.3. При  общее решение однородной задачи (2.4) задается в виде (2.31) и оно зависит от  произвольных действительных постоянных.

Случай 2. Пусть теперь . В этом случае из (2.23) видно, что функция  является аналитической в круге , причем . Следовательно, в силу леммы 2.1 общим решением задачи (2.23) является произвольная постоянная, т.е. . Но поскольку , то .

Лемма 2.4. Если , то однородная задача Гильберта (2.4) не имеет нетривиальных решений.

Перейдем теперь к решению неоднородной задачи Гильберта (2.2).

Поскольку имеет место факторизация (2.22), то краевое условие (2.2) можно переписать так:

 

, . (2.32)

 

Здесь, также как и при решении однородной задачи, отдельно рассмотрим два случая:  и .

Случай 1. Пусть . В этом случае функция  может иметь полюс порядка  в точке . Следовательно, имеет место представление (2.24). С учетом (2.24) краевое условие (2.32) можно переписать так:

 

, . (2.33)

 

Поскольку одним из решений краевой задачи

 

, , (2.33а)

 

является функция (см., [13], с. 180)

, (2.34)

 

где - некоторая действительная постоянная, а общее решение задачи (2.27) задается в виде (2.30), то общее решение задачи (2.33) можно задавать так:

 

, (2.35)

 

где   - произвольная действительная постоянная.

Тогда из (2.24) с учетом (2.35) получим общее решение неоднородной задачи Гильберта (2.2) при :

 

, (2.36)

 

где - общее решение соответствующей однородной задачи Гильберта, задаваемое формулой (2.31).

Случай 2. Пусть теперь . В этом случае функция  является аналитической в , причем точка  является нулем порядка не ниже , т.е. . Поэтому общее решение краевой задачи (2.32) задается в виде (см. [13], с. 180):

 

, (2.37)

 

где   - произвольная действительная постоянная.

Из (2.37), в случае разрешимости, получаем решение исходной задачи Гильберта (2.2) в виде

 

. (2.38)

 

Из формулы (2.38) видно, что при  для разрешимости задачи Гильберта (2.2) необходимо и достаточно, чтобы аналитическая в  функция

 

 (2.39)

 

имела в точке  нуль порядка не ниже , т.е. .

Для того чтобы найти требуемые условия разрешимости задачи Гильберта (2.2), запишем разложение в ряд Тейлора функции  в точке :

 

. (2.40)

 

Из (2.40) видно, что для выполнения условия  должны выполняться следующие условия:

 

 (2.41)

Очевидно, что условия (2.41) можно переписать в виде следующих  действительных условий разрешимости:

 

, , (2.42)

 

,

где положено

 

. (2.43)

 

Итак, в случае  (и с учетом (2.43)), при выполнении  действительных условий разрешимости (2.42), единственное решение задачи Гильберта (2.2) можно задавать формулой (2.38), где  определяется формулой (2.43).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если , то неоднородная задача Гильберта (2.2) безусловно разрешима и ее общее решение задается формулой (2.36), причем оно линейно зависит от  произвольных действительных постоянных. Если же , то для разрешимости неоднородной задачи Гильберта (2.2) необходимо и достаточно выполнения  действительных условий (2.42). При выполнении указанных условий разрешимости единственное решение этой задачи можно задавать формулой (2.38), где  определяется по формуле (2.43).

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: