![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Общая характеристика переходных процессов в цепях второго порядка
Цепями второго порядка называются цепи, в которых содержится два накопителя энергии: индуктивность и емкость. Электрические цепи второго порядка бывают разветвленными и неразветвленными. К неразветвленным цепям второго порядка относится последовательный колебательный контур. К разветвленным цепям второго порядка относятся Г-образные фильтры нижних и верхних частот. Электромагнитные процессы в цепях второго порядка описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Например, дифференциальное уравнение относительно тока в последовательном колебательном контуре можно получить из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений тока и напряжений:
После дифференцирования (3.2) получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока
Обозначим, как и ранее, искомый ток i ( t ) через Y и разделим левую и правую части (3.3) на L, получим дифференциальное уравнение второго порядка:
где - коэффициент затухания; - резонансная частота контура; - правая часть дифференциального уравнения (3.3).
Из курса математики известно, что решение дифференциального уравнения второго порядка, также как и первого, представляется в виде двух слагаемых:
где Y пр ( t ) - принужденная составляющая искомого тока или напряжения, которая зависит от вида источника напряжения, оставшегося в цепи после коммутации; Y св ( t ) - свободная составляющая, характер которой определяется только структурой цепи образовавшейся после коммутации. Для решения дифференциального уравнения второго порядка, также как и первого, и по тем же правилам, составляется характеристическое уравнение, которое, в общем, имеет вид:
Корни этого уравнения:
Свободная составляющая искомого тока или напряжения записывается в виде:
где A 1, A 2 - неизвестные постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий. Допустим, что для цепи второго порядка составлено характеристическое уравнение (3.6) и определены его корни (3.7), а также найдены принужденные составляющие искомых токов и напряжений. Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде:
Для определения двух неизвестных В качестве первого уравнения используется уравнение (3.9), а в качестве второго – используется первая производная от (3.9).
Совместное решение системы (3.11) дает:
После подстановки корней характеристического уравнения (3.6) и найденных постоянных интегрирования (3.12) в формулу общего решения (3.9) и преобразования, получим закон изменения искомого тока или напряжения: (3.13)
где a = Y (0)- Y пр (0); b = Y ’(0)- Y ’пр(0) - постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий. Отметим, что формула (3.13) является общей для всех токов и напряжений в данной цепи второго порядка. При этом меняются только коэффициенты a и b и их размерность. При решении конкретных задач могут представиться три случая. Случай 1 . Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и разные, что возможно при d> wk. В этом случае после коммутации в цепи возникает апериодический режим, при котором все токи и напряжения изменяются плавно, без колебаний, а их законы описываются уравнением (3.13). Случай 2 . Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и одинаковые, что возможно при d=wk. В этом случае в цепи после коммутации возникает критический режим. При d = w k, b = Ö d 2 - w k 2 =0, P 1 = P 2 =- d, формула (3.13) приобретает другой вид, поскольку
Подстановка полученных результатов в (3.13) дает формулу для расчета законов изменения токов и напряжений в критическом режиме:
В критическом режиме токи и напряжения, как видно из (3.14), изменяются также плавно, как в апериодическом режиме. Критический режим лежит на границе между апериодическим и колебательным, к рассмотрению которого приступаем. Случай 3 . Корни характеристического уравнения (3.7) комплексные сопряженные, что возможно при d < w k. В этом случае в цепи после коммутации возникает колебательный режим.
где - частота свободных колебаний.
Корни характеристического уравнения в этом случае принимают вид: P 1 = - d + j * w св; P 2 = - d - j * w св.
Если в формуле (3.13) заменить b = j * w св, то получим:
Поскольку, законы изменения токов и напряжений в колебательном режиме принимают вид: (3.15)
Подчеркнем еще раз, что формулы (3.13), (3.14) и (3.15) являются общими для всех токов и напряжений в цепях второго порядка.
|
Последнее изменение этой страницы: 2020-02-16; Просмотров: 149; Нарушение авторского права страницы