Общая характеристика переходных процессов в цепях второго порядка

 

Цепями второго порядка называются цепи, в которых содержится два накопителя энергии: индуктивность и емкость.

Электрические цепи второго порядка бывают разветвленными и неразветвленными. К неразветвленным цепям второго порядка относится последовательный колебательный контур. К разветвленным цепям второго порядка относятся Г-образные фильтры нижних и верхних частот.

Электромагнитные процессы в цепях второго порядка описываются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Например, дифференциальное уравнение относительно тока в последовательном колебательном контуре можно получить из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений тока и напряжений:

 

После дифференцирования (3.2) получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока

 

 

Обозначим, как и ранее, искомый ток i ( t ) через Y и разделим левую и правую части (3.3) на L, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

 

где                 - коэффициент затухания;

- резонансная частота контура;

 - правая часть дифференциального уравнения (3.3).

 

Из курса математики известно, что решение дифференциального уравнения второго порядка, также как и первого, представляется в виде двух слагаемых:

 

 

где Y _пр ( t ) - принужденная составляющая искомого тока или напряжения, которая зависит от вида источника напряжения, оставшегося в цепи после коммутации;

Y _св ( t ) - свободная составляющая, характер которой определяется только структурой цепи образовавшейся после коммутации.

Для решения дифференциального уравнения второго порядка, также как и первого, и по тем же правилам, составляется характеристическое уравнение, которое, в общем, имеет вид:

 

 

Корни этого уравнения:

 

где.

 

Свободная составляющая искомого тока или напряжения записывается в виде:

 

                                              (3.8)

 

где A ₁, A ₂ - неизвестные постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий.

Допустим, что для цепи второго порядка составлено характеристическое уравнение (3.6) и определены его корни (3.7), а также найдены принужденные составляющие искомых токов и напряжений. Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде:

 

.                                (3.9)

 

Для определения двух неизвестных  и  необходимо составить два уравнения.

В качестве первого уравнения используется уравнение (3.9), а в качестве второго – используется первая производная от (3.9).

 

 

Рассматривая (3.9) и (3.10) на момент t =0, получим два уравнения с двумя неизвестными A ₁ и A ₂:

 

 

Совместное решение системы (3.11) дает:

 

 

После подстановки корней характеристического уравнения (3.6) и найденных постоянных интегрирования (3.12) в формулу общего решения (3.9) и преобразования, получим закон изменения искомого тока или напряжения:

              (3.13)

 

где a = Y (0)- Y _пр (0); b = Y ’(0)- Y ’_пр(0) - постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Отметим, что формула (3.13) является общей для всех токов и напряжений в данной цепи второго порядка. При этом меняются только коэффициенты a и b и их размерность.

При решении конкретных задач могут представиться три случая.

Случай 1 . Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и разные, что возможно при d> w_k.

В этом случае после коммутации в цепи возникает апериодический режим, при котором все токи и напряжения изменяются плавно, без колебаний, а их законы описываются уравнением (3.13).

Случай 2 . Корни характеристического уравнения (3.7) действительные и одинаковые, что возможно при d=w_k.

В этом случае в цепи после коммутации возникает критический режим.

При d = w _k, b = Ö d ² - w _k ² =0, P ₁ = P ₂ =- d, формула (3.13) приобретает другой вид, поскольку

 

 

 

Подстановка полученных результатов в (3.13) дает формулу для расчета законов изменения токов и напряжений в критическом режиме:

 

 

В критическом режиме токи и напряжения, как видно из (3.14), изменяются также плавно, как в апериодическом режиме.

Критический режим лежит на границе между апериодическим и колебательным, к рассмотрению которого приступаем.

Случай 3 . Корни характеристического уравнения (3.7) комплексные сопряженные, что возможно при d < w _k.

В этом случае в цепи после коммутации возникает колебательный режим.

При d < w _k  имеем:

где - частота свободных колебаний.

 

Корни характеристического уравнения в этом случае принимают вид:

P ₁ = - d + j * w _св; P ₂ = - d - j * w _св.

 

Если в формуле (3.13) заменить b = j * w _св, то получим:

.

 

Поскольку, законы изменения токов и напряжений в колебательном режиме принимают вид:

    (3.15)

 

Подчеркнем еще раз, что формулы (3.13), (3.14) и (3.15) являются общими для всех токов и напряжений в цепях второго порядка.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: