Эквивалентные операторные схемы

 

Вышеприведенные формулы (4.7) и (4.8), выражающие законы Кирхгофа в операторной форме справедливы при нулевых начальных условиях:

i_L (0)=0 и U_C (0)=0.

 

Если до возникновения переходного процесса цепь обладала запасом энергии в виде электрического и магнитного полей, то, естественно, этот запас энергии необходимо учесть при составлении операторных уравнений. Надо ожидать, что законы Ома и Кирхгофа в этом случае изменяются в своей записи и примут более общую форму, из которой, как частный случай, должны вытекать формулы для нулевых начальных условий.

При ненулевых начальных условиях формула (4.3) принимает следующий вид:

 

где i (0) - ток через индуктивность в момент коммутации (t=0).

Этому операторному уравнению соответствует следующая эквивалентная операторная схема замещения (Рис.4.1)

 

                                 

			I(P)

 

а)                                                в)

Рис. 4.1. Исходная а) и в) операторная схема замещения индуктивности: E_L = L * i (0) – внутренний источник напряжения, направление которого совпадает с направлением тока.

 

При ненулевых начальных условиях уравнение (4.4) принимает вид:

        

 

 

где U_C (0) - напряжение на емкости в момент коммутации.

Операторному уравнению (4.10) соответствует следующая эквивалентная операторная схема замещения (Рис.4.2):

 

                                                       

 

Рис. 4.2. Исходная а) и в) эквивалентная операторная схема замещения емкости

 - внутренний источник напряжения, направление которого противоположно направлению тока.

Расчет переходных процессов операторным методом сводится к выполнению следующих операций:

· вместо источников напряжений, оставшихся в цепи после коммутации, вводятся их операторные изображения e ( t ) ® E ( P );

· вместо всех искомых токов и напряжений на пассивных элементах вводятся пока неизвестные их изображения:

 

 

· вместо индуктивности и емкости рисуются их операторные схемы замещения, как показано на Рис.4.1 и Рис.4.2; при этом комплексные сопротивления заменяются операторными, а при ненулевых начальных условиях в операторную схему замещения вводятся внутренние источники напряжений

 

 

 

Активное сопротивление  остается без изменений.

Искомые изображения токов и напряжений могут быть определены любым известным методом расчета установившихся режимов (по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др.).

Рассмотрим, для примера, электрическую схему Рис.4.3а, в которой до коммутации был установившийся режим. В момент коммутации t =0 происходит короткое замыкание резистора R ₁ и в цепи возникает переходной процесс.

Определим изображения токов в ветвях с индуктивностью и емкостью.

 

 

                                                  

а)                                                          в)

Рис. 4.3. Исходная а) и ее операторная схема замещения в)

 

Операторный метод, как и классический, предусматривает, в первую очередь, определить независимые начальные условия.

В исходной схеме до коммутации был установившийся режим, при котором:

 

 

Для определения неизвестных изображений токов через индуктивность и емкость составим операторную схему замещения (рис.4.3 в), а затем составим два уравнения по второму закону Кирхгофа:

 

 

где

Отсюда определяем неизвестные изображения токов

                                 (4.11)

Определение оригинала по известному изображению

 

Из вышеизложенного следует, что по законам Ома и Кирхгофа в операторной форме всегда можно найти изображения искомых токов и напряжений. После этого возникает обратная задача: по известному изображению тока или напряжения, например (4.11), найти соответствующий ему оригинал i ( t ), т.е. найти закон изменения тока или напряжения в функции времени.

Для нахождения оригинала пользуются готовыми таблицами, которые приводятся в учебниках и справочниках, где приводятся изображения и соответствующие им оригиналы.

Однако, в настоящее время расчет переходных процессов операторным методом можно выполнять с помощью программы Mathcad, которая позволяет производить прямое и обратное преобразование не прибегая в таблицам: laplace, invlaplace.

На нескольких примерах покажем, как производится расчет переходных процессов операторным методом в среде Mathcad.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: