Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Автор: Фильчев Э.Г.

 

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача " Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2 mn )² + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x ² + 2 bx +с = 0 ( 1 )

 

где

x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

 

( 2mn)⁶ +2( 3c – b² )(2mn)⁴+(3c – b² )²(2mn)² + [ 4( 3c – b² )³ + ( 2b³ – 9bc + 27d )²]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

 

Утверждение1 " Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)_j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D₁ = -  = - (2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃²

Определяем значение

D ₂ = - 2( 3c – b ² ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D ₁ = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32  , то в результате получим решение для (2mn)1, ( 2mn)2, ( 2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )1( 2 mn )2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )2( 2 mn )3

Задача решена!

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0

где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D₁ = = -

 

-→ D₁ = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D₂= - 2(3c - )

-→ D₂ = - 2( 3∙ 23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)₁ = 2, (2mn)₂ = 4, (2mn)₃ = 2.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X ₁ = 3 + 2 = 5 , X ₂ = 3 - 2 = 1

Здесь X ₁ = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X ₂ = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X₂ = 3

Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙ 2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

 

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D₂ = - 2(3c - )

-→ D₂ = - 2( - 400 ) = 122 = 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9²

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D₁ = 32400.

2.1 3² ∙ 7² ∙ 8² = 28224 ≠ 32400

2.2 4² ∙ 5² ∙ 9² = 32400. Этот вариант подходит!

-→ (2mn)₁₁ = 4, (2mn)₁₂ = - 4,

(2mn)₂₁ = 5, (2mn)₂₂ = - 5,

(2mn)₃₁ = 9, (2mn)₃₂ = - 9.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙ 5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X ₁ = 7, X₂ =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 7, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 4 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 4 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 5 = ( X ₂ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₂ - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X₁ = 7, X₂ = 2, X₃ = 11.

Расчет закончен!

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0

где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D₂ = - 2( 3c - )

-→ D₂ = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 1² + 3² + 22² = 2² + 7² + 21² = 7² + 11² + 18²

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант, т.к. 7² ∙ 11²  18² = 1920996

-→ (2mn)₁₁ = 7, (2mn)₁₂ = - 7,

(2mn)₂₁ = 11, (2mn)₂₂ = - 11,

(2mn)₃₁ = 18, (2mn)₃₂ = - 18.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙ 11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X₁ =  , X₂ = 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 2, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 7 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 7 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 11 = ( X ₁ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₁ - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)₂₁ = -11 = ( X ₁ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₁ + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 2, X₂ = - 5, X₃ = 13.

Расчет закончен!

 

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→ D₁ = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D₂ = - 2( 3c - )

-→ D₂ = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D₁ и D₂. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10^k.

При этом значение степени k должно определяться

- для D₂ числом знаков в мантиссе ( для данного примера k₂ = 4 )

- для D₁ = 3∙ (число знаков в мантиссе для D₂ ). -→ k₁ = 3∙ k₂ ( для данного примера k₁ = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D₁₁ = 987539062500

- D₂₁ = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А, Б, Д), при которых выполняются равенства D ₂₁ = А² + Б² + Д² и D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

Для нахождения значений чисел А, Б, Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D₂₁ в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D ₂₁ = А² + Б² + Д² и D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

- найти все варианты представления числа D₁₁ в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D ₂₁ = А² + Б² + Д² и D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

Вариант D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D₁₁ = 987539062500 = 250² ∙ 265² ∙ 15²

D₂₁ = 132950 = 250² + 265² + 15².

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k₁ и k₂. Совершая обратную операцию, получим

(2mn)₁₁ = 2.5, (2mn)₁₂ = - 2.5,

(2mn)₂₁ = 2.65, (2mn)₂₂ = - 2.65,

(2mn)₃₁ = 0.15, (2mn)₃₂ = - 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )11( 2 mn )21

-→ 3x2 - 2∙ (6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙ (2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X₁ = 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)₁₁ = 2.5 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5. Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 2.5 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)₂₁ = 2.65 = ( X ₁ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₁ – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 4, X₂ = 1.5, X₃ = 1.35.

Расчет закончен!

 

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D₁= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D₂= - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32 ],

где

- (2mn) j  - разность любой пары корней исходного уравнения

- D₁ = -

- D₂ = - 2( 3c – b ² )

- ( b, c, d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два сопряженных мнимых корня X ₂ = ( g ₂ - hi ), X ₃ = ( g ₂ + hi ). Тогда

(2 mn )₁ = ( X ₁ - X ₂ ) = ( g ₁ - g ₂ ) + hi

(2 mn )₂ = ( X ₁ - X ₃ ) = ( g ₁ - g ₂ ) – hi

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - hi - g₂ – hi = - 2hi

-→ D₁= - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + hi]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - hi]² ∙ [2 hi]²

 

-→ D ₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ²

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D ₁ = -

D ₂ = - 2( 3c - b ² )

определяются значения D ₁ и D ₂.

2. Определяются D ₁ - как произведение двух квадратов

D ₂ - как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g ₁, g ₂, h.

4. Определяются значения (2mn)₁₁, (2mn)₂₁, (2mn)₃₁

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

 

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² = 659344 = 2∙ 2∙ 2∙ 2∙ 7∙ 7∙ 29∙ 29 = 4∙ 2∙ 2∙ 7∙ 7∙ 29∙ 29= 4∙ 7² ∙ 58²

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ². Тогда можно записать

h = 7, (g₁ - g₂ )² + h² = 58 -→ (g₁ - g₂ )² = 58 – 49 = 9 -→ ( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - ( - 9) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 9 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 9, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 9 -→ 3g₁ = 15 -→ g ₁ = 5 -→ g ₂ = 2.

-→ X ₁ = 5, X ₂ = 2 + 7 i, X ₃ = 2 – 7 i

Расчет закончен!

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² = 115600 = 2∙ 2∙ 2∙ 2∙ 5∙ 5∙ 17∙ 17 = 4∙ 2∙ 2∙ 5∙ 5∙ 17∙ 17= 4∙ 5² ∙ 34²

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ². Тогда можно записать

h = 5, (g₁ - g₂ )² + h² = 34 -→ (g₁ - g₂ )² = 34 – 25 = 9 -→ ( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - ( - 30) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 30 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 30, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= - 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 30 -→ 3g₁ = 24 -→ g ₁ = 8 -→ g ₂ = 11.

-→ X ₁ = 8, X ₂ = 11 + 5 i, X ₃ = 2 – 5 i

Расчет закончен!

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 313600 = 4∙ 4²∙ 7²∙ 10² = 4∙ 40²∙ 7² = 4∙ 70²∙ 4² = 4∙ 28²∙ 10²

313600 = 4∙ 140²∙ 2² = 4∙ 7²∙ 40² = 4∙ 5²∙ 56²

-→  = 40²∙ 7² = 70²∙ 4² = 28²∙ 10² = 140²∙ 2² =5²∙ 56²

2. Пусть h ₁ ² = 7²

→ X₁ = g₁₁ =  - b ) =  - b) =

→ g₁₁ = X₁₁ = 13, X₁₂ = 9.

→ g₂₁ = -  = -  = 10

→ X _{2, 3} = g ₂₁ + h ₁ = 10 ± 7 → X ₂ = 17, X ₃ = 3

Задача решена!

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 659344 = 4∙ 2²∙ 7²∙ 29² = 4∙ 14²∙ 29² = 4∙ 7²∙ 58² = 4∙ 2²∙ 203²

-→  = 203²∙ 2² = 58²∙ 7² = 29²∙ 14²

Пусть h ₁ ² = 7²

→ X₁ = g₁₁ =  - b ) =  + 6) =  = 4

→ X₁ = 4

→ g₂₁ = -  = -  = 1

→ X_{2, 3} = g₂₁ + ih₁ = 1 ± 7i → X₂ = 1 - 7i, X₃ = 1 + 7i

 

Задача решена!

Пример 10 Дано уравнение

x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0

где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168

→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 21168 = 4∙ 2²∙ 7² ∙  = 4∙ 14²∙ = 4∙

→ D₁ =

 

Пусть h ₁ ² =

→ X₁ = g₁₁ =  - b ) =  + 6) =  = 4

→ X₁ = 4

→ g₂₁ = -  = -  = 1

→ X_{2, 3} = g₂₁ + ih₁ = 1 ± 2i → X₂ = 1 + 2i , X₃ = 1 - 2i

Сравните метод решения и результат с первоисточником.

[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев.Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]

 

Вывод новых формул

Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.

Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)

(2 mn )² + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x ² + 2 bx +с = 0

Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим

 

(2 mn )² + ( 3 x_i + b )(2 mn ) + 3 x_i ² + 2 bx_i +с = 0

→ (2 mn )² + ( 3 x ₁ + b )(2 mn ) + 3 x ₁ ² + 2 bx ₁ +с = 0

→ (2 mn )² + ( 3 x ₂ + b )(2 mn ) + 3 x ₂ ² + 2 bx ₂ +с = 0

→ (2 mn )² + ( 3 x ₃ + b )(2 mn ) + 3 x ₃ ² + 2 bx ₃ +с = 0

 

Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2 mn ) _I обязательно найдется отрицательное значение (2 mn ) _j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2 mn ) будет равна нулю.

→ ( 3 x ₁ + b ) + ( 3 x ₂ + b ) + ( 3 x ₃ + b ) = 0 → 3( x ₁ + x ₂ + x ₃ ) = - 3 b

→ ( x ₁ + x ₂ + x ₃ ) = - b.

Пример 12 Дано уравнение

x³ – 24x² + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188

-→ 1188= 4∙ 9∙ 33 = 4∙ 36∙

2. Пусть h ² =

→   = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ h ² → [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² = 36 → [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ] = ± 6

→ ( g ₁ - g ₂ )² = - 6 +  = → g ₁ - g ₂ = ±  .

Второе уравнение ( x ₁ + x ₂ + x ₃ ) = - b → ( g ₁ + g ₂ + h + g ₂ – h ) = - b → g ₁ + 2 g ₂ = 24

Таким образом, имеем два уравнения g ₁ - g ₂ = ± и g ₁ = 24 - 2 g ₂.

→ 24 - 2 g ₂ - g ₂ = ±   → g ₂ =  =   → g ₂ =   → g ₁ = 24 - 2 g ₂ → g ₁ = 24 – 17 → g ₁ = 7

→ X ₁ = 7, X ₂ =  ( 17 +  ), X ₃ =  ( 17 -  )

Задача решена!

Внимание! В данном примере имеет место множитель  в значениях X ₂ и X ₃. Этот случай обусловлен следующим

1. Разделим исходное уравнение x³ – 24x² + 183x – 448 = 0 на (x – 7)

→  = - x² + 17x – 64→ x³ – 24x² + 183x – 448= (x – 7)∙ ( x² - 17x + 64)=0.

Автор: Фильчев Э.Г.

 

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача " Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2 mn )² + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x ² + 2 bx +с = 0 ( 1 )

 

где

x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

 

( 2mn)⁶ +2( 3c – b² )(2mn)⁴+(3c – b² )²(2mn)² + [ 4( 3c – b² )³ + ( 2b³ – 9bc + 27d )²]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

 

Утверждение1 " Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)_j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D₁ = -  = - (2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃²

Определяем значение

D ₂ = - 2( 3c – b ² ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

1234Следующая ⇒

Поделиться: