Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача " Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня. Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D₁= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D₂= - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32 ],

где

- (2mn) j  - разность любой пары корней исходного уравнения

- D₁ = -

- D₂ = - 2( 3c – b ² )

- ( b, c, d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два сопряженных мнимых корня X ₂ = ( g ₂ - hi ), X ₃ = ( g ₂ + hi ). Тогда

(2 mn )₁ = ( X ₁ - X ₂ ) = ( g ₁ - g ₂ ) + hi

(2 mn )₂ = ( X ₁ - X ₃ ) = ( g ₁ - g ₂ ) – hi

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - hi - g₂ – hi = - 2hi

-→ D₁= - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + hi]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - hi]² ∙ [2 hi]²

 

-→ D ₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ²

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D ₁ = -

D ₂ = - 2( 3c - b ² )

определяются значения D ₁ и D ₂.

2. Определяются D ₁ - как произведение двух квадратов

D ₂ - как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g ₁, g ₂, h.

4. Определяются значения (2mn)₁₁, (2mn)₂₁, (2mn)₃₁

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

 

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² = 659344 = 2∙ 2∙ 2∙ 2∙ 7∙ 7∙ 29∙ 29 = 4∙ 2∙ 2∙ 7∙ 7∙ 29∙ 29= 4∙ 7² ∙ 58²

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ². Тогда можно записать

h = 7, (g₁ - g₂ )² + h² = 58 -→ (g₁ - g₂ )² = 58 – 49 = 9 -→ ( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - ( - 9) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 9 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 9, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 9 -→ 3g₁ = 15 -→ g ₁ = 5 -→ g ₂ = 2.

-→ X ₁ = 5, X ₂ = 2 + 7 i, X ₃ = 2 – 7 i

Расчет закончен!

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² = 115600 = 2∙ 2∙ 2∙ 2∙ 5∙ 5∙ 17∙ 17 = 4∙ 2∙ 2∙ 5∙ 5∙ 17∙ 17= 4∙ 5² ∙ 34²

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ². Тогда можно записать

h = 5, (g₁ - g₂ )² + h² = 34 -→ (g₁ - g₂ )² = 34 – 25 = 9 -→ ( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - ( - 30) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 30 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 30, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= - 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 30 -→ 3g₁ = 24 -→ g ₁ = 8 -→ g ₂ = 11.

-→ X ₁ = 8, X ₂ = 11 + 5 i, X ₃ = 2 – 5 i

Расчет закончен!

Новый метод решения кубических уравнений

 

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X₁ = g + h, то X₂ = g – h или X₁ = (g + h), то X₂ = (g – h), Наличие множителя  обусловлено численным значением коэффициента b при X для X³ + bX² + cX + d = ( X – X₁)∙ ( X² + b X + c ) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X₁ = g + ih, то X₂ = g – ih.

Первый случай – тривиальный. (x – a )³ = x³ – 3ax²+3a²x – a³= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

 

Три разных действительных корня

 

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g₁ ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g₂ + h)]∙ [ X – (g₂ - h)] = 0

-→ X² – 2g₂X + (g₂² – h²) = 0

-→ X₁ = g₁, X_{2, 3} = g₂ ± h -→ X₂ = ( g₂ - h), X₃ = ( g₂ + h)

-→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂ ) = ( g₁ - g₂ ) + h

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃ ) = ( g₁ - g₂ ) – h

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - h - g₂ – h = - 2h

-→ D₁ = - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + h]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - h]² ∙ [2h]²

-→ D₁ = [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ 4h² (3)

-→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [(g₁ - g₂ ) + h]² + [(g₁ - g₂ ) - h]² + 4h²

→ D₂ = - [(g₁ - g₂ )² + 2(g₁ - g₂ )∙ h + h² + (g₁ - g₂ )² - 2(g₁ - g₂ )∙ h + h² + 4h²]

→ D ₂ = - [ 2( g ₁ - g ₂ )² + 6 h ² ] = - 2 [ ( g ₁ - g ₂ )² +3 h ² ] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

 

D ₁ = -  (4)

D ₂ = - 2( 3c - b ² ), (5)

где b, c, d - коэффициенты исходного кубического уравнения.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: