Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2 mn ) _I = 0

При (2 mn ) _I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3 x ² + 2 bx +с = 0 (6)

→ X ₂ = ( g ₂ - h ), X ₃ = ( g ₂ + h ) → X ₂ = X ₃ = g ₂

→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂ ) = ( g₁ - g₂ )

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃ ) = ( g₁ - g₂ )

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - g₂ = 0

→ D₁ = - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = 0

→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² ]

→ D₂ = 2 (2mn)₁² = 2 ( g₁ - g₂ )² = - 2( 3c – b² ) = 2( b² – 3c )

→ ( g₁ - g₂ )² = ( b² - 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X ₁ + 2 X ₂

→                 g ₁ + 2 g ₂ = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g ₂ = -

→         X_{11, 12} = g_{11, 12} = [ - b ±  ]

→ X _{21, 22} = g _{21, 22} = [ - b ±  ]

Расчет закончен!

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0

где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X_{11, 12} = g_{11, 12} = [ - b ±  ] → X_{11, 12} = [ 41 ±  ] = [ 41 ±  ]

→ X₁₁ =  , X₁ = 3

X_{21, 22} = g_{21, 22} = [ - b ±  ] → g_{21, 22} = [ 41 ±  ]= [ 41 ±  ]

→ X₂₁ = 19, X₂₂ =  → X ₂ = X ₃ = 19

Расчет закончен!

Вывод основных формул

 

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D ₁ = -

2. Разделим

3. Представляем число  в виде произведения двух квадратов   = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ h ².

4. Меньший множитель принимаем за h ² → [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² =

→ ( g ₁ - g ₂ ) =  (6)

Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X₁ + X₂ + X₃ ) → b = - (g₁ + g₂ - h + g₂ +h )

→ b = - ( g ₁ + 2 g ₂ ) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X₁ = g₁ =  - b )

→                  X₁₁ = g₁₁ =  - b )             (8)

→                  X₁₂ = g₁₂ =  - b )          (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

 

7. → g₂ = -

→ g₂₁ = -

→ g ₂₂ = -

8. Определяем два остальных корня

X₂₁ = g₂₁ + h

X₂₂ = g₂₂ + h

X₃₁ = g₂₁ – h

X₃₂ = g₂₂ – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 33x2 + 311x – 663 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 313600 = 4∙ 4²∙ 7²∙ 10² = 4∙ 40²∙ 7² = 4∙ 70²∙ 4² = 4∙ 28²∙ 10²

313600 = 4∙ 140²∙ 2² = 4∙ 7²∙ 40² = 4∙ 5²∙ 56²

-→  = 40²∙ 7² = 70²∙ 4² = 28²∙ 10² = 140²∙ 2² =5²∙ 56²

2. Пусть h ₁ ² = 7²

→ X₁ = g₁₁ =  - b ) =  - b) =

→ g₁₁ = X₁₁ = 13, X₁₂ = 9.

→ g₂₁ = -  = -  = 10

→ X _{2, 3} = g ₂₁ + h ₁ = 10 ± 7 → X ₂ = 17, X ₃ = 3

Задача решена!

 

Неприводимый случай формулы Кардана

 

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два мнимых сопряженных корня

X ₂ = ( g ₂ - ih ), X ₃ = ( g ₂ + ih ).

-→ (2 mn )₁ = ( X ₁ - X ₂ ) = ( g ₁ - g ₂ ) + ih

(2 mn )₂ = ( X ₁ - X ₃ ) = ( g ₁ - g ₂ ) – ih

(2 mn )₃ = ( X ₂ - X ₃ ) = g ₂ - ih - g ₂ – ih = - 2 ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D ₁ = -

2. Разделим

3. Представляем число  в виде произведения двух квадратов   = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ h ².

4. Меньший множитель принимаем за h ² → [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² =

→ ( g ₁ - g ₂ ) =

Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X₁ + X₂ + X₃ ) → b = - (g₁ + g₂ - ih + g₂ + ih )

→ b = - ( g₁ + 2g₂ )

6. X₁ = g₁ =  - b )

→                  X₁₁ = g₁₁ =  - b )

→                  X₁₂ = g₁₂ =  - b )

7. → g₂ = -

→ g₂₁ = -

→ g ₂₂ = -

8. Определяем два остальных корня

X₂₁ = g₂₁ + h

X₂₂ = g₂₂ + h

X₃₁ = g₂₁ – h

X₃₂ = g₂₂ – h

Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6x2 + 58x – 200 = 0

где a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 659344 = 4∙ 2²∙ 7²∙ 29² = 4∙ 14²∙ 29² = 4∙ 7²∙ 58² = 4∙ 2²∙ 203²

-→  = 203²∙ 2² = 58²∙ 7² = 29²∙ 14²

Пусть h ₁ ² = 7²

→ X₁ = g₁₁ =  - b ) =  + 6) =  = 4

→ X₁ = 4

→ g₂₁ = -  = -  = 1

→ X_{2, 3} = g₂₁ + ih₁ = 1 ± 7i → X₂ = 1 - 7i, X₃ = 1 + 7i

 

Задача решена!

Пример 10 Дано уравнение

x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0

где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168

→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 21168 = 4∙ 2²∙ 7² ∙  = 4∙ 14²∙ = 4∙

→ D₁ =

 

Пусть h ₁ ² =

→ X₁ = g₁₁ =  - b ) =  + 6) =  = 4

→ X₁ = 4

→ g₂₁ = -  = -  = 1

→ X_{2, 3} = g₂₁ + ih₁ = 1 ± 2i → X₂ = 1 + 2i , X₃ = 1 - 2i

Сравните метод решения и результат с первоисточником.

[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев.Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]

 

Вывод новых формул

Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.

Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)

(2 mn )² + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x ² + 2 bx +с = 0

Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим

 

(2 mn )² + ( 3 x_i + b )(2 mn ) + 3 x_i ² + 2 bx_i +с = 0

→ (2 mn )² + ( 3 x ₁ + b )(2 mn ) + 3 x ₁ ² + 2 bx ₁ +с = 0

→ (2 mn )² + ( 3 x ₂ + b )(2 mn ) + 3 x ₂ ² + 2 bx ₂ +с = 0

→ (2 mn )² + ( 3 x ₃ + b )(2 mn ) + 3 x ₃ ² + 2 bx ₃ +с = 0

 

Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2 mn ) _I обязательно найдется отрицательное значение (2 mn ) _j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2 mn ) будет равна нулю.

→ ( 3 x ₁ + b ) + ( 3 x ₂ + b ) + ( 3 x ₃ + b ) = 0 → 3( x ₁ + x ₂ + x ₃ ) = - 3 b

→ ( x ₁ + x ₂ + x ₃ ) = - b.

Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.

Рассмотрим любых два уравнения, например,

→ (2 mn )² + ( 3 x ₁ + b )(2 mn ) + 3 x ₁ ² + 2 bx ₁ +с = 0

(2 mn )² + ( 3 x ₂ + b )(2 mn ) + 3 x ₂ ² + 2 bx ₂ +с = 0.

Здесь в качестве свободных членов имеем 3 x ₁ ² + 2 bx ₁ +с и 3 x ₂ ² + 2 bx ₂ +с. Их сумма равна

→ Σ = 3( x ₁ ² + 3 x ₂ ² ) + 2 b ( x ₁ + x ₂ ) + 2 с. Расчеты показывают, что

3( x ₁ ² + x ₂ ² ) + 2 b ( x ₁ + x ₂ ) + 2 с = ( x ₁ - x ₂ )²

→ ( x ₁ + x ₂ )² + b ( x ₁ + x ₂ ) + с - x ₁ ∙ x ₂ = 0

Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь

→ ( x ₁ + x ₂ )² + b ( x ₁ + x ₂ ) + с - x ₁ ∙ x ₂ = 0

→ ( x ₁ + x ₃ )² + b ( x ₁ + x ₃ ) + с - x ₁ ∙ x ₃ = 0

→ ( x ₂ + x ₃ )² + b ( x ₂ + x ₃ ) + с - x ₂ ∙ x ₃ = 0

Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!

В общем случае эта формула имеет вид

 

( x_i + x_j )² + b ( x_i + x_j ) + с - x_i ∙ x_j = 0 ( 10 )

 

Пример 11 Проверить формулу ( 10 )

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Здесь X ₁ = 7, X ₂ = 2, X ₃ = 11.

→ ( x ₁ + x ₂ )² + b ( x ₁ + x ₂ ) + с - x ₁ ∙ x ₂ = 0 → (7 + 2)² - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2 = 0

→ ( x ₁ + x ₃ )² + b ( x ₁ + x ₃ ) + с - x ₁ ∙ x ₃ = 0 → (7 + 11)² - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11 = 0

→ ( x ₂ + x ₃ )² + b ( x ₂ + x ₃ ) + с - x ₂ ∙ x ₃ = 0 → (2 + 11)² - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11 = 0

Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).

 

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: