Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D ₁ = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32  , то в результате получим решение для (2mn)1, ( 2mn)2, ( 2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )1( 2 mn )2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )2( 2 mn )3

Задача решена!

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0

где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D₁ = = -

 

-→ D₁ = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D₂= - 2(3c - )

-→ D₂ = - 2( 3∙ 23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)₁ = 2, (2mn)₂ = 4, (2mn)₃ = 2.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X ₁ = 3 + 2 = 5 , X ₂ = 3 - 2 = 1

Здесь X ₁ = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X ₂ = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X₂ = 3

Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙ 2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

 

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D₂ = - 2(3c - )

-→ D₂ = - 2( - 400 ) = 122 = 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9²

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D₁ = 32400.

2.1 3² ∙ 7² ∙ 8² = 28224 ≠ 32400

2.2 4² ∙ 5² ∙ 9² = 32400. Этот вариант подходит!

-→ (2mn)₁₁ = 4, (2mn)₁₂ = - 4,

(2mn)₂₁ = 5, (2mn)₂₂ = - 5,

(2mn)₃₁ = 9, (2mn)₃₂ = - 9.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙ 5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X ₁ = 7, X₂ =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 7, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 4 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 4 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 5 = ( X ₂ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₂ - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X₁ = 7, X₂ = 2, X₃ = 11.

Расчет закончен!

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0

где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D₂ = - 2( 3c - )

-→ D₂ = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 1² + 3² + 22² = 2² + 7² + 21² = 7² + 11² + 18²

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант, т.к. 7² ∙ 11²  18² = 1920996

-→ (2mn)₁₁ = 7, (2mn)₁₂ = - 7,

(2mn)₂₁ = 11, (2mn)₂₂ = - 11,

(2mn)₃₁ = 18, (2mn)₃₂ = - 18.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙ 11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X₁ =  , X₂ = 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 2, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 7 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 7 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 11 = ( X ₁ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₁ - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)₂₁ = -11 = ( X ₁ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₁ + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 2, X₂ = - 5, X₃ = 13.

Расчет закончен!

 

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→ D₁ = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→ D₁ = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D₂ = - 2( 3c - )

-→ D₂ = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D₁ и D₂. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10^k.

При этом значение степени k должно определяться

- для D₂ числом знаков в мантиссе ( для данного примера k₂ = 4 )

- для D₁ = 3∙ (число знаков в мантиссе для D₂ ). -→ k₁ = 3∙ k₂ ( для данного примера k₁ = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D₁₁ = 987539062500

- D₂₁ = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А, Б, Д), при которых выполняются равенства D ₂₁ = А² + Б² + Д² и D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

Для нахождения значений чисел А, Б, Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D₂₁ в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D ₂₁ = А² + Б² + Д² и D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

- найти все варианты представления числа D₁₁ в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D ₂₁ = А² + Б² + Д² и D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

Вариант D ₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D₁₁ = 987539062500 = 250² ∙ 265² ∙ 15²

D₂₁ = 132950 = 250² + 265² + 15².

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k₁ и k₂. Совершая обратную операцию, получим

(2mn)₁₁ = 2.5, (2mn)₁₂ = - 2.5,

(2mn)₂₁ = 2.65, (2mn)₂₂ = - 2.65,

(2mn)₃₁ = 0.15, (2mn)₃₂ = - 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )11( 2 mn )21

-→ 3x2 - 2∙ (6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙ (2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X₁ = 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)₁₁ = 2.5 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5. Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 2.5 = ( X ₁ - X ₂ ) -→ X ₂ = X ₁ +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)₂₁ = 2.65 = ( X ₁ - X ₃ ) -→ X ₃ = X ₁ – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 4, X₂ = 1.5, X₃ = 1.35.

Расчет закончен!

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: