Точное решение осесимметричного притока газа к скважине

 

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л.С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси.

При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа в пласте происходит при неизменных во времени температурах газа и пласта (изотермический закон).

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением, которое справедливо для любого сжимаемого флюида:

 

, (1)

 

где коэффициенты проницаемости и вязкости постоянны.

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле:

 

Р = ρ атp2⁄ (2pат) + С. (2)

 

Продифференцируем (2) по координатам 2 раза:

 

, ,  (3)

 

Преобразуя правую часть уравнения (1) и считая пористость m0 постоянной и учитывая, что для совершенного газа

ρ = ρ ат p ⁄ pат, (4)

 

получим:

 

 (5)

 

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим:

 

 (6)

 

Где выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р2, поэтому уравнение (6) принимает вид:

 

 (7)

 

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Так как коэффициент пористости входит в уравнение (1) в виде произведения ρ m, в котором плотность газа меняется в большей степени, чем пористость, его изменением пренебрегают.

Уравнение Лейбензона (6) можно записать следующим образом, умножив правую и левую части на давление р и заменив

 

 (8)

 

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р2, но коэффициент в правой части kр/(η m0)-переменный, в него входит искомая функция p(x, y, z, t).

Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния ρ = ρ ат p ⁄ [pатz(p)] и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления η =η (p) и недеформируемости пористой среды (m0=const, k=const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

 

 (9)

 

Для решения задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях.

Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л.С. Лейбензона достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. Наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, связанных с изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л.С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа oт температуры.

Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И.А. Чарного, Е.М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации.

Одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т.е. сведение его к линейному уравнению Фурье. В некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики.

Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесимметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального движения:

 

 (10)

 

Воспользовавшись выражением для массовой скорости ρ w, полученным из двучленного закона фильтрации, после подстановки в них значений плотности из уравнения состояния (4), получим:

 

; (11)

. (12)

 

Подставив выражения (11), (12) и (5) в уравнение неразрывности (10) и сократив на ρ ат / pат, получим:

 

, (13)

где .

 

Если сделать замену , то дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид:

 

. (14)

 

Аналитическое решение уравнения (14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: