Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения

 

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8) линейным, т. е. линеаризовать его, то оно упростится - для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для не­линейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Леибензон предложил заменить переменное давление p в коэффициенте уравнения (8) на постоянное давление pк, равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив получим вместо уравнения (8) уравнение

 

 (15)

 

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р2, где χ -константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент χ в уравнении при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лей6ензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так. И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

ср=pmin+0, 7(pmax-pmin),

 

где pmах и pmin - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (15) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в бесконечно протяженном пласте с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т.е. давление во всем пласте постоянно и равно pk. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Qат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r, t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (15) запишется следующим образом:

 

 (16)

 

Проинтегрировав уравнение (16) при начальном условии
= pk2 при t =0, 0 < r < ∞ (17)

 

и при граничном условии в удаленных точках

 

р2 = рk2 при r = ∞, t > 0. (18)

 

Выведем условие для давления на забое скважины. Записав выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

 

 

И использовав равенства

 

 

а так же сократив на рат, получим:

 

 

Из этого соотношения можно выразить условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

 

 при r=0. (19)

 

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (16) должно быть проинтегрировано при условиях (17), (18), и (19).

Полученные выражения для совершенного газа аналогичны соотношениям для упругой жидкости, только давление входит в квадрате:

 

= pk2 при t = 0, 0 < r < ∞

р2 = рk2 при r = ∞, t > 0

 при r = 0

 

Решение лиеаризованного уравнения Лейбензона для газа получим по основной формуле упругого режима для упругой жидкости с учетом  для газа и коэффициента , аналогичных коэффициенту пьезопроводности и коэффициенту для жидкости:

 

 (20)

 

Для малых значений аргумента в соответствии можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

 

 (21)

 

Решения (20)-(21) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

Формулы (20) и (21) определяют (при фиксированных значениях времени t распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации очень крутые вблизи скважины (рис.1, а). Если задать значение r можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. Можно найти изменение давления на забое (при r=rc) после начала работы скважины (рис.1, б):

 

 (22)

 

Кривые распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давлений в фиксированных точках пласта (б)

 

Рис. 1

 

Г.И. Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбензона при определенных начальных и граничных условиях имеет точное решение, которое может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решений.

Для его получения рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом к скважине в бесконечном пласте. Необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

 

 (23)

 

При начальных граничных условиях

= pk2 при t =0, 0 < r < ∞

р2 = рk2 при r = ∞, t > 0.  при r = 0

 

Г.И. Баренблаттом показано, что в такой постановке давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные - r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n=5): r, t, pk, k/(2η m0), Qатpатη /(π kh).

Если обозначить размерность длины через L, размерность времени Т, размерность давления [p], то размерности этих параметров выразятся следующим образом:

 

[r]=L, [t]=T, [pk]=[p], [k/(2η m0)]=L2/[p]T, [Qатpатη /(π kh).]= [p]2.

 

Среди этих параметров - три с независимыми размерностями: r, t, pk (k=3). Как следует из П-теоремы, искомая функция - давление, приведенное к безразмерному виду F=p/pk, , будет зависеть от двух безразмерных комплексов (n-k=5-3=2). Такими безразмерными комплексами являются следующие:

 

 и ,

 

т.е. F=p/pk=F(ξ, λ ).

Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (23), получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

 

 (24)

 

при этом начальные и граничные условия сводятся к следующим:

 

 при ξ =0; F(ξ, λ )=1 при ξ =∞ (25)

 

Уравнение (24) при условиях (25) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл.1 для значений λ =0, 01 и λ =0, 004994. Через ξ * в табл.1 обозначено такое значение аргумента ξ, что для ξ < ξ * значения ξ dF2/dξ, отличаются от λ меньше, чем на 0, 01%. Значит, для ξ < ξ * можно считать, что ξ dF2/dξ = λ.

Проинтегрировав это равенство, получим:

 

F2=F2(ξ *, λ ) + λ ln(ξ / ξ *)(ξ, λ ) = [F2 (ξ *, λ )- λ ln(ξ */ξ )]½ для ξ < ξ *.

 

Поэтому значения F(ξ, λ ) для ξ < ξ * в табл. 1 не приведены.

 

Таблица 1 - Результаты численного расчета автомодельного решения

λ =0, 01		λ =0, 004994
ξ	F(ξ, λ )	ξ	F(ξ, λ )
ξ *=0, 005787 0, 01157 0, 01923 0, 03472 0, 06553 0, 09645 0, 1582 0, 2816 0, 5285 0, 7754 1, 269 1, 763 2, 751 3, 738	0, 9701 0, 9737 0, 9763 0, 9793 0, 9825 0, 9845 0, 9870 0, 9899 0, 9930 0, 9948 0, 9970 0, 9982 0, 9994 0, 9999	ξ *=0,.003886 0, 01555 0, 03109 0, 06218 0, 2487 0, 4974 0.9949 1, 492 2, 498 3, 482	0, 9842 0, 9877 0, 9894 0, 9912 0, 9947 0, 9964 0, 9980 0, 9988 0, 9996 0, 9999

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: