Дифференциатор с замедлением.

Передаточная функция:

Апериодическое звено второго порядка.

Передаточная функция:

Колебательное звено.

Передаточная функция:

Инерционно-форсирующее звено.

Передаточная функция:

 

 

Эквивалентные передаточные функции типовых соединений.

Мы отметили, что наличие различных динамических свойств (инерцио-нных и форсирующих) определяется наличием производных по выходным и входным величинам в дифференциальных уравнениях.

Следовательно, основными простыми звеньями являются идеальный интегратор, идеальный дифференциатор и безынерционное звено (масштаби-рующий коэффициент). Все остальные, более сложные звенья, могут быть получены с помощью различных соединений простых звеньев. Простые звенья можно соединить последовательно, параллельно или выполнить соединения в виде местной обратной связи.

При последовательном соединении (рис. 13, а) выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующе-го звена. Эквивалентная передаточная функция последовательного соединения n звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев:

При параллельном соединении (рис. 13, б) все звенья имеют одну и ту же входную величину, а их выходные величины суммируются. Передаточная функция параллельного соединения n звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев:

 

Третье типовое соединение (рис. 13, в), называемое встречнопараллельным (местная обратная связь) состоит из двух звеньев. Звено с передаточной функцией W _П является прямой цепью передачи сигналов, а звено с передаточной функцией Wo осуществляет обратную связь. Обратная связь — это воздействие выходной величины какого-то звена на его вход. Если это воздействие совпадает по знаку с входной величиной, то обратная связь положительная. В противном случае обратная связь отрицательная.

Эквивалентная передаточная функция встречно-параллельного соеди-нения:

где знак + в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи (ООС) и знак - положительной (ПОС).

Рис. 13. Типовые соединения динамических звеньев

Используя основные соединения типовых элементарных звеньев: интегрирующего, дифференцирующего и безынерционного, можно получить любое сложное типовое звено.

1. Рассмотрим применения последовательного соединения:

а) Пусть необходимо получить передаточную функцию типового звена  Это звено состоит из 3 типовых, последовательно соединенных: безынерционного (k), форсирующего (Tp +1) и интегрирующего (1/ p).

б) Аналогичным образом, инерционное звено 2 порядка  – 2 последовательно включенных инерционных звена  и

 где

2. Рассмотрим применения параллельного соединения:

а) Пусть .

Следовательно, получено изодромное звено.

б) Пусть . Тогда:

где  Получили инерционно-форсирующее звено с преобладанием инерционного эффекта.

Из примеров следует, что параллельное соединение сохраняет динамические свойства подключаемого звена с добавлением инерционных.

Соединения с другими звеньями приведены в табл.2.

 

Таблица 2. Параллельные соединения типовых динамических звеньев

Таблица 2. (Окончание)

3. Рассмотрим свойства соединений с встречно-параллельной (местной обратной) связью. На примерах отметим свойства 2 характерных случаев:

а) в прямой цепи – безынерционное звено, а в обратной – динамическое;

б) в прямой цепи – динамическое звено, а в обратной – безынерционное.

Для 1 случая:

1) Пусть

Получили инерционное звено.

2) Пусть

Получили инерционно-форсирующее звено с преобладанием форсирующего эффекта.

Как видно из примеров, в эквивалентной передаточной функции инвертируются динамические свойства звена обратной связи.

Для 2 случая:

1) Пусть

Получили инерционное звено 1 порядка. То есть, эквивалентное соединение сохраняет динамические свойства прошлой цепи.

2) Пусть

Получили инерционное звено 1 порядка.

Заметим, что с помощью этого соединения можно получить инерционное звено и общее свойство такого соединения сохраняется.

Временные характеристики.

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика, h ( t ) описывает переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис.14).

Рис. 14. Переходная характеристика

 Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается , что соотсветствует  Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию выходная величина будет равна .

Умножение какой-либо функции времени x ( t ) на единичную ступенчатую функцию 1( t ) означает, что функция времени x ( t ) будет существовать только при , при  она обращается в нуль. Это показано на рис. 15.

Рис. 15. Область существования функции времени

Функция веса  представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на вход (рис. 16).

Рис. 16. Функция веса и единичная импульсная функция

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки  где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции заключается в том, что:

т. е. она имеет единичную площадь.

Из последнего выражения следует, что размерность дельта-функции равна  

Нетрудно установить связь между переходной функцией и функций веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса с площадью , прикладываемого при  (рис.17).

Рис. 17. Входное воздействие звена в виде импульса

Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями  прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени ε. Тогда выходная величина будет равна:

Будем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно уменьшая его ширину ε, но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице, т. е.  Помножив и поделив правую часть равенства (11) на ε и перейдя к пределу, получим функцию веса:

Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием по времени переходной функции.

Переходная функция и функция веса связаны с передаточной функцией звена соотношениями:

Следовательно:

Переходные характеристики можно получить экспериментально или в аналитическом виде, используя различные методы, включающие как непосредственное решение дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, использование обратного преобразования Лапласа и теорем, так и получая переходные характеристики основных простых звеньев и представляя более сложные как сумму элементарных переходных характеристик. Покажем на примерах.

1) Безынерционное звено , где . Очевидно, что

.

2) Идеальный интегратор , где . Очевидно, что выходная величина, которая представляет собой переходную характеристику – интеграл от правой части уравнения

3) Идеальный дифференциатор  где , а

Следовательно, .

4) Инерционное звено  Найдем переходную характеристику непосредственным решением дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид:

Общий вид решения:

При нулевых начальных условиях

Следовательно 0 = k + c и c = - k. Окончательно получим:

Дифференцируя это выражение, получим весовую функцию:

Все переходные характеристики остальных звеньев легко получить, если разложить их на сумму элементарных звеньев с учетом инерционного. Суммарная  равняется алгебраической сумме переходных характеристик. Например, для изодромного звена, соединяя параллельно идеальный интегратор  и безынерционное звено  по правилу эквивалентных передаточных функций параллельных соединений, получим:

, где .

Следовательно, переходная характеристик есть сумма характеристик безынерционного звена с коэффициентом передачи k ₁ и интегрирующего с коэффициентом передачи k. По аналогии, форсирующее звено k ( Tp +1) есть сумма элементарных звеньев kTp и k, т. е. представляет собой сумму переходных характеристик идеального дифференциатора и безынерционного звена. При разложении на простые звенья более сложных, например интегратора с замедлением для представления его в виде суммы идеального интегратора и инерционного звена, необходимо воспользоваться правилом разложения на дроби с неопределенными коэффициентами. Передаточные функции, переходные и весовые характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.

Тип звена и его передаточная функция	Переходная функция h(t)	Функция веса ω (t)
Безынерционное
Апериодическое 1-го порядка
Апериодическое 2-го порядка     =   (	(1− + +	)
Колебательное		= ;

Таблица 3. Временные характеристики звеньев автоматики

Таблица 3. (Продолжение)

Тип звена и его передаточная функция	Переходная функция h ( t )	Функция веса ω ( t )
Консервативное
Идеальное интегрирующее
Интегрирующее с замедлением
Изодромное
Идеальное дифференцирующее

Таблица 3. (Окончание)

Тип звена и его передаточная функция	Переходная функция h(t)	Функция веса ω (t)
Дифференцирующее с замедлением
Форсирующее
Инерционно-форсирующее звено

Частотные характеристики.

Эти характеристики также являются одной из моделей динамических свойств технических устройств. Типовым входным сигналом является синусоидальное воздействие x ( t ) = asin ω t с фиксированной амплитудой и изменяю-щейся частотой от 0 до ∞. Если на вход устройства подать такой сигнал с фиксированной частотой ω ₀, то на выходе устройства после окончания переходного процесса также получим синусоиду такой же частоты ω ₀, но с измененной на коэффициент A амплитудой и сдвинутой по фазе относительно входного сигнала на угол φ , т. е. . При увеличении частоты будут меняться и коэффициент A и значение угла φ . Зависимость A = A (ω ) называется амплитудно-частотной характеристикой устройства (АЧХ). Она показывает, как изменяется амплитуда выходного сигнала, проходя через устройство на разных частотах. Величина φ = φ (ω ) называется фазо-частотной характеристикой устройства (ФЧХ) и показывает, какой сдвиг по фазе может быть получен между входным и выходным сигналами на разных частотах. И АЧХ, и ФЧХ для многих устройств может быть получено экспериментально. У типовых звеньев инерционного типа с увеличением частоты АЧХ стремится к нулю, у звеньев дифференцирующего типа – наоборот.

Аналитическое выражение для АЧХ и ФЧХ получают с использованием амплитудно-фазовой характеристики АФХ, которая рассматривается как модуль и аргумент комплексного числа , изображаемого для определения частоты ω точкой на комплексной плоско-сти. В этом случае входной сигнал также заменяется комплексным числом вида

При изменении частоты от 0 до ∞, точка перемещается по комплексной плоскости, описывая кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой, либо гадографом (рис.18).

 Как видно из рисунка 18, вектор, проведенный из начала координат в точку с частотой ω ₀, может перемещаться на плоскости и угол его поворота относительно положительной действительной оси представляет собой фазовый сдвиг, или ФЧХ, причем поворот против часовой стрелки дает положительный фазовый сдвиг, а по часовой – отрицательный. Поскольку АФХ представляет собой комплексное выражение, то она может быть представлена в виде суммы вещественной U (ω ) и мнимой V (ω ) частей:

Рис. 18. Гадограф

Из рис.18 также очевидно, что вектор  Математическое выражение для АФХ получается заменой оператора p на jω в выражении передаточной функции типового звена:

АФХ звена часто называют частотной передаточной функцией. Зная выражение для АФХ, всегда можно найти аналитическое выражение для АЧХ и ФЧХ любого типового звена. Учитывая то, что типовые звенья – дробно-рациональные функции и представляют собой произведения элементарных звеньев, целесообразно находить АЧХ от каждого элементарного звена в числителе и знаменателе. По аналогии, ФЧХ находится как алгебраическая сумма фазовых характеристик элементарных звеньев, причем от числителя частотной передаточной функции arctg имеет знак «+», а от знаменателя знак «-». В качестве примеров получим АЧХ и ФЧХ нескольких типовых звеньев.

1) Безынерционное звено

АФХ:

АЧХ:

ФЧХ:

Этот результат следовало ожидать, т. к. рассматриваем звено без динамических свойств. Фазовый сдвиг равен 0, а модуль остается неизменным во всем диапазоне частот.

2) Инерционное звено

АФХ:

АЧХ: ,

ФЧХ:

Как видно из выражения для АЧХ, с увеличением частоты, A (ω ) умень-шается от величины k до 0 и звено вносит отрицательный фазовый сдвиг, который увеличивается с увеличением частоты.

 

ω	0	∞
φ (ω )	0

 

3) Изодромное звено

АФХ:

АЧХ:

ФЧХ:

Анализ фазовой характеристики показывает, что идеальный интегратор имеет постоянную отрицательную фазовую характеристику, равную π /2, а форсирующее звено – положительный фазовый сдвиг от 0 до +90, поэтому при увеличении частоты, отрицательный фазовый сдвиг уменьшается от –π /2 до 0.

АФХ, АЧХ, ФЧХ типовых звеньев приведены в таблице 4 в виде примерных графиков и по полученным выражениям всегда могут быть построены и для конкретных значений.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: