Всероссийская олимпиада школьников по математике

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап               

Класс

1. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 60 км, в одном направлении одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль, двигающийся со скоростью 90 км/ч, догнал второй автомобиль через три часа. Какова скорость второго автомобиля?

2. У Веры, Нади и Любы платья трех разных цветов – розового, сиреневого и бирюзового, их шляпки тех же трёх цветов. Только у Веры цвет платья и цвет шляпки совпадают, у Нади они не розовые, а у Любы шляпка сиреневая. Укажите, каких цветов платье и шляпка у каждой девочки.

3. В заданиях а) и б) для данных чисел А и В выясните, существует ли натуральное число, которое при делении на А даёт остаток 1, а при делении на В даёт остаток 2: а) А=6, В=8; б) А=7, В=9.

4. Клетчатый квадрат, состоящий из 64 клеток, разрезают вдоль сторон клеток на несколько частей. При этом все части должны быть квадратами не обязательно одинаковых размеров. Укажите какие-нибудь способы такого разрезания на 10, на 11 и на 12 частей.

5. Каждый из пяти гномов нашел какое-то решение ребуса   (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные буквы – разным цифрам). Шестой и седьмой гномы утверждают, что они смогут найти на двоих не только два, а даже три решения ребуса, которые будут не такими, как у этих пяти гномов. Правы ли они? Ответ обоснуйте.

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап                                                    

5 класс

1. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 60 км, в одном направлении одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль, двигающийся со скоростью 90 км/ч, догнал второй автомобиль через три часа. Какова скорость второго автомобиля?

2. У Веры, Нади и Любы платья трех разных цветов – розового, сиреневого и бирюзового, их шляпки тех же трёх цветов. Только у Веры цвет платья и цвет шляпки совпадают, у Нади они не розовые, а у Любы шляпка сиреневая. Укажите, каких цветов платье и шляпка у каждой девочки.

3. В заданиях а) и б) для данных чисел А и В выясните, существует ли натуральное число, которое при делении на А даёт остаток 1, а при делении на В даёт остаток 2: а) А=6, В=8; б) А=7, В=9.

4. Клетчатый квадрат, состоящий из 64 клеток, разрезают вдоль сторон клеток на несколько частей. При этом все части должны быть квадратами не обязательно одинаковых размеров. Укажите какие-нибудь способы такого разрезания на 10, на 11 и на 12 частей.

5. Каждый из пяти гномов нашел какое-то решение ребуса   (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные буквы – разным цифрам). Шестой и седьмой гномы утверждают, что они смогут найти на двоих не только два, а даже три решения ребуса, которые будут не такими, как у этих пяти гномов. Правы ли они? Ответ обоснуйте.

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2019-2020

Школьный этап              

 6 класс

 

1. В лесу жили два гнома – Сеня и Веня. Сеня врал по понедельникам, вторникам и средам, а Веня – по вторникам, четвергам и субботам. В остальные дни они говорили только правду. Однажды при встрече одному из них задали вопрос: «Как тебя зовут? »

– Сеня, – ответил он.

– А какой сегодня день недели?

– Вчера было воскресенье.

Его приятель добавил: «А завтра будет пятница». У приятеля спросили: «Ты говоришь правду? ».

– Я всегда говорю правду по средам, – ответил он.

Кто из них Сеня, кто – Веня и в какой день недели состоялся этот разговор?

2. Разделите фигуру на четыре одинаковые части так, чтобы линии разрезов шли по сторонам квадратов. Найдите как можно больше решений.

 

 

3. В трех кучках лежит 11, 7, 6 булавок соответственно. Разрешается перекладывать из одной кучки в другую столько булавок, сколько в другой кучке уже есть. Как за три операции сравнять число булавок во всех кучках?

4. Малыш подарил Карлсону большую коробку конфет. Карлсон съел все конфеты за три дня. В первый день он съел 0, 2 всей коробки и еще 16 конфет. Во второй день – 0, 3 остатка и еще 20 конфет. В третий день – 0, 75 остатка и последние 30 конфет. Сколько конфет было в коробке?

5. 109 яблок разложено по пакетам. В одних пакетах – по x яблок, а в других – по 3 яблока. Найдите все возможные значения x, если всего пакетов 20 (пустых пакетов не должно быть).

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2019-2020

Школьный этап              

 6 класс

 

1. В лесу жили два гнома – Сеня и Веня. Сеня врал по понедельникам, вторникам и средам, а Веня – по вторникам, четвергам и субботам. В остальные дни они говорили только правду. Однажды при встрече одному из них задали вопрос: «Как тебя зовут? »

– Сеня, – ответил он.

– А какой сегодня день недели?

– Вчера было воскресенье.

Его приятель добавил: «А завтра будет пятница». У приятеля спросили: «Ты говоришь правду? ».

– Я всегда говорю правду по средам, – ответил он.

Кто из них Сеня, кто – Веня и в какой день недели состоялся этот разговор?

2. Разделите фигуру на четыре одинаковые части так, чтобы линии разрезов шли по сторонам квадратов. Найдите как можно больше решений.

 

3. В трех кучках лежит 11, 7, 6 булавок соответственно. Разрешается перекладывать из одной кучки в другую столько булавок, сколько в другой кучке уже есть. Как за три операции сравнять число булавок во всех кучках?

4. Малыш подарил Карлсону большую коробку конфет. Карлсон съел все конфеты за три дня. В первый день он съел 0, 2 всей коробки и еще 16 конфет. Во второй день – 0, 3 остатка и еще 20 конфет. В третий день – 0, 75 остатка и последние 30 конфет. Сколько конфет было в коробке?

5. 109 яблок разложено по пакетам. В одних пакетах – по x яблок, а в других – по 3 яблока. Найдите все возможные значения x, если всего пакетов 20 (пустых пакетов не должно быть).

Школьный этап               

Класс

1. Сразу после сбора урожая содержание воды в 1 тонне помидоров составляло 99%. К моменту продажи доля воды уменьшилась на 4% (после просушки). Чему стал равен суммарный вес помидоров?

2. В ноябре 2017 года учитель решил провести 11 занятий по математике. Докажите, что найдутся три дня подряд, в которые не будет ни одного занятия по математике (суббота, воскресенье – выходные).

3. Как за 3N – 2 взвешиваний найти самый лёгкий и самый тяжёлый камни из 2N камней, любые два из которых отличаются по весу? Все взвешивания производятся на двухчашечных весах без гирь.

4. Найдите два числа, сумма которых равняется 2017, а сумма чисел, записанных теми же цифрами, но в обратном порядке, равняется 8947.

5. В ряд выписаны числа от 0 до 9. За одно действие мы можем либо добавить к двум соседним числам по 1, либо умножить три произвольных числа на 3. Какое минимальное количество действий нужно совершить, чтобы все числа в этом ряду стали равными?

2019-2020

Школьный этап            

7 класс

1. Сразу после сбора урожая содержание воды в 1 тонне помидоров составляло 99%. К моменту продажи доля воды уменьшилась на 4% (после просушки). Чему стал равен суммарный вес помидоров?

2. В ноябре 2017 года учитель решил провести 11 занятий по математике. Докажите, что найдутся три дня подряд, в которые не будет ни одного занятия по математике (суббота, воскресенье – выходные).

3. Как за 3N – 2 взвешиваний найти самый лёгкий и самый тяжёлый камни из 2N камней, любые два из которых отличаются по весу? Все взвешивания производятся на двухчашечных весах без гирь.

4. Найдите два числа, сумма которых равняется 2017, а сумма чисел, записанных теми же цифрами, но в обратном порядке, равняется 8947.

5. В ряд выписаны числа от 0 до 9. За одно действие мы можем либо добавить к двум соседним числам по 1, либо умножить три произвольных числа на 3. Какое минимальное количество действий нужно совершить, чтобы все числа в этом ряду стали равными?

 

 

2019-2020

Школьный этап              

 8 класс

1. Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками. Сколько стоила одна книга?

2. В ряд по возрастанию выписано 10 натуральных чисел так, что каждое из чисел, кроме первого делится на какое-нибудь из предыдущих. Первое число не равно 1, а сумма всех 10 чисел равна 275. Восстановите эти числа.

3. В треугольнике  провели биссектрисы углов  и .  и  - основания перпендикуляров из вершины  на эти две биссектрисы. Доказать, что отрезок  параллелен стороне .

4. На двери сейфа расположено 15 выключателей. У каждого выключателя есть два возможных состояния - " включен" и " выключен", но по виду выключателя невозможно определить, в каком положении он находится. За один рубль разрешается переключить один выключатель. Дверь откроется, если ровно 8 выключателей окажутся в положении " включен". Как гарантировано открыть сейф, потратив не более 15 рублей?

5. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, каждый угол которого равен либо , либо ?

2019-2020

Школьный этап             

8 класс

1. Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками. Сколько стоила одна книга?

2. В ряд по возрастанию выписано 10 натуральных чисел так, что каждое из чисел, кроме первого делится накакое-нибудь из предыдущих. Первое число не равно 1, а сумма всех 10 чисел равна 275. Восстановите эти числа.

3. В треугольнике  провели биссектрисы углов  и .  и  - основания перпендикуляров из вершины  на эти две биссектрисы. Доказать, что отрезок  параллелен стороне .

4. На двери сейфа расположено 15 выключателей. У каждого выключателя есть два возможных состояния - " включен" и " выключен", но по виду выключателя невозможно определить, в каком положении он находится. За один рубль разрешается переключить один выключатель. Дверь откроется, если ровно 8 выключателей окажутся в положении " включен". Как гарантировано открыть сейф, потратив не более 15 рублей?

5. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, каждый угол которого равен либо , либо ?

 

2019-2020

Школьный этап              

 9 класс

 

1. Марсиане любят танцевать танцы, в которых нужно браться за руки. В танце «Пирамидка» может участвовать не более 7 марсиан, у каждого из которых не более трех рук. Какое наибольшее число рук может быть у танцующих, если любая рука одного марсианина держит ровно одну руку другого марсианина?

 

2.На доске написано число 98.Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?

 

3. Существует ли число, которое делится на 737 и десятичная запись которого состоит из единиц и нулей?

 

4. По определению многоугольник правильный, если все его углы и стороны соответственно равны. Точки A, B, C, D – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что угол . Сколько вершин у этого многоугольника?

 

5. В прямоугольном треугольнике АВС внутри отрезка BC расположена точка D, CPиCQ – высоты треугольников ABC и ADCсоответственно. Докажите, что треугольники APQ и ADB подобны.

 

2019-2020

Школьный этап              

 9 класс

 

1. Марсиане любят танцевать танцы, в которых нужно браться за руки. В танце «Пирамидка» может участвовать не более 7 марсиан, у каждого из которых не более трех рук. Какое наибольшее число рук может быть у танцующих, если любая рука одного марсианина держит ровно одну руку другого марсианина?

 

2.На доске написано число 98.Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?

 

3. Существует ли число, которое делится на 737 и десятичная запись которого состоит из единиц и нулей?

 

4. По определению многоугольник правильный, если все его углы и стороны соответственно равны. Точки A, B, C, D – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что угол . Сколько вершин у этого многоугольника?

 

5. В прямоугольном треугольнике АВС внутри отрезка BC расположена точка D, CPиCQ – высоты треугольников ABC и ADCсоответственно. Докажите, что треугольники APQ и ADB подобны.

 

 

2019-2020

Школьный этап              

Класс

1. В игре «Спортлото-Шиш» розыгрыш главного приза происходит по следующим правилам. Каждый присутствующий в студии пишет независимо от других любое число различных пар различных целых чисел из множества от 1 до 5. Если у некоторых участников выписанные ими пары совпадут, то эти участники делят между собой главный приз. Сколько участников должно быть в студии, чтобы приз заведомо оказался разыгранным?

2. В ряд по возрастанию веса стоят 33 гири. Известно, что каждые четыре подряд стоящие гири можно разложить на две чаши весов так, чтобы было равновесие. Третья гиря весит 9 г, девятая – 33 г. Сколько весит 33-я гиря?

3. Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4, а произведение суммы любых трех положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 9.

4. Могут ли числа 11, 12 и 13 быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

5. В треугольнике ABC точки P и Q расположены на сторонах AB и BC соответственно. Треугольник BPQ остроугольный и PM, QN – его высоты. Докажите, что если около четырехугольника APQC можно описать окружность, то MN || AC.

2019-2020

Школьный этап              

Класс

1. В игре «Спортлото-Шиш» розыгрыш главного приза происходит по следующим правилам. Каждый присутствующий в студии пишет независимо от других любое число различных пар различных целых чисел из множества от 1 до 5. Если у некоторых участников выписанные ими пары совпадут, то эти участники делят между собой главный приз. Сколько участников должно быть в студии, чтобы приз заведомо оказался разыгранным?

2. В ряд по возрастанию веса стоят 33 гири. Известно, что каждые четыре подряд стоящие гири можно разложить на две чаши весов так, чтобы было равновесие. Третья гиря весит 9 г, девятая – 33 г. Сколько весит 33-я гиря?

3. Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4, а произведение суммы любых трех положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 9.

4. Могут ли числа 11, 12 и 13 быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

5. В треугольнике ABC точки P и Q расположены на сторонах AB и BC соответственно. Треугольник BPQ остроугольный и PM, QN – его высоты. Докажите, что если около четырехугольника APQC можно описать окружность, то MN || AC.

 

 

2019-2020

Школьный этап              

Класс

 

1. Какое наибольшее значение может принимать сумма косинусов всех углов равнобедренного треугольника?

2. В соревнованиях по волейболу, где не бывает ничьих, участвует 5 команд. Все команды сыграли друг с другом. Команда, занявшая 1 место, выиграла все встречи, ровно по две победы одержали только команды, занявшие второе и третье место. В случае равенства очков место определяется по результату встречи между командами. Сколько побед одержала команда, занявшая последнее место? Определите, кто у кого выиграл.

3. Длины диагоналей ромба и длина его стороны образуют геометрическую прогрессию. Найдите синус угла между стороной ромба и его большей диагональю, если известно, что он больше 1/2.

4. Произведение всех натуральных чисел от 1 до  принято обозначать  (читается “ – факториал”). Какое из чисел больше  или ?

5. В выпуклом четырехугольнике ABCDна сторонах ABи CDрасположены точки P иQсоответственно. Известно, что AQ||CP, BQ||DP, AB⊥ BCи CD⊥ DP. Докажите, что AB⊥ AD.

2019-2020

Школьный этап              

Класс

 

1. Какое наибольшее значение может принимать сумма косинусов всех углов равнобедренного треугольника?

2. В соревнованиях по волейболу, где не бывает ничьих, участвует 5 команд. Все команды сыграли друг с другом. Команда, занявшая 1 место, выиграла все встречи, ровно по две победы одержали только команды, занявшие второе и третье место. В случае равенства очков место определяется по результату встречи между командами. Сколько побед одержала команда, занявшая последнее место? Определите, кто у кого выиграл.

3. Длины диагоналей ромба и длина его стороны образуют геометрическую прогрессию. Найдите синус угла между стороной ромба и его большей диагональю, если известно, что он больше 1/2.

4. Произведение всех натуральных чисел от 1 до  принято обозначать  (читается “ – факториал”). Какое из чисел больше  или ?

5. В выпуклом четырехугольнике ABCDна сторонах ABи CDрасположены точки P иQсоответственно. Известно, что AQ||CP, BQ||DP, AB⊥ BCи CD⊥ DP. Докажите, что AB⊥ AD.

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап               

Класс

1. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 60 км, в одном направлении одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль, двигающийся со скоростью 90 км/ч, догнал второй автомобиль через три часа. Какова скорость второго автомобиля?

2. У Веры, Нади и Любы платья трех разных цветов – розового, сиреневого и бирюзового, их шляпки тех же трёх цветов. Только у Веры цвет платья и цвет шляпки совпадают, у Нади они не розовые, а у Любы шляпка сиреневая. Укажите, каких цветов платье и шляпка у каждой девочки.

3. В заданиях а) и б) для данных чисел А и В выясните, существует ли натуральное число, которое при делении на А даёт остаток 1, а при делении на В даёт остаток 2: а) А=6, В=8; б) А=7, В=9.

4. Клетчатый квадрат, состоящий из 64 клеток, разрезают вдоль сторон клеток на несколько частей. При этом все части должны быть квадратами не обязательно одинаковых размеров. Укажите какие-нибудь способы такого разрезания на 10, на 11 и на 12 частей.

5. Каждый из пяти гномов нашел какое-то решение ребуса   (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные буквы – разным цифрам). Шестой и седьмой гномы утверждают, что они смогут найти на двоих не только два, а даже три решения ребуса, которые будут не такими, как у этих пяти гномов. Правы ли они? Ответ обоснуйте.

1234Следующая ⇒

Поделиться: