Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап              

 9 класс

 

1. Марсиане любят танцевать танцы, в которых нужно браться за руки. В танце «Пирамидка» может участвовать не более 7 марсиан, у каждого из которых не более трех рук. Какое наибольшее число рук может быть у танцующих, если любая рука одного марсианина держит ровно одну руку другого марсианина?

 

2.На доске написано число 98.Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?

 

3. Существует ли число, которое делится на 737 и десятичная запись которого состоит из единиц и нулей?

 

4. По определению многоугольник правильный, если все его углы и стороны соответственно равны. Точки A, B, C, D – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что угол . Сколько вершин у этого многоугольника?

 

5. В прямоугольном треугольнике АВС внутри отрезка BC расположена точка D, CPиCQ – высоты треугольников ABC и ADCсоответственно. Докажите, что треугольники APQ и ADB подобны.

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап              

Класс

1. В игре «Спортлото-Шиш» розыгрыш главного приза происходит по следующим правилам. Каждый присутствующий в студии пишет независимо от других любое число различных пар различных целых чисел из множества от 1 до 5. Если у некоторых участников выписанные ими пары совпадут, то эти участники делят между собой главный приз. Сколько участников должно быть в студии, чтобы приз заведомо оказался разыгранным?

2. В ряд по возрастанию веса стоят 33 гири. Известно, что каждые четыре подряд стоящие гири можно разложить на две чаши весов так, чтобы было равновесие. Третья гиря весит 9 г, девятая – 33 г. Сколько весит 33-я гиря?

3. Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4, а произведение суммы любых трех положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 9.

4. Могут ли числа 11, 12 и 13 быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

5. В треугольнике ABC точки P и Q расположены на сторонах AB и BC соответственно. Треугольник BPQ остроугольный и PM, QN – его высоты. Докажите, что если около четырехугольника APQC можно описать окружность, то MN || AC.

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап              

Класс

1. В игре «Спортлото-Шиш» розыгрыш главного приза происходит по следующим правилам. Каждый присутствующий в студии пишет независимо от других любое число различных пар различных целых чисел из множества от 1 до 5. Если у некоторых участников выписанные ими пары совпадут, то эти участники делят между собой главный приз. Сколько участников должно быть в студии, чтобы приз заведомо оказался разыгранным?

2. В ряд по возрастанию веса стоят 33 гири. Известно, что каждые четыре подряд стоящие гири можно разложить на две чаши весов так, чтобы было равновесие. Третья гиря весит 9 г, девятая – 33 г. Сколько весит 33-я гиря?

3. Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4, а произведение суммы любых трех положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 9.

4. Могут ли числа 11, 12 и 13 быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

5. В треугольнике ABC точки P и Q расположены на сторонах AB и BC соответственно. Треугольник BPQ остроугольный и PM, QN – его высоты. Докажите, что если около четырехугольника APQC можно описать окружность, то MN || AC.

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап              

Класс

 

1. Какое наибольшее значение может принимать сумма косинусов всех углов равнобедренного треугольника?

2. В соревнованиях по волейболу, где не бывает ничьих, участвует 5 команд. Все команды сыграли друг с другом. Команда, занявшая 1 место, выиграла все встречи, ровно по две победы одержали только команды, занявшие второе и третье место. В случае равенства очков место определяется по результату встречи между командами. Сколько побед одержала команда, занявшая последнее место? Определите, кто у кого выиграл.

3. Длины диагоналей ромба и длина его стороны образуют геометрическую прогрессию. Найдите синус угла между стороной ромба и его большей диагональю, если известно, что он больше 1/2.

4. Произведение всех натуральных чисел от 1 до  принято обозначать  (читается “ – факториал”). Какое из чисел больше  или ?

5. В выпуклом четырехугольнике ABCDна сторонах ABи CDрасположены точки P иQсоответственно. Известно, что AQ||CP, BQ||DP, AB⊥ BCи CD⊥ DP. Докажите, что AB⊥ AD.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: