Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап            

7 класс

1. Сразу после сбора урожая содержание воды в 1 тонне помидоров составляло 99%. К моменту продажи доля воды уменьшилась на 4% (после просушки). Чему стал равен суммарный вес помидоров?

2. В ноябре 2017 года учитель решил провести 11 занятий по математике. Докажите, что найдутся три дня подряд, в которые не будет ни одного занятия по математике (суббота, воскресенье – выходные).

3. Как за 3N – 2 взвешиваний найти самый лёгкий и самый тяжёлый камни из 2N камней, любые два из которых отличаются по весу? Все взвешивания производятся на двухчашечных весах без гирь.

4. Найдите два числа, сумма которых равняется 2017, а сумма чисел, записанных теми же цифрами, но в обратном порядке, равняется 8947.

5. В ряд выписаны числа от 0 до 9. За одно действие мы можем либо добавить к двум соседним числам по 1, либо умножить три произвольных числа на 3. Какое минимальное количество действий нужно совершить, чтобы все числа в этом ряду стали равными?

 

 

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап              

 8 класс

1. Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками. Сколько стоила одна книга?

2. В ряд по возрастанию выписано 10 натуральных чисел так, что каждое из чисел, кроме первого делится на какое-нибудь из предыдущих. Первое число не равно 1, а сумма всех 10 чисел равна 275. Восстановите эти числа.

3. В треугольнике  провели биссектрисы углов  и .  и  - основания перпендикуляров из вершины  на эти две биссектрисы. Доказать, что отрезок  параллелен стороне .

4. На двери сейфа расположено 15 выключателей. У каждого выключателя есть два возможных состояния - " включен" и " выключен", но по виду выключателя невозможно определить, в каком положении он находится. За один рубль разрешается переключить один выключатель. Дверь откроется, если ровно 8 выключателей окажутся в положении " включен". Как гарантировано открыть сейф, потратив не более 15 рублей?

5. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, каждый угол которого равен либо , либо ?

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап             

8 класс

1. Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками. Сколько стоила одна книга?

2. В ряд по возрастанию выписано 10 натуральных чисел так, что каждое из чисел, кроме первого делится накакое-нибудь из предыдущих. Первое число не равно 1, а сумма всех 10 чисел равна 275. Восстановите эти числа.

3. В треугольнике  провели биссектрисы углов  и .  и  - основания перпендикуляров из вершины  на эти две биссектрисы. Доказать, что отрезок  параллелен стороне .

4. На двери сейфа расположено 15 выключателей. У каждого выключателя есть два возможных состояния - " включен" и " выключен", но по виду выключателя невозможно определить, в каком положении он находится. За один рубль разрешается переключить один выключатель. Дверь откроется, если ровно 8 выключателей окажутся в положении " включен". Как гарантировано открыть сейф, потратив не более 15 рублей?

5. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, каждый угол которого равен либо , либо ?

 

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019-2020

Школьный этап              

 9 класс

 

1. Марсиане любят танцевать танцы, в которых нужно браться за руки. В танце «Пирамидка» может участвовать не более 7 марсиан, у каждого из которых не более трех рук. Какое наибольшее число рук может быть у танцующих, если любая рука одного марсианина держит ровно одну руку другого марсианина?

 

2.На доске написано число 98.Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?

 

3. Существует ли число, которое делится на 737 и десятичная запись которого состоит из единиц и нулей?

 

4. По определению многоугольник правильный, если все его углы и стороны соответственно равны. Точки A, B, C, D – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что угол . Сколько вершин у этого многоугольника?

 

5. В прямоугольном треугольнике АВС внутри отрезка BC расположена точка D, CPиCQ – высоты треугольников ABC и ADCсоответственно. Докажите, что треугольники APQ и ADB подобны.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: