Достаточное условие экстремума функции двух переменных,

для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке Для компактности обычно используют следующие обозначения:

Если , то функция имеет экстремум в точке , причём, если , то это минимум, а если – то максимум.

Примечание : здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т.к. неравенство выполняется только в том случае, если и – одного знака.

Если , то в точке нет экстремума.

Если же , то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.

В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:

а значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке :

Таким образом: , следовательно, в точке есть экстремум, и так как , то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию , чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:

Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».

Ответ:

Признаюсь честно, привык я использовать значки , что не есть хорошо, т.к. они обычно используется для обозначения минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.

И справка для любознательных: поверхность представляет собой не что иное, как «подзашифорованный» эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.

Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Пример 3

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.

Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.

Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:

Пример 4

Исследовать функцию на экстремум

Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении правила , после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по необходимости «наводить там порядок»:

На всякий пожарный проверим, что (тем более, находить всё равно придётся):

ОК

Составляем систему:

Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:

В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:

(к такому же результату приводит вычитание одного уравнения из другого )

Теперь подставляем соотношение в любое, например, во 2-е уравнение системы:

В результате получены 2 стационарные точки:

Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:

Смешанная производная уже найдена:

И, наконец, «двойная игрековая»:

...Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)

На очереди кропотливые вычисления:

1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке нет экстремума.

2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку , то это – максимум. Вспоминаем про функцию и НЕ ОШИБАЕМСЯ:

Ответ:

О точке перевала в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.

От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:

Пример 5

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока

Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр: . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)

И специально для всех читателей mathprofi.ru, можно сказать, эксклюзивная задача:

Пример 6

Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно:

Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:

Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка обращает знаменатели в ноль, то есть функция – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:

И более того, поверхность непрерывна в точке (да и вообще в любой точке плоскости ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум?

Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции ) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!

Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни , что делает невозможным вычисление значений .

Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!

Рассмотрим достаточно малую -окрестность точки . Любую точку данной окрестности, отличную от , можно представить в виде , где значения не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка входила в эту окрестность.

Примечание : оба числа могут быть положительны , отрицательны , разных знаков: либо ; и, кроме того, одно из них может равняться нулю (ещё 4 случая). Таким образом, обозначение действительно пригодно.

Вычислим значение функции в этой произвольной точке окрестности:

Так как не равны нулю одновременно, то корень будет хоть чуть-чуть, но больше нуля, а значит, . И вспоминая, что , записываем очевидный факт: . Грубо говоря, в рассматриваемой окрестности значение «самое низкое».

Вывод: для точки нашлась -окрестность, в которой выполнено неравенство , таким образом, – минимум по определению.

Нетрудно понять, что минимум глобальный. Геометрически поверхность представляет собой своеобразное пространственное остриё, а точнее – «шип».

Ответ:

Представленное решение полностью корректно и полноценно! Более того, данный способ можно попытаться применить и в ситуации, когда достаточное условие экстремума не даёт ответа . Однако дело осложняется тем, что неравенство либо нужно обосновать для каждого из восьми случаев (см. Примечание), что реально осуществимо далеко не всегда. Зависит от функции.

И заключительный, не менее интересный параграф:

 

⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒

Поделиться: