Производная по направлению и градиент функции трёх переменных

Грубо говоря, добавляется одно измерение и одно слагаемое. Рассмотрим функцию трёх переменных и точку , принадлежащую её области определения.

Если в точке существует производная по направлению пространственного луча (исходящего из точки ), то её можно рассчитать по следующей формуле:

, где:

– частные производные функции трёх переменных в точке ;
– направляющие косинусы данного направления (они же соответствующие координаты направляющего вектора единичной длины).

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который указывает направление наибыстрейшего возрастания данной функции в данной точке.

И обещанный физический пример: рассмотрим функцию трёх переменных , которая характеризует температуру некоего пространственного тела в каждой его точке . Тогда производная по тому или иному направлению в некоторой точке тела будет показывать скорость нагревания/охлаждения тела в соответствующих направлениях, а вектор – указывать направление наибыстрейшего роста температуры в этой точке.

Вот такой вот удачный и понятный пример – не какие-нибудь плохо представляемые электрические поля.

Закрепим формулы несколькими задачами:

Пример 8

Найти производную функции в точке по направлению вектора

Не тушуемся, это пространственный вектор:

Алгоритм решения остаётся прежним. Вычислим частные производные 1-го порядка в точке . Вот уж где точно нужен глаз да глаз:

Найдем направляющие косинусы данного направления:

Контроль:

И завершающий шаг:

Ответ:

Пара символических заданий для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти производную функции в точке по направлению, составляющему с положительными координатными полуосями равные углы.

Пример 10

Найти направление и величину наибыстрейшего возрастания функции в точке .

 

Двойные интегралы для чайников

 

Данный урок открывает обширную тему кратных интегралов, с которыми студенты обычно сталкиваются на втором курсе. Двойными и тройными интегралами можно запугать обывателя не хуже, чем дифференциальными уравнениями, поэтому сразу же разберёмся с вопросом: сложно или нет? Конечно, некоторым будет сложно, и, если честно, я немного слукавил с названием статьи – для того, чтобы научиться решать двойные интегралы, необходимо обладать некоторыми навыками. Во-первых, если речь идёт об интегралах, то, очевидно, придётся интегрировать. Логично. Следовательно, для освоения примеров нужно уметь находить неопределённые интегралы и вычислять определённые интегралы хотя бы на среднем уровне. Хорошая новость состоит в том, что сами по себе интегралы в большинстве случаев достаточно просты.

Кому придётся туговато? Понятное дело. Тем, кто много пил пиво в течение первых семестров. Однако нормальных студентов тоже обнадёжу – на сайте есть все материалы, чтобы восполнить пробелы или недопонимание. Просто вам придётся потратить больше времени. Ссылки на темы, которые следует изучить или повторить, будут прилагаться по ходу статьи.

На вводном уроке поэтапно и подробно будут разобраны следующие базовые моменты:

– Понятие двойного интеграла

– Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода?

– Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

После того, как вы ХОРОШО поймёте все азы, можно будет перейти к статье Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений. Кроме того, существует распространенная задача о вычислении двойного интеграла в полярных координатах и типовое приложение о нахождении центра тяжести плоской ограниченной фигуры.

Начнём с насущного вопроса – что это такое?

 

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:
– значок двойного интеграла;
– область интегрирования (плоская фигура);
– подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;
– значки дифференциалов.

⇐ Предыдущая17181920212223242526Следующая ⇒

Поделиться: