Построение математической модели линейной системы. Передаточная функция.

Математические модели

Реальные системы управления, как правило, достаточно сложны. Приведенные ниже примеры используются для иллюстрации основных задач теории управления. Поэтому рассматриваемые системы управления отличаются максимальной простотой и наглядностью

Математическое описание системы будет представлять собой некоторое уравнение, в которое будут входить величины воздействий, управляемые величины и их производные. Следовательно, такое уравнение будет дифференциальным уравнением и в общем случае его можно записать следующим образом:

.

Решением этого уравнения является функция описывающая изменение управляемой величины системы во времени или процесс в системе. Дифференциальное уравнение описывает поведение системы в динамике. Для характеристики системы в статике следует принять и , тогда система опишется зависимостью которая называется статической характеристикой системы.

 

Передаточная функция

Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

Если предположить, что система в исходном состоянии имеет нулевые начальные условия y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) =... = 0и применить к дифференциальному уравнению системы преобразование Лапласа, то получим изображение Лапласа для дифференциального уравнения системы .

Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и связывает изображения входной и выходной величин системы , , где L – символ преобразования Лапласа.

В уравнении − комплексный параметр функций-изображений. Уравнение можно решить относительно изображения выходной величиныY(p)

Передаточной функцией элемента или системы автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин:

При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символа р в соответствующей степени.

При р= 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Для передаточной функции m < n.

При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом:

и .

Корни полинома от p степени m, стоящего в числителе передаточной функции, называются нулями передаточной функции, корни полинома в знаменателе передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеет m нулей и n полюсов. Нули и полюса могут быть комплексными.

3. Приведите пример построения модели линейной системы.

Линейная система – это система, в которой выполняется следующее свойство линейности: еслиx1 (t)→ y1 (t) иx2 (t)→ y2 (t), тоα x1 (t)+ β x2 (t)→ α y1 (t)+ β y2 (t). Здесь операции над сигналами следует понимать как операции над функциями от аргументаt.

Большое количество реальных систем по преобразованию сигналов можно считать линейными. Например, микрофон является линейной системой (с достаточной степенью точности), так как если в него будут говорить одновременно 2 человека с разной громкостью, то электрический сигнал на выходе будет взвешенной суммой сигналов (от каждого человека в отдельности) на входе, а коэффициенты будут означать громкость разговора первого и второго человека.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №31

1. Понятие нелинейной модели. Основные виды нелинейных моделей.

2. Основные критерии сравнения нелинейных моделей.

3. Приведите пример использования нелинейной модели для описания

системы.

Нелинейность

Нелинейность описывает фундаментальные и универсальные связи и отношения между объектами. Ее можно назвать противоположностью линейности. Но все даже сложнее, т.к. нелинейность перечеркивает принцип суперпозиции и ничего не предлагает взамен.

В нелинейных системах появляется качественно иные свойства, не присутствующие в составляющих систему частях.

Нелинейная регрессия

Под моделью линейной регрессии будем понимать модель вида:

где y – объясняемый ряд, x₁, …, x_k – объясняющие ряды, e – вектор ошибок модели, b – вектор коэффициентов модели.

Коэффициенты модели вычисляются методом, минимизирующим значение суммы квадратов остатков. Для данной модели будут актуальны те же критерии, что и для линейной регрессии, кроме проверки матрицы корреляций. Отметим ещё, что F-статистика будет проверять, является ли значимой модель в целом по сравнению с моделью y = b₀ + e, даже если в исходной модели у функции f (x₁, …, x_k, b) нет слагаемого, соответствующего константе.

 

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №32

1. Понятие модели экономического развития системы.

2. Основные виды моделей для экономических систем и области их

применения.

3. Приведите пример модели экономической системы.

 

 

Экономическая система(см. рис.) - это исторически возникшая или установленная, действующая совокупность принципов, правил, законодательно закрепленных норм, определяющих форму и содержание основных экономических отношений, возникающих в процессе производства, распределения и потребления экономического продукта.

Подходы к изучению экономической системы:

· технологический;

· базисный;

· как системы производственных отношений;

· как совокупности институтов;

· комплексный.

Научные подходы к рассмотрению экономической системы:

· формационный;

· стадийный;

· цивилизованный.

Для характеристики любой системы выделяют ее элементы, уровни организации, структуру, функции. Экономическая система общества состоит из более мелких систем, секторов:

· государственного;

· кооперативного;

· домохозяйств;

· предпринимательского.

Типы экономических систем.Классификация в науке выступает инструментом систематизации явлений и процессов на основе выделения критериев.
Критерий - показатель, признак, на основе которого формируется оценка качества экономического объекта, процесса.
Критериями классификации экономических систем могут быть:

· преобладающая форма хозяйствования (натуральная или товарная);

· степень зрелости экономической системы;

· основные формы собственности;

· степень открытости экономики;

· сотрудничество в рамках мирового сообщества;

· степень государственного влияния на экономическое развитие;

· структура валового внутреннего продукта;

· развитие преобладающих отраслей народного хозяйства;

· уровень научно-технического и технологического развития.

 

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: