Универсальная тригонометрическая подстановка

Эта группа формул позволяет выражать значения всех тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Данные формулы часто используются при решении уравнений и произведении преобразований.

Для того, чтобы выразить через воспользуемся ранее выведенной формулой:

,

,

,

при , .

Далее используя формулу и только что выведенное соотношение для косинуса получим зависимость между и :

последняя формула также имеет смысл при , .

Формулы для тангенса и котангенса получаются при помощи формул двойного угла:

при , , ,

при , .

Формулы произведения тригонометрических функций

Данная группа формул является следствием формул суммы и разности двух углов.

Теорема 5. Для любых вещественных и справедливы следующие соотношения:

,

.

Доказательство. Запишем формулы косинуса и синуса суммы и разности для углов и :

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Произведем следующие преобразования:

((1)-(2))/2:

((1)+(2))/2:

((3)+(4))/2:

Что и требовалось доказать.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Эти формулы также являются следствием формул суммы и разности двух углов.

Для получения формул суммы и разности функций заметим, что любые углы и можно представить следующим образом:

,

.

Найдем сумму синусов двух произвольных углов и :

Найдем разность синусов двух произвольных углов и :

Найдем сумму косинусов двух произвольных углов и :

Найдем разность косинусов двух произвольных углов и :

Найдем сумму и разность тангенсов двух углов и , таких что , , :

Найдем сумму и разность котангенсов двух углов и , таких что , , :

Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента

Рассмотрим выражение вида

,

в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что

,

а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол , что

и .

Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем

Формула

где такой угол, что и , носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение , где – известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь , и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , , – бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий числу , приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку . Такой угол называют арксинусом числа .

Арксинусом действительного числа называется действительное число , синус которого равен . Такое число обозначают .

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида . Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу , т.е. точки пересечения с прямой . Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если , имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов , , .

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку ; такой угол называют арккосинусом числа .

Арккосинусом действительного числа называется действительное число , косинус которого равен . Такое число обозначают .

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение . Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой , угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам , , .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала .

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , тангенс которого равен . Такое число обозначают .

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала .

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , котангенс которого равен . Такое число обозначают .

Рекомендуемые страницы: