Универсальная тригонометрическая подстановка
Эта группа формул позволяет выражать значения всех тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Данные формулы часто используются при решении уравнений и произведении преобразований.
Для того, чтобы выразить
через
воспользуемся ранее выведенной формулой:
,
,
,
при
,
.
Далее используя формулу
и только что выведенное соотношение для косинуса получим зависимость между
и
:

последняя формула также имеет смысл при
,
.
Формулы для тангенса и котангенса получаются при помощи формул двойного угла:
при
,
,
,
при
,
.
Формулы произведения тригонометрических функций
Данная группа формул является следствием формул суммы и разности двух углов.
Теорема 5. Для любых вещественных
и
справедливы следующие соотношения:

,
.
Доказательство. Запишем формулы косинуса и синуса суммы и разности для углов
и
:
, (1)
, (2)
, (3)
. (4)
Произведем следующие преобразования:
((1)-(2))/2:

((1)+(2))/2:

((3)+(4))/2:

Что и требовалось доказать.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Эти формулы также являются следствием формул суммы и разности двух углов.
Для получения формул суммы и разности функций заметим, что любые углы
и
можно представить следующим образом:
,
.
Найдем сумму синусов двух произвольных углов
и
:

Найдем разность синусов двух произвольных углов
и
:

Найдем сумму косинусов двух произвольных углов
и
:

Найдем разность косинусов двух произвольных углов
и
:

Найдем сумму и разность тангенсов двух углов
и
, таких что
,
,
:

Найдем сумму и разность котангенсов двух углов
и
, таких что
,
,
:

Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента
Рассмотрим выражение вида
,
в котором числа
и
не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на
и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что
,
а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол
, что
и
.
Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем
Формула

где
такой угол, что
и
, носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.
Обратные тригонометрические функции
Определения
До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.
Арксинус
Рассмотрим выражение
, где
– известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол
с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения
надо найти точки пересечения прямой
и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при
прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение
не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.
При
прямая и окружность имеют точки пересечения, например,
и
(см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь
,
и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е.
,
,
– бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?
Чтобы однозначно определить угол
, соответствующий числу
, приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку
. Такой угол
называют арксинусом числа
.
Арксинусом действительного числа
называется действительное число
, синус которого равен
. Такое число обозначают
.
Арккосинус
Рассмотрим теперь уравнение вида
. Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу
, т.е. точки пересечения с прямой
. Как и в предыдущем случае при
рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если
, имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов
,
,
.

Чтобы однозначно определить угол
, соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку
; такой угол называют арккосинусом числа
.
Арккосинусом действительного числа
называется действительное число
, косинус которого равен
. Такое число обозначают
.
Арктангенс и арккотангенс
Рассмотрим выражение
. Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой
, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях
пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам
,
,
.
Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала
.

Арктангенсом произвольного действительного числа
называется действительное число
, тангенс которого равен
. Такое число обозначают
.
Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой
и угол выбирается из интервала
.
Арккотангенсом произвольного действительного числа
называется действительное число
, котангенс которого равен
. Такое число обозначают
.
Рекомендуемые страницы: