Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Универсальная тригонометрическая подстановка



Эта группа формул позволяет выражать значения всех тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Данные формулы часто используются при решении уравнений и произведении преобразований.

Для того, чтобы выразить через воспользуемся ранее выведенной формулой:

,

,

,

при , .

Далее используя формулу и только что выведенное соотношение для косинуса получим зависимость между и :

последняя формула также имеет смысл при , .

Формулы для тангенса и котангенса получаются при помощи формул двойного угла:

при , , ,

при , .

Формулы произведения тригонометрических функций

Данная группа формул является следствием формул суммы и разности двух углов.

Теорема 5. Для любых вещественных и справедливы следующие соотношения:

,

.

Доказательство. Запишем формулы косинуса и синуса суммы и разности для углов и :

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Произведем следующие преобразования:

((1)-(2))/2:

((1)+(2))/2:

((3)+(4))/2:

Что и требовалось доказать.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Эти формулы также являются следствием формул суммы и разности двух углов.

Для получения формул суммы и разности функций заметим, что любые углы и можно представить следующим образом:

,

.

Найдем сумму синусов двух произвольных углов и :

Найдем разность синусов двух произвольных углов и :

Найдем сумму косинусов двух произвольных углов и :

Найдем разность косинусов двух произвольных углов и :

Найдем сумму и разность тангенсов двух углов и , таких что , , :

Найдем сумму и разность котангенсов двух углов и , таких что , , :

Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента

Рассмотрим выражение вида

,

в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что

,

а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол , что

и .

Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем

Формула

где такой угол, что и , носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение , где – известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь , и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , , – бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий числу , приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку . Такой угол называют арксинусом числа .

Арксинусом действительного числа называется действительное число , синус которого равен . Такое число обозначают .

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида . Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу , т.е. точки пересечения с прямой . Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если , имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов , , .

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку ; такой угол называют арккосинусом числа .

Арккосинусом действительного числа называется действительное число , косинус которого равен . Такое число обозначают .

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение . Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой , угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам , , .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала .

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , тангенс которого равен . Такое число обозначают .

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала .

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , котангенс которого равен . Такое число обозначают .







Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 331; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.007 с.) Главная | Обратная связь