Свойства обратных тригонометрических функций

Область определения и область значения

Четность/нечетность

Преобразование обратных тригонометрических функций

Для преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции, часто используются свойства, следующие из определения этих функций:

Для любого действительного числа выполняется

, ,

и наоборот:

, ,

, .

Аналогично для любого действительного числа выполняется

, ,

и наоборот:

, ,

, .

Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Начнем с построения графика функции на отрезке . Для этого воспользуемся определением синуса на тригонометрической окружности. Разделим тригонометрическую окружность на (в данном случае 16) равных частей и разместим рядом систему координат, где отрезок на оси также разделен на равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восстановленными из соответствующих точек деления на оси , получаем точки, координаты которых по определению равны синусам соответствующих углов. Проводя через эти точки плавную кривую, получим график функции для . Для получения графика функции на всей числовой прямой используют периодичность синуса: , .

Для получения графика функции воспользуемся формулой приведения . Таким образом, график функции получается из графика функции путем параллельного переноса влево на отрезок длиной .

Использование графиков тригонометрических функций дает еще один простой способ получения формул приведения. Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение . На оси обозначим угол и обозначим его синус и косинус за и соответственно. Найдем на оси угол и восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком синуса. Из рисунка очевидно, что .

Задание: упростить выражение .

Перейдем к построению графика функции . Сначала вспомним, что для угла тангенсом является длина отрезка АВ. По аналогии с построением графика синуса, разбивая правую полуокружность на равные части и откладывая получившиеся значения тангенсов получаем график, изображенный на рисунке. Для остальных значений график получается с использованием свойства периодичности тангенса , .

Пунктирными линиями на графике изображены асимптоты. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность, но не пересекает ее.

Для тангенса асимптотами являются прямые , появление которых связано с обращением в этих точках в ноль .

С использованием аналогичных рассуждений получается график функции . Для него асимптотами являются прямые , . Этот график можно получить и воспользовавшись формулой приведения , т.е. преобразованием симметрии относительно оси и сдвигом на вправо.

Далее приведена таблица, суммирующая свойства тригонометрических функций.

Свойства тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций

Сначала введем понятие обратной функции.

Если функция монотонно возрастает или убывает, то для нее существует обратная функция . Для построения графика обратной функции график следует подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой . На рисунки приведен пример получения графика обратной функции.

Поскольку функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс являются обратными к функция синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно, их графики получаются описанным выше преобразованием. Графики исходных функций на рисунках закрашены.

Из приведенных выше рисунков очевидно одно из основных свойств обратных тригонометрических функций: сумма ко-функций одного и того же числа дает .

Далее приведены свойства обратных тригонометрических функций.

Свойства обратных тригонометрических функций

⇐ Предыдущая 1 23