Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Соответствие между углами и числовым рядом



Тригонометрия

Наталья Сергеевна Шабрыкина

Углы и их измерение

Пусть даны два совпадающих луча - подвижный и - неподвижный. И пусть луч поворачиваясь в плоскости вокруг точки , совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч впервые опять совпадет с лучом , называется полным оборотом.

Пусть луч совершил некоторый поворот, тогда говорят, что он задает угол , соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки , которая называется вершиной угла. Луч носит название начала отсчета и обычно направлен горизонтально вправо.

Для измерения углов применяют две меры.

Градусная мера угла

Поворот, равный полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус. Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1’ = 1/60 градуса; 1 секунда = 1’’ = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.

Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота – прямым.

Радианная мера угла

Рассмотрим два луча - подвижный и - неподвижный. Выберем на них точки и , которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка будет описывать окружность радиуса . Повернем подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние, равное радиусу: , тогда луч составит с лучом угол в один радиан.

Если повернуть подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние , тогда луч составит с лучом угол в радиан.

При совершение полного оборота точка проходит расстояние, равное длине окружности , значит полный оборот соответствует углу радиан.

Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом, и .

Соответствие между углами и числовым рядом

Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны - это число, равное 3,14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до . Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим , следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на или кратное им будет соответствовать одно и то же взаимное положение подвижного или неподвижного лучей. Отрицательные же углы соответствуют повороту подвижного луча против часовой стрелки. Таким образом, любое действительное число представляет собой радианную меру какого-либо угла и наоборот, любому углу можно поставить в соответствие действительное число.

Тригонометрические функции

Определения

Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный (где точка ) и подвижный (где точка ). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол .

Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется синусом угла : .

Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется косинусом угла : .

Таким образом, точка , являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол , имеет координаты .

Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу: , , .

Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу: , , .

Четность/нечетность

Рассмотрим тригонометрические функции двух углов (который соответствует подвижному радиусу ) и (который соответствует подвижному радиусу ). Поскольку , значит точка имеет координаты . Поэтому , т.е. синус – функция нечетная; , т.е. косинус – функция четная; , т.е. тангенс нечетен; , т.е. котангенс также нечетен.

Промежутки знакопостоянства

Знаки тригонометрических функций для различных координатных четвертей следуют из определения этих функций. Следует отметить, что поскольку тангенс и котангенс являются отношениями синуса и косинуса, они положительны, когда синус и косинус угла имеют одинаковые знаки и отрицательны когда разные.

синус косинус тангенс, котангенс

Периодичность

Периодичность синуса и косинуса основана на том факте, что углы, отличающиеся на целое количество полных оборотов, соответствуют одному и тому же взаимному расположению подвижного и неподвижного лучей. Соответственно и координаты точки пересечения подвижного луча и тригонометрической окружности будут одинаковы для углов, отличающихся на целое количество полных оборотов. Таким образом, периодом синуса и косинуса является и , , где .

Очевидно, что также является периодом для тангенса и котангенса. Но существует ли меньший период для этих функций? Докажем, что наименьшим периодом для тангенса и котангенса является .

Рассмотрим два угла и . Оп геометрическому смыслу тангенса и котангенса , , , . По стороне и прилежащим к ней углам равны треугольники и , значит равны и их стороны, значит и . Аналогичным образом можно доказать, то , , где . Таким образом, периодом тангенса и котангенса является .

Формулы тригонометрии

Для успешного решения тригонометрических задач необходимо владеть многочисленными тригонометрическими формулами. Тем не менее, нет необходимости заучивать все формулы. Знать наизусть нужно лишь самые основные, а остальные формулы нужно уметь при необходимости вывести.

Формулы приведения

С помощью формул приведения можно выразить значения тригонометрических функций произвольных углов через значения функций острого угла. Все формулы приведения могут быть обобщены с помощью следующего правила.

Любая тригонометрическая функция угла , по абсолютной величине равна той же функции угла , если число – четное, и ко-функции угла , если число – нечетное. При этом если функция угла , положительна, когда – острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение , где – известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь , и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , , – бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий числу , приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку . Такой угол называют арксинусом числа .

Арксинусом действительного числа называется действительное число , синус которого равен . Такое число обозначают .

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида . Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу , т.е. точки пересечения с прямой . Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если , имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов , , .

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку ; такой угол называют арккосинусом числа .

Арккосинусом действительного числа называется действительное число , косинус которого равен . Такое число обозначают .

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение . Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой , угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам , , .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала .

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , тангенс которого равен . Такое число обозначают .

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала .

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , котангенс которого равен . Такое число обозначают .

Четность/нечетность

 

Список литературы

 

 

Тригонометрия

Наталья Сергеевна Шабрыкина

Углы и их измерение

Пусть даны два совпадающих луча - подвижный и - неподвижный. И пусть луч поворачиваясь в плоскости вокруг точки , совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч впервые опять совпадет с лучом , называется полным оборотом.

Пусть луч совершил некоторый поворот, тогда говорят, что он задает угол , соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки , которая называется вершиной угла. Луч носит название начала отсчета и обычно направлен горизонтально вправо.

Для измерения углов применяют две меры.

Градусная мера угла

Поворот, равный полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус. Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1’ = 1/60 градуса; 1 секунда = 1’’ = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.

Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота – прямым.

Радианная мера угла

Рассмотрим два луча - подвижный и - неподвижный. Выберем на них точки и , которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка будет описывать окружность радиуса . Повернем подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние, равное радиусу: , тогда луч составит с лучом угол в один радиан.

Если повернуть подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние , тогда луч составит с лучом угол в радиан.

При совершение полного оборота точка проходит расстояние, равное длине окружности , значит полный оборот соответствует углу радиан.

Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом, и .

Соответствие между углами и числовым рядом

Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны - это число, равное 3,14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до . Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим , следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на или кратное им будет соответствовать одно и то же взаимное положение подвижного или неподвижного лучей. Отрицательные же углы соответствуют повороту подвижного луча против часовой стрелки. Таким образом, любое действительное число представляет собой радианную меру какого-либо угла и наоборот, любому углу можно поставить в соответствие действительное число.

Тригонометрические функции

Определения

Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный (где точка ) и подвижный (где точка ). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол .

Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется синусом угла : .

Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется косинусом угла : .

Таким образом, точка , являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол , имеет координаты .

Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу: , , .

Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу: , , .







Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 204; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.022 с.) Главная | Обратная связь