|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Соответствие между углами и числовым рядомСтр 1 из 3Следующая ⇒
Тригонометрия Наталья Сергеевна Шабрыкина Углы и их измерение Пусть даны два совпадающих луча
Пусть луч Для измерения углов применяют две меры. Градусная мера угла Поворот, равный Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота – прямым. Радианная мера угла Рассмотрим два луча
Если повернуть подвижный луч При совершение полного оборота точка Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом, Соответствие между углами и числовым рядом Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны Тригонометрические функции Определения Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол Таким образом, точка Тангенсом угла Котангенсом угла Четность/нечетность
Рассмотрим тригонометрические функции двух углов Промежутки знакопостоянства Знаки тригонометрических функций для различных координатных четвертей следуют из определения этих функций. Следует отметить, что поскольку тангенс и котангенс являются отношениями синуса и косинуса, они положительны, когда синус и косинус угла имеют одинаковые знаки и отрицательны когда разные.
синус косинус тангенс, котангенс Периодичность Периодичность синуса и косинуса основана на том факте, что углы, отличающиеся на целое количество полных оборотов, соответствуют одному и тому же взаимному расположению подвижного и неподвижного лучей. Соответственно и координаты точки пересечения подвижного луча и тригонометрической окружности будут одинаковы для углов, отличающихся на целое количество полных оборотов. Таким образом, периодом синуса и косинуса является Очевидно, что
Рассмотрим два угла Формулы тригонометрии Для успешного решения тригонометрических задач необходимо владеть многочисленными тригонометрическими формулами. Тем не менее, нет необходимости заучивать все формулы. Знать наизусть нужно лишь самые основные, а остальные формулы нужно уметь при необходимости вывести. Формулы приведения С помощью формул приведения можно выразить значения тригонометрических функций произвольных углов через значения функций острого угла. Все формулы приведения могут быть обобщены с помощью следующего правила. Любая тригонометрическая функция угла Определения До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол. Арксинус Рассмотрим выражение
Очевидно, что при При Чтобы однозначно определить угол Арксинусом действительного числа Арккосинус Рассмотрим теперь уравнение вида
Чтобы однозначно определить угол Арккосинусом действительного числа Арктангенс и арккотангенс Рассмотрим выражение Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала
Арктангенсом произвольного действительного числа Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой Арккотангенсом произвольного действительного числа Четность/нечетность
Список литературы
Тригонометрия Наталья Сергеевна Шабрыкина Углы и их измерение Пусть даны два совпадающих луча
Пусть луч Для измерения углов применяют две меры. Градусная мера угла Поворот, равный Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота – прямым. Радианная мера угла Рассмотрим два луча
Если повернуть подвижный луч При совершение полного оборота точка Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом, Соответствие между углами и числовым рядом Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны Тригонометрические функции Определения Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол Таким образом, точка Тангенсом угла Котангенсом угла Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 1336; Нарушение авторского права страницы
- подвижный и 
- неподвижный. И пусть луч 
, совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч 
, соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки 
полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус. Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1’ = 1/60 градуса; 1 секунда = 1’’ = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.
и 
, которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка 
. Повернем подвижный луч 
, тогда луч 
, тогда луч 
, значит полный оборот соответствует углу 
радиан.
и 
.
- это число, равное 3, 14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до 
. Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим 
, следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на 
(где точка 
) и подвижный 
(где точка 
). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол 
.
.
, являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол 
.
, 
, 
.
, 
, 
) и 
(который соответствует подвижному радиусу 
). Поскольку 
, значит точка 
имеет координаты 
. Поэтому 
, т.е. синус – функция нечетная; 
, т.е. косинус – функция четная; 
, т.е. тангенс нечетен; 
, т.е. котангенс также нечетен.
, 
, где 
и 
. Оп геометрическому смыслу тангенса и котангенса 
, 
, 
, 
. По стороне и прилежащим к ней углам равны треугольники 
и 
, значит равны и их стороны, значит 
и 
. Аналогичным образом можно доказать, то 
, 
, где 
, 
– четное, и ко-функции угла 
, где 
– известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол 
с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения 
и тригонометрической окружности.
прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение 
прямая и окружность имеют точки пересечения, например, 
и 
(см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь 
, 
и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. 
, 
, 
. Такой угол 
называется действительное число 
, синус которого равен 
.
. Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу 
. Как и в предыдущем случае при 
; такой угол называют арккосинусом числа 
, косинус которого равен 
.
. Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой 
, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях 
.
, тангенс которого равен 
.
и угол выбирается из интервала 
.
, котангенс которого равен 
. Такое число обозначают 
.