Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей. Анализ и графическое построение АЧХ, ФЧХ, АФХ. Децибелы.

Гармонический сигнал

Гармонические сигналы формируются генератором гармонических колебаний и применяются в качестве управляющих или несущих колебаний. В теории электрических цепей для записи гармонических сигналов чаще используется тригонометрическая функция косинус, например,

где − амплитуда сигнала;

( ) − полная фаза сигнала, в рад;

− начальная фаза сигнала, в рад;

− циклическая частота, в рад/с;

− текущая частота, в Гц;

− период колебаний.

Для сравнения с источниками постоянного тока для переменных сигналов введено действующее значение, по тепловому действию аналогичное действию постоянного тока

. (3.2)

В действующих значениях калибруется большинство измерительных приборов, измеряющих токи или напряжения переменных сигналов.

Эквивалентная схема, приведенная на рисунке 3.2, содержит три разнотипных идеальных элемента электрических цепей и источник гармонического сигнала (напряжения).

Рис. 3.2

Так как законы и теоремы теории цепей справедливы для мгновенных значений любых сигналов (см. раздел 1), то в соответствии со вторым законом Кирхгофа

или, используя выражения (1.1), (1.3), (1.5), получаем:

Пусть через идеализированный элемент протекает ток с известной частотой и амплитудой

Тогда, используя выражение (3.6), получаем:

или после тригонометрических преобразований

Окончательно получаем:

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

− анализ линейных цепей гармонического тока можно проводить, используя обычные тригонометрические преобразования, однако такой вариант является трудоемким;

− идеализированные элементы на гармоническом токе ведут себя по-разному. Элемент не инерционный, не вносит дополнительного сдвига фазы. Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг (аргумент) . Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг .

Инерционность реактивных элементов в данном случае означает следующее: для индуктивности временная диаграмма напряжения опережает временную диаграмму тока на , а для емкости − отстает на (ток опережает напряжение). Появляющийся дополнительно сдвиг фазы элемента или цепи позволяет определить время запаздывания гармонического сигнала ( ), как

Учет полного сопротивления идеализированных элементов (модуля и аргумента) позволяет проводить расчеты последовательных и параллельных цепей методом векторных треугольников. В этом методе напряжениям и токам на элементах эквивалентной схемы придают смысл векторов, длины которых равны амплитудам сигналов, а углы наклонов – начальным фазовым сдвигам. С помощью законов Кирхгофа качественно (без соблюдения масштаба) строятся векторные треугольники напряжений и подобные им треугольники сопротивлений для последовательных цепей или схем и треугольники токов и проводимостей для параллельных цепей или схем. Для последовательных схем построение векторных диаграмм начинается с вектора тока, для параллельных - с вектора напряжения. По известным параметрам источников энергии, величинам элементов определяют неизвестные величины.

1.2.Комплексные преобразования гармонических сигналов. Комплексные амплитуды и сопротивления. Законы электрических цепей в комплексной форме.

Более универсальным методом анализа, чем метод векторных треугольников, является применение комплексного преобразования, при котором гармонические сигналы одной и той же частоты заменяются комплексными числами (символами), не содержащими времени.

Так как комплексное преобразование является интегральным, то для него справедливы все свойства интегралов, например:

− постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

− интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

Отсюда следует справедливость всех законов и теорем электрических цепей в комплексном виде, а также справедливость рассмотренных в разделе 2 методов анализа. Например, запись основных законов теории цепей с использованием комплексных амплитуд сигналов имеет следующий вид

Преобразуя, например, выражение (3.9) в комплексный вид, получаем

В выражении:

− сопротивление элемента сопротивления на гармоническом токе;

− комплексное (полное) сопротивление элементов индуктивности при использовании данного метода;

− комплексное (полное) сопротивление элемента емкости.

Рис. 5.3

На схеме (рис. 5.3) обозначены комплексные действующие значения токов и напряжений. В соответствии со вторым законом Кирхгофа система уравнений для контуров имеет вид:

На одной клемме вторичной обмотки трансформатора напряжений будет в фазе, а на другой – в противофазе в сравнении с входным напряжением. Это следует из того, что ток первичной обмотки отстает от входного напряжения на , а затем еще, в зависимости от рассматриваемой клеммы, дает дополнительный фазовый сдвиг сопротивление связи ( ).

В режиме холостого хода из формул можно получить полезное выражение для тока, называемого током намагничивания, и выражение для расчета взаимной индуктивности:

Для анализа при произвольной нагрузке с энергетической точки зрения не имеет значения, какой вариант включения рассматривается (встречное или согласное). Для встречного включения коэффициенты передачи по току и напряжению трансформатора при решении системы уравнений запишутся в виде

Из выражений (5.13), (5.14) следует, что коэффициенты передачи трансформаторов зависят от большого числа параметров, что следует учитывать при проектировании реальных трансформаторов.

Согласующие трансформаторы проектируют с большим значением индуктивности первичной обмотки и минимальными потерями. С учетом этого при условии ® Ґ; = 0; = 0; , получаем

Такой идеализированный трансформатор называется «идеальным», согласующим и передает всю мощность из первичной обмотки в вторичную, т.е. P₁ = P₂ или

где − сопротивление источника сигнала в первичном контуре, а − сопротивление нагрузки во контуре. Или: .

Так как индуктивности реальных катушек пропорциональны квадрату числа витков, т.е. , то коэффициент трансформации идеального трансформатора .

1.7.Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные определения. Основные методы анализа.

В реальных электрических цепях происходят переключения радиоэлементов, включения и выключения источников электрической энергии, источников переменных сигналов. При переключениях (коммутациях) происходит переход цепи от одного установившегося состояния к другому, то есть изменение энергетических состояний. Для практических целей (правильной эксплуатации, оценки надежности) необходимо знать:

− вид переходных процессов на разных участках цепи;

− время завершения переходного процесса (время установления);

− максимальные значения токов и напряжений при переходных процессах.

Анализ переходных процессов чрезвычайно важен, так как длительность переходных процессов определяет готовность радиоаппаратуры к работе, а «броски» токов и напряжений при переключениях могут вывести радиоэлементы из строя.

Переходный процесс объясняется изменением энергетических состояний реактивных элементов цепи, поэтому в идеальной цепи, состоящей только из резистивных элементов, переходные процессы отсутствуют.

Основные определения:

− , − время, соответственно, непосредственно до и после переключения;

− независимые начальные условия − начальные условия для момента времени ;

− зависимые начальные условия − начальные условия для момента времени ;

− электрическая цепь с нулевыми начальными условиями − в момент времени реактивные элементы не имели энергии;

− электрическая цепь с ненулевыми начальными условиями − в момент времени некоторые реактивные элементы имели запас энергии;

− корректные переключения (коммутации) − законы коммутации не противоречат основным законам цепей и их можно применять для анализа;

− некорректные коммутации − законы коммутации противоречат теории цепей и для анализа необходимо вначале применить более общие принципы непрерывности потокосцепления и заряда.

Постановка задачи анализа:

− в большинстве случаев анализируются подключения (отключения) источников энергии (источников сигналов) произвольной формы, т.е. сигналы в цепи не длятся от - ∞ до + ∞;

− анализ может также производиться при некоммутируемом источнике энергии произвольного вида, но при этом происходит переключение элементов, что вызывает переходные процессы;

− источники электрической энергии (источники сигналов) в электрической цепи имеют конечную мощность, откуда следуют принципы непрерывности и законы коммутации, применяемые при анализе. Из ограничения по мощности источников энергии в электрической цепи следует, что энергия, запасенная в реактивных элементах при переключениях, скачком измениться не может, то есть

Энергия реактивных элементов выражается в виде

Из выражений следуют важные принципы непрерывности заряда и потокосцепления (7.5), (7.6), а также законы коммутации (7.7), (7.8)

(7.5)

. (7.6)

(7.7)

. (7.8)

Основные методы анализа основаны на следующем математическом аппарате: − классический способ решения линейных дифференциальных уравнений; − интегральные преобразования Фурье; − интегральные преобразования Лапласа; − интегралы наложения.

Гармонический сигнал

где − амплитуда сигнала;

( ) − полная фаза сигнала, в рад;

− начальная фаза сигнала, в рад;

− циклическая частота, в рад/с;

− текущая частота, в Гц;

− период колебаний.

. (3.2)

Рис. 3.2

или, используя выражения (1.1), (1.3), (1.5), получаем:

Пусть через идеализированный элемент протекает ток с известной частотой и амплитудой

Тогда, используя выражение (3.6), получаем:

или после тригонометрических преобразований

Окончательно получаем:

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

− постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

− интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

Преобразуя, например, выражение (3.9) в комплексный вид, получаем

В выражении:

− сопротивление элемента сопротивления на гармоническом токе;

− комплексное (полное) сопротивление элементов индуктивности при использовании данного метода;

− комплексное (полное) сопротивление элемента емкости.

Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей. Анализ и графическое построение АЧХ, ФЧХ, АФХ. Децибелы.

− комплексные частотные характеристики (частотные характеристики) введены для линейных электрических цепей при гармоническом воздействии;

− частота в данном случае является переменной величиной (будет обозначаться );

− при анализе применяется комплексное преобразование сигналов.

На рисунке 4.1 в виде прямоугольника показана структурная электрическая схема электрической цепи с входными клеммами “1” (слева) и выходными клеммами “2” (справа). В анализируемой цепи гармонический режим, поэтому на схеме обозначены комплексные амплитуды токов и напряжений.

1 2

Рис. 4.1

При передаче энергии слева направо (рис. 4.1) введены следующие комплексные частотные характеристики:

входное сопротивление

;

входная проводимость

;

коэффициент передачи по напряжению

= ;

коэффициент передачи по току

= ;

передаточное сопротивление

= ;

передаточная проводимость

= ;

коэффициент передачи полной мощности

= = ,

где − комплексно сопряженный коэффициент передачи.

Из приведённого перечня частотных характеристик и относятся к входным частотным характеристикам, а остальные – к передаточным.

При выборе в качестве входных правых клемм (рис. 4.1), можно ввести еще такое же количество частотных характеристик противоположного направления. Однако в расчётах чаще используется лишь одна частотная характеристика при передаче энергии ''с выхода на вход'' − это ( ).

Анализ частотных характеристик заключается в определении аналитических выражений, например, для , и качественной или количественной графической иллюстрации полученной зависимости в функции от частоты.

Аналитические выражения для частотных характеристик обычно приводят к виду

;

График модуля любой частотной характеристики называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), график фазовой характеристики – фазочастотной характеристикой (ФЧХ), а график комплексной частотной характеристики на комплексной плоскости – амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), или годографом.

Для конкретных электрических цепей (схем) аналитическое выражение, описывающее частотную характеристику в исследуемом диапазоне частот, может быть:

действительным положительным − фаза нулевая;

действительным отрицательным − фаза равна p;

мнимым ( ) − фаза равна, соответственно, ;

комплексным − фаза определяется в соответствии с формулой фазовой характеристики.

Анализ частотных характеристик электрических цепей 1-го и 2-го порядка

Электрические цепи первого порядка (с однотипными реактивными элементами) и второго порядка (с двумя разнотипными элементами) широко применяются в электротехнике и радиотехнике в качестве электрических фильтров, т.е. устройств, пропускающих сигналы в одном диапазоне частот (| | близок к единице) и ослабляющих – в другом (| | близок к нулю). Названия электрических фильтров (по расположению полосы пропускания) следующие:

фильтры нижних частот (ФНЧ);

фильтры верхних частот (ФВЧ);

полосовые фильтры (ПФ);

режекторные фильтры (РФ).

В практических измерениях и расчётах часто используют не коэффициент передачи по мощности, а наиболее удобный коэффициент передачи по напряжению. Далее в примерах, по эквивалентным схемам анализируются и . Анализ иллюстрируется графиками.

Пример 1. Провести анализ для эквивалентной схемы (рис. 4.2), получить аналитическое выражение для входного сопротивления. Проиллюстрировать аналитическое выражение графиками АЧХ и ФЧХ.

Рис. 4.2

Решение.

Входное сопротивление определяется:

Рисунок 4.3 иллюстрирует поведение реактивного сопротивления (рис. 4.3 а), его модуля (рис. 4.3 б) и фазы (рис. 4.3 в) при изменении частоты от нуля до бесконечности

(АЧХ) (ФЧХ)

0 0 0

а) б) в)

Рисунок 4

12 Следующая ⇒