Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей. Анализ и графическое построение АЧХ, ФЧХ, АФХ. Децибелы.Стр 1 из 2Следующая ⇒
Гармонический сигнал
Гармонические сигналы формируются генератором гармонических колебаний и применяются в качестве управляющих или несущих колебаний. В теории электрических цепей для записи гармонических сигналов чаще используется тригонометрическая функция косинус, например, , где − амплитуда сигнала; ( ) − полная фаза сигнала, в рад; − начальная фаза сигнала, в рад; − циклическая частота, в рад/с; − текущая частота, в Гц; − период колебаний. Для сравнения с источниками постоянного тока для переменных сигналов введено действующее значение, по тепловому действию аналогичное действию постоянного тока . (3.2) В действующих значениях калибруется большинство измерительных приборов, измеряющих токи или напряжения переменных сигналов. Эквивалентная схема, приведенная на рисунке 3.2, содержит три разнотипных идеальных элемента электрических цепей и источник гармонического сигнала (напряжения).
+
Рис. 3.2 Так как законы и теоремы теории цепей справедливы для мгновенных значений любых сигналов (см. раздел 1), то в соответствии со вторым законом Кирхгофа , или, используя выражения (1.1), (1.3), (1.5), получаем: . Пусть через идеализированный элемент протекает ток с известной частотой и амплитудой . Тогда, используя выражение (3.6), получаем: , или после тригонометрических преобразований Окончательно получаем: . Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: − анализ линейных цепей гармонического тока можно проводить, используя обычные тригонометрические преобразования, однако такой вариант является трудоемким; − идеализированные элементы на гармоническом токе ведут себя по-разному. Элемент не инерционный, не вносит дополнительного сдвига фазы. Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг (аргумент) . Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг . Инерционность реактивных элементов в данном случае означает следующее: для индуктивности временная диаграмма напряжения опережает временную диаграмму тока на , а для емкости − отстает на (ток опережает напряжение). Появляющийся дополнительно сдвиг фазы элемента или цепи позволяет определить время запаздывания гармонического сигнала ( ), как . Учет полного сопротивления идеализированных элементов (модуля и аргумента) позволяет проводить расчеты последовательных и параллельных цепей методом векторных треугольников. В этом методе напряжениям и токам на элементах эквивалентной схемы придают смысл векторов, длины которых равны амплитудам сигналов, а углы наклонов – начальным фазовым сдвигам. С помощью законов Кирхгофа качественно (без соблюдения масштаба) строятся векторные треугольники напряжений и подобные им треугольники сопротивлений для последовательных цепей или схем и треугольники токов и проводимостей для параллельных цепей или схем. Для последовательных схем построение векторных диаграмм начинается с вектора тока, для параллельных - с вектора напряжения. По известным параметрам источников энергии, величинам элементов определяют неизвестные величины.
1.2.Комплексные преобразования гармонических сигналов. Комплексные амплитуды и сопротивления. Законы электрических цепей в комплексной форме.
Более универсальным методом анализа, чем метод векторных треугольников, является применение комплексного преобразования, при котором гармонические сигналы одной и той же частоты заменяются комплексными числами (символами), не содержащими времени. Так как комплексное преобразование является интегральным, то для него справедливы все свойства интегралов, например: − постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; − интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. Отсюда следует справедливость всех законов и теорем электрических цепей в комплексном виде, а также справедливость рассмотренных в разделе 2 методов анализа. Например, запись основных законов теории цепей с использованием комплексных амплитуд сигналов имеет следующий вид , , . Преобразуя, например, выражение (3.9) в комплексный вид, получаем . В выражении: − сопротивление элемента сопротивления на гармоническом токе; − комплексное (полное) сопротивление элементов индуктивности при использовании данного метода; − комплексное (полное) сопротивление элемента емкости.
Рис. 5.3 На схеме (рис. 5.3) обозначены комплексные действующие значения токов и напряжений. В соответствии со вторым законом Кирхгофа система уравнений для контуров имеет вид:
На одной клемме вторичной обмотки трансформатора напряжений будет в фазе, а на другой – в противофазе в сравнении с входным напряжением. Это следует из того, что ток первичной обмотки отстает от входного напряжения на , а затем еще, в зависимости от рассматриваемой клеммы, дает дополнительный фазовый сдвиг сопротивление связи ( ). В режиме холостого хода из формул можно получить полезное выражение для тока, называемого током намагничивания, и выражение для расчета взаимной индуктивности:
Для анализа при произвольной нагрузке с энергетической точки зрения не имеет значения, какой вариант включения рассматривается (встречное или согласное). Для встречного включения коэффициенты передачи по току и напряжению трансформатора при решении системы уравнений запишутся в виде , . Из выражений (5.13), (5.14) следует, что коэффициенты передачи трансформаторов зависят от большого числа параметров, что следует учитывать при проектировании реальных трансформаторов. Согласующие трансформаторы проектируют с большим значением индуктивности первичной обмотки и минимальными потерями. С учетом этого при условии ® Ґ; = 0; = 0; , получаем
Такой идеализированный трансформатор называется «идеальным», согласующим и передает всю мощность из первичной обмотки в вторичную, т.е. P1 = P2 или где − сопротивление источника сигнала в первичном контуре, а − сопротивление нагрузки во контуре. Или: . Так как индуктивности реальных катушек пропорциональны квадрату числа витков, т.е. , то коэффициент трансформации идеального трансформатора . 1.7.Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные определения. Основные методы анализа. В реальных электрических цепях происходят переключения радиоэлементов, включения и выключения источников электрической энергии, источников переменных сигналов. При переключениях (коммутациях) происходит переход цепи от одного установившегося состояния к другому, то есть изменение энергетических состояний. Для практических целей (правильной эксплуатации, оценки надежности) необходимо знать: − вид переходных процессов на разных участках цепи; − время завершения переходного процесса (время установления); − максимальные значения токов и напряжений при переходных процессах. Анализ переходных процессов чрезвычайно важен, так как длительность переходных процессов определяет готовность радиоаппаратуры к работе, а «броски» токов и напряжений при переключениях могут вывести радиоэлементы из строя. Переходный процесс объясняется изменением энергетических состояний реактивных элементов цепи, поэтому в идеальной цепи, состоящей только из резистивных элементов, переходные процессы отсутствуют. Основные определения: − , − время, соответственно, непосредственно до и после переключения; − независимые начальные условия − начальные условия для момента времени ; − зависимые начальные условия − начальные условия для момента времени ; − электрическая цепь с нулевыми начальными условиями − в момент времени реактивные элементы не имели энергии; − электрическая цепь с ненулевыми начальными условиями − в момент времени некоторые реактивные элементы имели запас энергии; − корректные переключения (коммутации) − законы коммутации не противоречат основным законам цепей и их можно применять для анализа; − некорректные коммутации − законы коммутации противоречат теории цепей и для анализа необходимо вначале применить более общие принципы непрерывности потокосцепления и заряда. Постановка задачи анализа: − в большинстве случаев анализируются подключения (отключения) источников энергии (источников сигналов) произвольной формы, т.е. сигналы в цепи не длятся от - ∞ до + ∞; − анализ может также производиться при некоммутируемом источнике энергии произвольного вида, но при этом происходит переключение элементов, что вызывает переходные процессы; − источники электрической энергии (источники сигналов) в электрической цепи имеют конечную мощность, откуда следуют принципы непрерывности и законы коммутации, применяемые при анализе. Из ограничения по мощности источников энергии в электрической цепи следует, что энергия, запасенная в реактивных элементах при переключениях, скачком измениться не может, то есть , Энергия реактивных элементов выражается в виде
Из выражений следуют важные принципы непрерывности заряда и потокосцепления (7.5), (7.6), а также законы коммутации (7.7), (7.8) (7.5) . (7.6) (7.7) . (7.8) Основные методы анализа основаны на следующем математическом аппарате: − классический способ решения линейных дифференциальных уравнений; − интегральные преобразования Фурье; − интегральные преобразования Лапласа; − интегралы наложения. Гармонический сигнал
Гармонические сигналы формируются генератором гармонических колебаний и применяются в качестве управляющих или несущих колебаний. В теории электрических цепей для записи гармонических сигналов чаще используется тригонометрическая функция косинус, например, , где − амплитуда сигнала; ( ) − полная фаза сигнала, в рад; − начальная фаза сигнала, в рад; − циклическая частота, в рад/с; − текущая частота, в Гц; − период колебаний. Для сравнения с источниками постоянного тока для переменных сигналов введено действующее значение, по тепловому действию аналогичное действию постоянного тока . (3.2) В действующих значениях калибруется большинство измерительных приборов, измеряющих токи или напряжения переменных сигналов. Эквивалентная схема, приведенная на рисунке 3.2, содержит три разнотипных идеальных элемента электрических цепей и источник гармонического сигнала (напряжения).
+
Рис. 3.2 Так как законы и теоремы теории цепей справедливы для мгновенных значений любых сигналов (см. раздел 1), то в соответствии со вторым законом Кирхгофа , или, используя выражения (1.1), (1.3), (1.5), получаем: . Пусть через идеализированный элемент протекает ток с известной частотой и амплитудой . Тогда, используя выражение (3.6), получаем: , или после тригонометрических преобразований Окончательно получаем: . Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: − анализ линейных цепей гармонического тока можно проводить, используя обычные тригонометрические преобразования, однако такой вариант является трудоемким; − идеализированные элементы на гармоническом токе ведут себя по-разному. Элемент не инерционный, не вносит дополнительного сдвига фазы. Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг (аргумент) . Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг . Инерционность реактивных элементов в данном случае означает следующее: для индуктивности временная диаграмма напряжения опережает временную диаграмму тока на , а для емкости − отстает на (ток опережает напряжение). Появляющийся дополнительно сдвиг фазы элемента или цепи позволяет определить время запаздывания гармонического сигнала ( ), как . Учет полного сопротивления идеализированных элементов (модуля и аргумента) позволяет проводить расчеты последовательных и параллельных цепей методом векторных треугольников. В этом методе напряжениям и токам на элементах эквивалентной схемы придают смысл векторов, длины которых равны амплитудам сигналов, а углы наклонов – начальным фазовым сдвигам. С помощью законов Кирхгофа качественно (без соблюдения масштаба) строятся векторные треугольники напряжений и подобные им треугольники сопротивлений для последовательных цепей или схем и треугольники токов и проводимостей для параллельных цепей или схем. Для последовательных схем построение векторных диаграмм начинается с вектора тока, для параллельных - с вектора напряжения. По известным параметрам источников энергии, величинам элементов определяют неизвестные величины.
1.2.Комплексные преобразования гармонических сигналов. Комплексные амплитуды и сопротивления. Законы электрических цепей в комплексной форме.
Более универсальным методом анализа, чем метод векторных треугольников, является применение комплексного преобразования, при котором гармонические сигналы одной и той же частоты заменяются комплексными числами (символами), не содержащими времени. Так как комплексное преобразование является интегральным, то для него справедливы все свойства интегралов, например: − постоянный множитель можно выносить за знак интеграла; − интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. Отсюда следует справедливость всех законов и теорем электрических цепей в комплексном виде, а также справедливость рассмотренных в разделе 2 методов анализа. Например, запись основных законов теории цепей с использованием комплексных амплитуд сигналов имеет следующий вид , , . Преобразуя, например, выражение (3.9) в комплексный вид, получаем . В выражении: − сопротивление элемента сопротивления на гармоническом токе; − комплексное (полное) сопротивление элементов индуктивности при использовании данного метода; − комплексное (полное) сопротивление элемента емкости.
Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей. Анализ и графическое построение АЧХ, ФЧХ, АФХ. Децибелы.
− комплексные частотные характеристики (частотные характеристики) введены для линейных электрических цепей при гармоническом воздействии; − частота в данном случае является переменной величиной (будет обозначаться ); − при анализе применяется комплексное преобразование сигналов. На рисунке 4.1 в виде прямоугольника показана структурная электрическая схема электрической цепи с входными клеммами “1” (слева) и выходными клеммами “2” (справа). В анализируемой цепи гармонический режим, поэтому на схеме обозначены комплексные амплитуды токов и напряжений.
1 2
Рис. 4.1 При передаче энергии слева направо (рис. 4.1) введены следующие комплексные частотные характеристики: входное сопротивление ; входная проводимость ; коэффициент передачи по напряжению = ; коэффициент передачи по току = ; передаточное сопротивление = ; передаточная проводимость = ; коэффициент передачи полной мощности = = , где − комплексно сопряженный коэффициент передачи. Из приведённого перечня частотных характеристик и относятся к входным частотным характеристикам, а остальные – к передаточным. При выборе в качестве входных правых клемм (рис. 4.1), можно ввести еще такое же количество частотных характеристик противоположного направления. Однако в расчётах чаще используется лишь одна частотная характеристика при передаче энергии ''с выхода на вход'' − это ( ). Анализ частотных характеристик заключается в определении аналитических выражений, например, для , и качественной или количественной графической иллюстрации полученной зависимости в функции от частоты. Аналитические выражения для частотных характеристик обычно приводят к виду ; . График модуля любой частотной характеристики называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), график фазовой характеристики – фазочастотной характеристикой (ФЧХ), а график комплексной частотной характеристики на комплексной плоскости – амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), или годографом. Для конкретных электрических цепей (схем) аналитическое выражение, описывающее частотную характеристику в исследуемом диапазоне частот, может быть: действительным положительным − фаза нулевая; действительным отрицательным − фаза равна p; мнимым ( ) − фаза равна, соответственно, ; комплексным − фаза определяется в соответствии с формулой фазовой характеристики.
Анализ частотных характеристик электрических цепей 1-го и 2-го порядка
Электрические цепи первого порядка (с однотипными реактивными элементами) и второго порядка (с двумя разнотипными элементами) широко применяются в электротехнике и радиотехнике в качестве электрических фильтров, т.е. устройств, пропускающих сигналы в одном диапазоне частот (| | близок к единице) и ослабляющих – в другом (| | близок к нулю). Названия электрических фильтров (по расположению полосы пропускания) следующие: фильтры нижних частот (ФНЧ); фильтры верхних частот (ФВЧ); полосовые фильтры (ПФ); режекторные фильтры (РФ). В практических измерениях и расчётах часто используют не коэффициент передачи по мощности, а наиболее удобный коэффициент передачи по напряжению. Далее в примерах, по эквивалентным схемам анализируются и . Анализ иллюстрируется графиками. Пример 1. Провести анализ для эквивалентной схемы (рис. 4.2), получить аналитическое выражение для входного сопротивления. Проиллюстрировать аналитическое выражение графиками АЧХ и ФЧХ.
Рис. 4.2 Решение. Входное сопротивление определяется: . Рисунок 4.3 иллюстрирует поведение реактивного сопротивления (рис. 4.3 а), его модуля (рис. 4.3 б) и фазы (рис. 4.3 в) при изменении частоты от нуля до бесконечности φ (АЧХ) (ФЧХ) 0 0 0
а) б) в) Рисунок 4
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 2309; Нарушение авторского права страницы