Метод разложения в ряд Тейлора

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Используем разложение функции f(х) в ряд Тейлора в окрестности точки х_i:

где ЧВП – члены более высоких порядков.

Для простоты введем следующие обозначения, которые всегда будем использовать в дальнейшем:

Dх = х_i₊₁ - x_i, f_i₊₁= f(x_i₊₁), f_i = f(x_i), f_i-₁= f(x_i-₁).

Перепишем последнее выражение в новых обозначениях:

(2.2)

Обозначим все члены выше второго порядка следующим образом:

тогда (2.2) будет иметь вид:

Обозначение O(Dx²) означает, что наименьший порядок всех следующих слагаемых равен двум; остальные слагаемые имеют больший порядок малости. Найдем отсюда первую производную в точке i:

Обозначение O(Dx) означает, что теперь наименьший порядок всех следующих слагаемых равен единице. Отбросив этот «хвост» разложения, получим приближенное выражение для первой производной:

. (2.3)

Это выражение называется конечно-разностным соотношением «вперед» или правосторонней конечно-разностной аппроксимацией первой производной. Выражение (2.3) аппроксимирует первую производную с ошибкой аппроксимации порядка Dх, т.е. имеет первый порядок точности.

Для получения конечно-разностного выражения для производной можно также использовать разложение функции f(х) в ряд Тейлора в точке х_i_-1:

(2.4)

Отсюда:

или

. (2.5)

Это выражение называется конечно-разностным соотношением «назад» или левосторонней конечно-разностной аппроксимацией первой производной. Выражение (2.5) также имеет первый порядок точности, как и (2.3).

Есть и третий способ получения конечно-разностного выражения для производной с помощью разложения функции f(х) в ряд Тейлора. Для этого вычтем почленно из уравнения (2.2) уравнение (2.4):

Найдем отсюда производную:

или

Отсюда приближенное выражение:

. (2.6)

Это выражение называется центральным конечно-разностным соотношением и имеет второй порядок точности, в отличие от соотношений (2.3) и (2.5), поскольку при его выводе отброшены члены второго порядка малости.

Таким образом, мы получили три различных приближенных выражения для первой производной. На первый взгляд кажется, что все три выражения мало отличаются друг от друга, но в действительности они могут давать значения для производной в точке i, отличающиеся в несколько раз, особенно там, где функция f резко меняется. Наиболее точное значение дает центральное конечно-разностное соотношение (2.6), поскольку оно имеет более высокий порядок точности. В то же время, использование выражения (2.6) не всегда дает хорошие результаты и может даже привести к неустойчивости конечно-разностной схемы, тогда как выбор менее точного выражения (2.3) или (2.5) может дать более успешные результаты. Мы видим, что в представлении простейшей производной (первого порядка от функции одной переменной) в конечных разностях имеется определенный произвол, что приводит к различным вариантам конечно-разностных схем.

Выведем теперь конечно-разностный аналог второй производной, используя два варианта разложения функции f(х) в ряд Тейлора до пятого члена:

Сложим почленно эти два выражения:

Отсюда:

или окончательно:

(2.7)

Это выражение имеет второй порядок точности, как и (2.6), поскольку при его выводе отброшены члены второго порядка малости.

Понятие конечно-разностной аппроксимации можно распространить и на частные производные. Введем следующие обозначения:

f_i_,_j = f(x_i, y_j), f_i_,,_j_,_k = f(x_i, y_j, z_k), = f(t_n, x_i, y_j, z_k).

По аналогии с формулами для функции одной переменной можно с помощью разложения в ряд Тейлора получить следующие конечно-разностные соотношения для частных производных:

, и т.д.

Запишем теперь уравнение (2.1) в конечных разностях, выбирая для аппроксимации первых производных центральные разностные соотношения:

. (2.8)

Это уравнение имеет второй порядок точности. Изобразив шаблон (рисунок 2), можно убедиться, что это трехслойная пятиточечная схема. Здесь неизвестным является значение функции f на самом правом слое по времени, т.е. , его легко можно найти из уравнения (2.8):

Однако на практике оказывается, что такая схема является неприемлемой. Для всех возможных Dt> 0 эта схема численно неустойчива, т.е. приводит к возникновению хаотических решений, не имеющих ничего общего с решением исходного дифференциального уравнения (2.1).

Если вместо центральных разностей в нестационарном члене использовать разности вперед по времени, то эта проблема решается. В этом случае получаем следующую конечно-разностную схему:

(2.9)

или

(2.10)

В дальнейшем мы убедимся, что эта схема устойчива, по крайней мере, при некоторых условиях, наложенных на Dt и Dх. В то же время эта схема менее точная, чем (2.8): она имеет первый порядок точности по времени и второй – по пространственным переменным. Из шаблона видно (рисунок 3), что это двухслойная четырехточечная схема.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒