Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Сходящаяся конечно-разностная схема математически определяется как схема, дающая конечно-разностная решение, которые стремится к решению дифференциального уравнения при стремлении шагов сетки к нулю.

Эта концепция более тонкая, чем может показаться с первого взгляда. Она является не просто перефразировкой определения производной; под пределом здесь понимается предел всего решения дифференциального уравнения, а не просто его отдельных членов (производных).

Это свойство называется аппроксимацией. Например, конечно-разностный аналог дифференциального уравнения может состоять из конечных разностей, каждая из которых аппроксимирует соответствующий член дифференциального уравнение, но в целом этот аналог может быть несходящимся.

Близость конечно-разностной схемы и исходной дифференциальной задачи оцениваются по величине невязки, получающейся при подстановке точного решения в уравнение и граничные условия конечно-разностной задачи.

Обозначим всю совокупность уравнений, входящих в задачу (основное дифференциальное уравнение и граничное и начальное условия) следующим оператором:

L(f)=0, (3.1)

где f — точное решение дифференциального уравнения (3.1).

Аналогично конечно-разностную соответствующую задачу в операторном виде можно записать следующим образом:

L_D (f_D )=0, (3.2)

где f_D — сеточная функция, являющаяся решением конечно-разностной задачи (3.2).

Ошибкой аппроксимации (или невязкой) конечно-разностной схемы (3.2) на точном решении задачи (3.1) называется конечно-разностная функция a_D=L_D(f).

Схема называется аппроксимирующей на точном решении, если при стремлении шагов сетки к нулю ошибка аппроксимации стремится к нулю.

Для одномерного случая это определение можно записать следующим образом:

a_D®0 при Dx® 0. (3.3)

В двумерном случае шаг Dt, как правило, связан с шагом Dx, и Dt®0 при Dx® 0, поэтому условие (3/3) справедливо и для двумерной задачи. Очевидно, что для аппроксимирующей схемы ошибка аппроксимации тем меньше, чем меньше шаг аппроксимации Dx. Для двумерной задачи важен также закон согласованного уменьшения шагов по времени и по пространственной переменный.

Например, при выполнении условия схема может быть несходящейся к точному решению, а при — сходящейся.

Кроме ошибок аппроксимации при численном счете возникают ошибки округления, которые, наоборот, возрастают при уменьшении шага сетки (т.е. при увеличении числа шагов). Схематичный рост ошибок аппроксимации и округления показан на рисунке 4.

Рисунок 4

Из этого рисунка видно, что при a_D®0 ошибки округления могут сильно возрастать, и поэтому конечно-разностная схема может быть аппроксимирующей, но несходящейся.

Нужно различать понятия аппроксимирующей и сходящейся схемы. Условие сходимости можно записать следующим образом:

f_D® f при Dx®0,

а условие аппроксимации имеет вид (3.3). f -f_D можно рассматривать как возмущение решения сеточной задачи, вызванное малым возмущением a_D в правой части уравнения (2).

Для того, чтобы из свойства аппроксимации (т.е. из стремления к нулю a_D) следовала сходимость (т.е. стремление к нулю f -f_D), достаточно дополнительно потребовать, чтобы схема была устойчивой относительно малых возмущений.

Описание неустойчивости

Рассмотрим модельное уравнение (2.1):

Конечно-разностная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной имеет вид:

Перепишем это уравнение следующим образом:

. (3.4)

Введем следующие обозначения:

— число Куранта,

— диффузионное число.

После этого уравнение (3.4) запишется так:

. (3.5)

Пусть на n-ном слое по времени возникло малое возмущение e_iⁿ в виде, представленном на рисунке 5, а.

Рисунок 5.

e_iⁿ возрастает от точки к точке и имеет разные знаки в соседних узлах. Такие возмущения могут порождаться либо ошибками округления, либо поперечными движениями в реальной двумерной задаче. Возмущение, возникшее на n-ном слое, непременно проявится на (n+1)-ом слое. Если возмущение на следующих временных слоях уменьшается по абсолютному значению, то конечно-разностная схема является устойчивой. Таким образом, условие устойчивости в данном случае имеет следующий вид:

или:

. (3.6)

Проследим за развитием возмущения. Для этого запишем уравнение (3.5) с учетом наложенного на n-ном слое возмущения:

(3.7)

Вычтем из уравнения с возмущениями (3.7) «невозмущенное» уравнение (3.5):

Найдем отсюда приращение возмущения на (n+1)-ом слое:

. (3.8)

Рассмотрим это уравнение только с одним диффузионным членом, т.е. будем считать, что С=0 :

. (3.9)

Проанализируем это уравнение в точке i:

т.к. eⁿ_i₊₁> 0, eⁿ_i_-1> 0, e_iⁿ< 0. Следовательно, De_i > 0 и стремится скорректировать отрицательное возмущение в точке i. Аналогично, рассматривая De_i₊₁, имеем:

т.к. eⁿ_i₊₂< 0, eⁿ_i< 0, eⁿ_i₊₁> 0, т.е. положительное возмущение eⁿ_i₊₁ корректируется отрицательным приращением De_i₊₁. Таким образом, можно изобразить, каким будет приращение возмущения на (n+1)-ом слое (пунктирная линия на рисунке 5, б). Складывая графически e_iⁿ и De_i, получим вид возмущения на n-ном слое (жирная линия на рисунке 5, б):

e_iⁿ⁺¹=e_iⁿ+De_i.

Из рисунка 5, б видно, что в данном случае условие устойчивости (3.6) выполняется, и, следовательно, конечно-разностное уравнение (3.9) устойчиво . Однако если шаг Dt слишком велик, то поправка за счет приращения De_i₊₁ окажется чрезмерной. Для таких слишком больших Dt величина нового e_iⁿ⁺¹ будет больше начального возмущения e_iⁿ, как это показано на рисунке 5, в.

Появление таких осцилляций нарастающей амплитуды, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, называется динамической неустойчивостью.

Динамическую неустойчивость можно устранить, наложив ограничения на шаг по времени Dt.

Рассмотрим теперь уравнение (3.8) с одним конвективным членом, то есть предположив, что d=0: Уравнение (3.8) в этом случае примет вид:

. (3.10)

Пусть u> 0, то есть С> 0. Приращение возмущения в точке i:

т.к. eⁿ_i₊₁> 0, eⁿ_i_-1> 0, но амплитуда e растет с ростом i, то есть eⁿ_i₊₁> eⁿ_i_-1, следовательно выражение в скобках положительно. Таким образом, приращение De_i, обусловленное конвекцией, усиливает возмущение e_iⁿ. Это означает, что ошибка растет монотонно (рисунок 5, г).

Появление такой нарастающей ошибки называется статической неустойчивостью, которую нельзя устранить уменьшением шага по времени и можно устранить только переходом к какой-либо другой конечно-разностной схеме.

Таким образом, уравнение (3.5) при С=0 является условно устойчивым, а при d=0 — абсолютно неустойчивым. Если же одновременно С≠ 0 и d≠ 0, то конвективный и диффузионный члены будут взаимодействовать друг с другом, и в целом уравнение (3.5) может оказаться как устойчивым, так и неустойчивым. Чтобы ответить на вопрос об устойчивости уравнения (3.5), необходимо проанализировать его на устойчивость одним из методов, которые будут рассмотрены ниже.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒