Методы исследования конечно-разностных схем на устойчивость

Метод дискретных возмущений

 

Идея метода дискретных возмущений состоит в том, что в уравнение в каждую точку поочередно вводится дискретное возмущение e и прослеживается влияние этого возмущения на следующих временных слоях. Конечно-разностная схема будет устойчивой, если возмущение не возрастает, то есть выполняется условие (3.6).

Рассмотрим конечно-разностное уравнение (3.5). Введем возмущение e в точку (i, n):

 

.

 

Вычтя из этого уравнения с возмущением «невозмущенное» уравнение (3.5), получим уравнение для возмущений:

 

.

 

Отсюда:

 

.

 

Необходимо разрешить полученное неравенство относительно d:

 

-1≤ 1-2d≤ 1.

 

Рассмотрим отдельно правую и левую части этого неравенства:

 

а) 1-2d≤ 1 d≥ 0 — это условие выполняется всегда.

б) -1≤ 1-2d d≤ 1 — конечно-разностная схема (3.5) устойчива при выполнении этого условия.

Необходимо еще потребовать, чтобы знаки eⁿ⁺¹ и eⁿ были одинаковыми во избежание осцилляций, то есть должно выполняться условие:

 

.

 

В данном случае это условие означает выполнение следующего неравенства:

 

1-2d≥ 0 Þ d≤ 1/2.

 

Мы получили более жесткое ограничение, чем в б), которое включает в себя условие . При фиксированных Dх и a это условие накладывает ограничение на шаг по времени:

 

.

 

Это ограничение является жестким в смысле затрат времени для расчета на компьютере. Например, предположим, что расчет ведется с некоторым пространственным шагом Dх₁. Максимально возможный шаг по времени . Если надо провести расчет с вдвое меньшим шагом Dх₂=Dх₁/2, то шаг по времени , т.е. шаг по времени придется уменьшить в 4 раза, а затраты компьютерного времени в общей сложности увеличатся в 8 раз. В двумерной задаче уменьшение вдвое шагов Dх и Dy увеличивает затраты времени в 16 раз, а в трехмерной задаче - в 32 раза!

 

Введем теперь возмущение e в точку (i+1, n):

 

.

 

Вычтя из этого уравнения с возмущением «невозмущенное» уравнение (3.5), получим новое уравнение для возмущений:

 

.

 

Отсюда условие устойчивости имеет вид:

 

 

а) ,

(3.11)

 

Получили еще одно условие устойчивости, которое выполняется только в том случае, если , т.к. шаг по времени не может быть отрицательным.

 

Последнее неравенство можно переписать следующим образом:

 

 

Выражение слева представляет собой сеточное число Пекле: . Тогда последнее неравенство можно переписать так:

 

Pe_c< 2.

 

Это условие можно воспринимать как ограничение на шаг по x:

 

,

 

Это очень жесткое условие, т. к. с интенсификацией процессов тепломассопереноса скорость, как правило, возрастает, следовательно, Dх должен быть уменьшен, а это, в свою очередь, требует уменьшения Dt, что ведет к возрастанию затрат компьютерного времени.

 

б)

 

или

 

.

 

Поскольку , то это неравенство выполняется всегда.

 

Проведя аналогичный анализ для точки (i-1, n), получим:

 

 

Отсюда условие устойчивости:

 

 

Левая часть этого неравенства выполняется всегда, и никаких ограничений на шаги сетки не накладывает. Правая часть неравенства дает следующее условие:

 

 

Это условие более ограничительное, чем (3.11), поэтому условие (3.11) можно не принимать во внимание.

Таким образом, метод дискретных возмущений для уравнения (3.5) дает три следующих условия:

 

а)

б)

в)

 

Из условия б: uDх< 2a, из условия a: . Следовательно, получаем еще одно условие:

 

г) .

 

 

Метод фон Неймана

 

Рассмотрим этот метод на примере того же конечно-разностного уравнения (3.5). Сеточная функция f_iⁿ представляется в виде разложения Фурье:

 

f_iⁿ = V_nе^Iiq

 

где V_n – амплитуда отдельной компоненты с волновым числом на n-ном временном слое, q=kDx – фазовый угол, – мнимая единица. Аналогично

 

= V_n+1 е^-I(i±1)q

 

Подставим эти выражения в уравнение (3.5):

.

 

Разделив на е^Iiq, получим:

 

.

 

Учтем, что е^Iq+ е^-Iq=2cosq, е^Iq - е^-Iq=2Isinq:

 

V_n+1=V_n [1-2d(1-cosq)-ICsinq]

 

Определим множитель перехода G следующим образом:

 

V_n+1=GV_n

 

Для того, чтобы решение оставалось устойчивым, необходимо потребовать, чтобы

 

|G|≤ 1. (3.12)

 

В данном случае множитель перехода равен:

 

G=1-2d(1-cosq)-ICsinq

 

Он является комплексным выражением, поэтому условие устойчивости |G|≤ 1 приводится к неравенству:

 

[1-2d(1-cosq)]²-C²sin²q ≤ 1

 

Сделав соответствующие преобразования, получим:

 

C²(1+cosq) ≤ 4d[1-d(1-cosq)]

 

Рассмотрим два предельных случая.

 

а) cosq=-1: 0 ≤ 4d(1-2d).

 

Отсюда получаем первое условие устойчивости:

 

 

Такое же условие было получено методом дискретных возмущений.

 

б) cosq=1: .

 

Учитывая предыдущее неравенство, получим второе условие:

 

C ≤ 1.

 

Комбинируя эти два условия, можно получить условие устойчивости в следующем виде:

 

или Pe_c ≤ 2.

 

Все эти полученные условия справедливы только в случае линейного уравнения при u=const.

3.3.3 Метод практической устойчивости

 

Этот метод наиболее прост, часто используется на практике, хотя не имеет теоретического обоснования. Он заключается в том, что необходимо потребовать, чтобы коэффициенты конечно-разностной схемы были положительны, а их сумма не превосходила единицу.

Перепишем уравнение (3.5) в виде:

 

.

 

Условия устойчивости запишутся следующим образом:

 

;

;

– выполняется всегда;

– выполняется всегда.

 

Мы получили тремя разными методами одинаковые критерии устойчивости. Такой результат получается только для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Подчеркнем еще раз, что связь между сходимостью, аппроксимацией и устойчивостью заключается в том, что необходимыми условиями сходимости конечно-разностной схемы является ее устойчивость и аппроксимация соответствующего дифференциального уравнения.

В 1952 г. В.С. Рябеньким была сформулирована теорема эквивалентности, которая устанавливает эквивалентность устойчивости и сходимости при выполнении следующих условий:

- решение дифференциального уравнения в частных производных должно непрерывным образом зависеть от начальных условий;

- конечно-разностное уравнение должно аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных;

- устойчивость должна быть определена в форме фон Неймана.

При выполнении этих требований необходимое условие устойчивости становится и достаточным для сходимости.

 

Для нелинейных уравнений эта теорема не доказана, но на практике ее используют применительно и к нелинейным уравнениям.

Вообще говоря, исследование строгих определений аппроксимации, устойчивости, сходимости при Dх→ 0 и Dt→ 0 занятие зачастую бесплодное, т.к. реальные расчеты проводятся при конечных Dх и Dt.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: Я.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter Мой Мир LiveJournal

Популярное:

1. ER-модель и ее отображение на схему данных
2. I. Данные лабораторных и инструментальных методов исследования.
3. III.3. Описание организации исследования
4. IV.1.2. Взаимосвязь результатов исследования
5. ІІ. Этапы научного исследования
6. А - структурная схема; б - условное обозначение в - временные диаграммы
7. а - схема дендрита по Д.К.Чернову: 1,2,3 – оси первого, второго и третьего порядков соответственно; б – зонная структура слитка
8. А – схема вязки; б – вязка удавки с полуштыками
9. Актуальная проблематика управления финансовой устойчивостью предприятия в современных условиях
10. Алгоритм выбора схемы преобразователя
11. Анализ и интерпретация данных экспериментально-психологического исследования.
12. Аутогенная тренировка: методы исследования и применения в медицине.