Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА




 

 

В том случае, когда преобразуемая случайная функция X (t) задана своей спектральной плотностью Sx(ω) и требуется определить спектральную плотность Sy (т) преобразованной случайной функции Y(t).

Желательно, иметь метод, позволяющий непосредственно по известной спектральной плотности преобразуемой функции при заданных свойствах линейного оператора сразу определить спек­тральную плотность преобразованной функции.

При гармоническом анализе детерминированных функций с этой целью используется еще одна характеристика линейного опе­ратора, описывающая его свойства в частотной области. Это ком­плексная функция частоты k(jω) = K(ω)e -jj(ω), получившая звание передаточной функции оператора. Ее модуль Κ(ω), и аргумент φ (ω) соответственно показывают, как изменяются амплитуда и фаза каждой гармонической составляющей спектра преобразуе­мой функции после действия на нее линейного оператора. Модуль передаточной функции K(ω) в гармоническом анализе называют амплитудно-частотной, а аргумент φ (ω)—фазочастотной харак­теристиками оператора.

Известно [2], что передаточная функция k( jω) и импульсная переходная характеристика h (τ) линейного оператора связаны парой преобразований Фурье

(2.5.24)

 

Исходя из свойств передаточной функции, амплитудно-фазовый спектр Ay ( j ω) детерминированной функции у (t), полученной в результате линейного преобразования детерминированной функ­ция x (t) определяется выражением

(2.5.25)

где Ax(jw) — амплитудно-фазовый спектр функции x(t), опреде­ляемый формулой (2.4.3); k(j ω)—передаточная функция линей­ного оператора.

Однако непосредственное использование (2.5.25) для опреде­ления спектральной плотности в случае линейного преобразования случайной функции не представляется возможным. Это объясня­ется тем, что, как уже указывалось в параграфе 2.4, энергетичес­кий спектр, во-первых, не содержит информации о фазах спек­тральных составляющих, и во-вторых, характеризует энергию этих составляющих, а не их амплитуду.

Для определения спектральной плотности Sy (ω) преобразо­ванной линейным оператором случайной функции Υ (t) подставим в формулу Винера—Хинчина (2.4.4) ее корреляционную функцию Ry(t), выраженную согласно (2.5.21) через корреляционную функцию Rx(t) преобразуемой функции X (t) и импульсную пе­реходную характеристику оператора R (t)

(2.5.26)

Вводя вместо τ переменную t = t+t1-t2 и учитывая, что в силу свойства h (τ) = 0 при τ < 0 нижние пределы внутренних ин­тегралов можно взять равными — ¥ преобразуем (2.5.26) к виду

 

 

Представляя экспоненту в виде произведения трех экспонент и осуществив необходимую группировку, получаем

(2.5.27)

Нетрудно видеть, что первый интеграл в (2.5.27) есть спектраль­ная плотность Sx(w) преобразуемой функции, второй — переда­точная функция k(jw), а третий — функция, комплексно сопряжен­ная с передаточной функцией — k(-jω). Следовательно, произве­дение второго и третьего интегралов в (2.5.27) дает k(jw)´(-jw) = | k(jw)|2= K2 (ω) — квадрат модуля передаточной функ­ции (квадрат амплитудно-частотной характеристики оператора) и (2.5.27) принимает вид

 

Sy (ω) = Sx(w) K2 (ω), (2.5.28)

 

Таким образом, спектральная плотность случайной функции Υ (t), получаемой в результате преобразования линейным опера­тором с передаточной функцией h (τ) случайной функции Χ (t), равна произведению ее спектральной плотности Sx(t) на квадрат амплитудно-частотной характеристики оператора. Этого следова­ло ожидать и из физических соображений, так как энергия про­порциональна квадрату амплитуды. Укажем в качестве .примера., что для оператора интегрирования (интегратора), импульсная пе­реходная характеристика которого, как это следует из (2.5.14), h(τ) = 1, передаточная функция, которую можно получить из вы­ражения (2.5.24) имеет вид h(jw) = -j/ω. Следовательно, квадрат амплитудно-частотной характеристики интегратора равен Κ2(ω) = 1/ω2. Тогда спектральные плотности случайных функций на вы-

ходе и входе интегратора связаны соотношениями Sy(w)=w -2Sx(w) .

Аналогично для оператора дифференцирования имеет место

 

Получение выражения (2.5.28) дает решение вопроса о пре­образовании стационарных функций линейными операторами. Действительно, теперь существует возможность определять как корреляционную функцию, так и спектральную плотность преоб­разованной функции, если свойства линейного оператора и пре­образуемой функции заданы любыми сочетаниями — импульсная переходная характеристика или передаточная функция — корре­ляционная функция Rx(t) или спектральная плотность Sx(ω).



2.5.3. Преобразование линейным оператором белого шума

Особые свойства белого шума приводят к определенным осо­бенностям преобразования его линейными операторами, что де­лает необходимым отдельное рассмотрение этого вопроса. Опре­делим корреляционную функцию Ry(τ) случайной функции Υ (t), получаемую преобразованием белого шума X (t), для которого

линейным оператором с импульсной переходной характеристикой h (τ). Согласно выражению (2.5.21) имеем

 

 

Переписав аргумент d-функции в виде d( τ1- (τ2 -τ)) и восполь­зовавшись фильтрующим свойством d-функции, получим

 

(2.5.29)

Таким образом, корреляционная функция случайной функции, полученной в результате преобразования белого шума линейным оператором, с точностью до постоянного множителя равна свертке его импульсной переходной функции. Найдем спектральную плот­ность преобразованной функции. Согласно (2.5.28) имеем

 

(2.5.30)

Полученное выражение указывает на возможность практичес­кого использования белого шума. В самом деле, из формулы (2.5.30) следует, что ,то есть амплитудно-частотная характеристика линейного устройства может быть опреде­лена по спектральной плотности случайной функции Υ (t) на его выходе, полученной при подаче' на его вход белого шума с из­вестной интенсивностью N0/2.

Наконец, определим взаимную корреляционную функцию Rxy(t) белого шума X (t) на входе и получаемой случайной функ­ции Υ (t) на выходе линейного устройства с импульсной переход-

ной характеристикой h(τ). Согласно определению (1.4.8) взаимная корреляционная функция равна Rxy (t1, t2) = Учитывая, что Υ (t) =L [X (t)], и меняя порядок применения ли­нейных операторов М[·] и L [·], аналогично (1.5.45), (1.5.46) по­лучаем

 

 

Записав линейный оператор с использованием импульсной пе­реходной характеристики, получим

 

С учетом стационарности случайной функции X (t) Rx(t1, t2τ1) = Rх ( t2τ1– t1) = Rx (t— τ1) получаем

 

(2.5.31)

 

Подставим в (2.5.31) корреляционную функцию белого шума и учтем фильтрующее свойство d -функции. Тогда выражение (2.5.31) принимает вид

 

(2.5.32)

Таким образом, взаимная корреляционная функция белого шума и полученной путем его линейного преобразования случай­ной функции с точностью до постоянного множителя совпадает с импульсной переходной характеристикой линейного оператора. Данный факт может быть использован на практике для опре­деления импульсных переходных характеристик реальных уст­ройств и систем.

Подводя итог изучению вопроса преобразования случайных функций линейными операторами, заметим, что из всего рассмот­ренного следует существование трех эквивалентных способов за­дания свойств любого линейного оператора: с помощью условного обозначения, определяющего его свойства как математического понятия; с помощью импульсной переходной характеристики, определяющей его свойства в пространстве аргумента преобразуемых функций, и с помощью передаточной функции, определяющей его свойства в пространстве частот. Все три формы задания оператора эквивалентны и выбор той или другой определяется лишь

содержанием решаемой задачи π способом задания преобрази мой функции.

 





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:



Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 725; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2022 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.018 с.) Главная | Обратная связь