Понятие о спектральной плотности ССП

Для некоторой функции j(t) выполним преобразование Фурье ; - комплексная функция.

- функция распределения амплитуд по частотам

 

Применим этот аппарат к случайным функциям. Пусть у нас есть случайная функция x(t). Выполним ее преобразование Фурье

.

Умножив на комплексно-сопряженное: .

Возьмем теперь слева и справа математическое ожидание

Предположим, что x(t) и x(t’) – это центрированные случайные процессы и учтем, что Вт этом случае

Тогда, т.к. x(t) – это стационарный случайный процесс, то

- преобразование Фурье для корреляционной функции.

Вывод - спектральная плотность численно равна математическому ожиданию квадрата амплитуды для данной частоты.

Квадрат амплитуды всегда характеризует энергию процесса, т.е. с помощью спектральной плотности можем характеризовать энергетический спектр.

 

Известно, что если какой либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемый «гармоник»), то спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам.

Спектр показывает, какого рода, колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.

Замечание:

Часто рассматривает пары преобразования Фурье с точностью до коэффициента 2p. Это связано с представлением частоты в виде круговой частоты

;

;

,

.

 

Свойства спектральной плотности

1. т.е функция четная.

2. ;

3. В случае если t = 0, мы получаем, что

Спектральная плотность - плотность распределения дисперсий по частотам.

 

 

 

 

Пример графика спектральной плотности

 

Для спектральной плотности также как и для корреляционной функции вводится эквивалент по площади для определения так называемой ширины спектра.

Эргодические случайные процессы

Существуют процессы, где среднее по времени равно среднему по сечению, такие процессы называются эргодическими.

Если случайный процесс является стационарным и протекает однородно по времени, то предполагают что одна единственная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным опытным материалом для получения характеристик случайной функции. Про такую случайную функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством, т.е. одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продолжительности.

 

Рассмотрим процесс .

Найдем математическое ожидание такого процесса .

Посмотрим как выглядят остальные характеристики для эргодического процесса - дисперсия для случайного процесса.

 

;

; ;

.

Необходимым и достаточным условием эргодичности случайного процесса есть:

.

Для ССП, выполним замену t = t-t’, получим необходимое и достаточное условие в виде .

Более сильное условие - если при , , то отсюда следует, что процесс эргодический.

Для эргодичных случайных процессов справедливо выражение для корреляционной функции ; .

Спектральная плотность для физических случайных процессов; ;

.

Рассмотрим случай, когда случайный процесс – действительная функция. По свойствам спектральной плотности и корреляционной функции для ССП, обе являются четными функциями , .

Применим для формулу Эйлера. В этом случае где - нечетная функция.

Для действительных ССП можем записать ;

. Для физических процессов ;

; ; .

 

 

Понятие о «белом шуме»

Исследуем ССП с функцией ; ;

При a®¥

;

 

 

;

- Процесс с такой спектральной плотностью называется белым шумом.

где ;

В каждый момент времени дисперсия равна ¥ и равномерно распределена по всем частотам. Слово «Белый» взято из оптики, «шум» - впервые процесс рассматривали в радиотехнике.

 

 

Выводы:

 

Рассмотрим класс случайных функций заданных на вероятностном пространстве:

1. Случайная функция полностью определяется многомерным законом распределения.
2. Введено понятие математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса, а также взаимной корреляционной функции для двух процессов. Эти характеристики полностью определяют случайный процесс.
3. Рассмотрены основные понятия спектрального анализа ССП. Записаны необходимые и достаточные условия эргодичности случайного процесса.
4. Рассмотрены частные случаи ССП (один из них «белый шум»).

 

Примеры наиболее распространенных корреляционных функций:

1. .

 

;

2. ;

;

;

Аналогично

;

3. ;

;

4. - для разрывной функции.

.

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Затуманивающее понятие «падаль»
2. II. Понятие «инстинктивный труд»
3. XII.1. Общее понятие об эмоциях и чувствах.
4. XVI.1. Понятие о способностях и их природе.
5. Авторское право: понятие, объекты, признаки и основные разновидности
6. Адаптация детей к началу обучения в школе, понятие адаптации, факторы, влияющие на ее успешность. Определение готовности детей к школе.
7. Административно – правовые режимы: понятие, признаки, назначения, правовое регулирование, виды
8. Ассоциация как механизм работы сознания. Понятие апперцепции
9. Безработица: понятие, типы, последствия, измерение
10. Билет 1. Понятие и признаки гос-ва.
11. БИОЛОГИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ СВОБОДЫ В ПЕДАГОГИКЕ
12. Бюджетирование: понятие, цель, преимущества