ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. Пусть известно, что сл. величина x подчиняется нормальному закону с неизвестным средним μ и известной σ ² : X~N(μ, σ ² ), σ ² задано, μ не известно. Задано β. По выборке x_1, x_{2, …,} x_n надо построить I_β (θ ) (сейчас θ =μ ), удовлетворяющий (13)

Выборочное среднее (говорят также выборочная средняя) подчиняется нормальному закону с тем же центром μ, но меньшей дисперсией X~N (μ , D ), где дисперсией D =σ ² =σ ²/n.

Нам понадобится число К_β , определяемое для ξ ~N(0, 1) условием

Словами: между точками -К_β и К_β оси абсцисс лежит площадь под кривой плотности стандартного нормального закона, равная β

Например, К_{0, 90} =1, 645 квантиль уровня 0, 95 величины ξ

K_{0, 95} ⁼ 1, 96.; К_{0, 997}=3.

В частности, отложив от центра любого нормального закона 1, 96 стандартных отклонений вправо и столько же влево, мы захватим площадь под кривой плотности, равную 0.95, в силу чего К_{0 95} является квантилью уровня 0, 95 + 1/2*0, 005 = 0, 975 для этого за­кона.

Искомый доверительный интервал для генерального среднего μ есть I_А(μ ) = (х-σ, х+σ ),

где δ = (15)

 

 

Дадим обоснование:

По сказанному, сл. величина в интервал J=μ ±σ попадает с вероятностью β (рис.9). В этом случае величина отклоняется от центра μ меньше, чем на δ , и случайный интервал ± δ (со случайным центром и такой же как у J ширины) накроет точку μ. То есть Є J < => μ Є I_β , а потому Р{μ ЄІ_β } = Р{ Є J }=β.

Итак, постоянный по выборке интервал I_β содержит среднее μ с вероятностью β.

Ясно, чем больше n, тем меньше σ и уже интервал, а чем больше мы берем гарантию β, тем доверительный интервал шире.

Пример 21.

По выборке с n=16 для нормальной величины с известной дисперсией σ ²=64 найдено х=200. Построить доверительный интервал для генерального среднего (иначе говоря, для математического ожидания) μ, приняв β =0, 95.

Решение. I _β (μ )= ± δ, где δ = К_β σ / -> К_β σ / =1.96*8/ = 4

I_0.95(μ )=200 4=(196; 204).

Делая вывод, что с гарантией β =0, 95 истинное среднее принадлежат интервалу (196, 204), мы понимаем, что возможна ошибка.

Из 100 доверительных интервалов I_{0. 95} (μ ) в среднем 5 не содержат μ.

Пример 22.

Каким в условиях предыдущего примера 21 следует взять n, чтобы вдвое сузить доверительный интервал? Чтобы иметь 2δ =4, надо взять

На практике часто пользуются односторонними доверительными интервалами. Так, если полезны или не страшны высокие значения μ, но не.приятны низкие, как в случае с прочностью или надежностью, то резонно строить односторонний интервал. Для этого следует максимально поднять его верхнюю границу. Если мы построим, как в примере 21, двусторонний доверительный интервал для заданного β, а затем максимально расширим его за счет одной из границ, то получим односторонний интервал с большей гарантией β ' = β + (1-β ) / 2 = (1+β )/2, например, если β = 0, 90, то β = 0, 90 + 0, 10/2 = 0, 95.

Например, будем считать, что речь идет о прочности изделия и поднимем верхнюю границу интервала до . Тогда для μ в примере 21 получим односторонний доверительный интервал (196, °°) с нижней границей 196 и доверительной вероятностью β '=0, 95+0, 05/2=0, 975.

Практическим недостатком формулы (15)_является то, что она выведена в предположении, что дисперсия = σ ² (отсюда и = σ ²/n) известна; а это бывает в жизни редко. Исключение составляет случай, когда объем выборки велик, скажем, n измеряется сотнями или тысячами и тогда за σ ² можно практически принять ее оценку s² или .

Пример 23.

Положим, в некотором большом городе в результате выборочного обследования жилищных условий жителей получена следу­ющая таблица данных (пример из работы [6]).

Таблица 8

Исходные данные к примеру

Общая (полезная)	До	5.0-	10.0-	15.0-	20.0-	25.0-	Более
площадь жилищ,	5.0	10.0	15.0	20.0	25.0	30.0	30.0
приходящаяся на
1 человека, м
Число жителей

 

Естественно допустить, что сл. величина X - общая (полезная) площадь (в м²), приходящаяся на одного человека подчиняется нор­мальному закону. Среднее μ и дисперсия σ ² не известны. Для μ тре­буется построить 95%-ный доверительный интервал. Чтобы по группи­рованным данным найти выборочные средние и дисперсию, составим следующую таблицу выкладок (табл.9).

Таблица 9

Вычисления X и 5 по сгруппированным данным

N группы з	Общая площадь в расчете на 1 человека, м2	Число жителей в группе гj	Середина интервала xj	rjxj	rjxj2
	До 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	более 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

В этой вспомогательной таблице по формуле (2) подсчитаны первый и второй начальные статистические моменты а₁ и а₂

 

Хотя дисперсия σ ² здесь неизвестна, из-за большого объема выборки можно практически применить формулу (15), положив в ней σ = =7.16.

Тогда δ =k_0.95σ / =1.96*7.16/ =0.46.

Доверительный интервал для генерального среднего при β =0, 95 равен I_0.95 (μ ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Следовательно, среднее значение площади на одного человека в данном городе с гарантией 0.95 лежит в промежутке (18.54; 19.46).

 

2. Доверительный интервал для математического ожидания μ в случае неизвестной дисперсии σ ² нормальной величины. Этот интервал для заданной гарантии β строится по формуле , где ν = n-1,

(16)

Коэффициент t_{β, ν} имеет тот же смысл для t – распределения с ν степенями свободы, что к_β для распределения N(0, 1), а именно:

.

Другими словами, сл. Величина tν попадает в интервал (-t_{β, ν} ; +t_{β, ν} ) с вероятностью β. Значения t_{β, ν} даны в табл.10 для β =0.95 и β =0.99.

Таблица 10.

Значения t_{β, ν}

Число степеней ν
t0.95, ν	4.3	2.57	2.23	2.13	2.09	2.04	2.00	1.96
t0.99, ν	9.92	4.03	3.17	2.95	2.84	2.75	2.66	2.576

Возвращаясь к примеру 23, видим, что в нем доверительный интервал был построен по формуле (16) с коэффициентом t_{β, υ} =k_0..95=1.96, т. к. n=1000.

Пример 24. Построить 99%-ный доверительный интервал для генерального среднего диаметра Д валика по " пробе" из 10 деталей, сработанных на токарном автомате, если отклонения х₁ размеров этих валиков от номинального размера оказались следующими (в мк): 2, 1, -2, 3, 2, 4, -2, 5, 3, 4; n=10.

Находим

Строим доверительный интервал для среднего μ (отсчитываемого также от номинального размера) из условия

.

В таблице 10 для числа степеней свободы ν =10-1=9 1%-ный предел t_{0.99: 9} отсутствует, есть для ν =5 и для ν =10: t_{0.99: 5}=4, 03; t_{0.99: 10}=3, 17. Линейная интерполяция дает t_{0.99: 9}= Откуда

Таким образом, согласующиеся с нашими опытными данными, иными словами, " допустимые" (с гарантией 99%) значения параметра μ лежат в интервале (-0.55, 4.55). Если коэффициент получать не интерполяцией, а из более подробных таблиц, то найдем точнее =3.25 и интервал I_β (μ ) будет чуть уже.

Заметим, что если бы мы приняли число s=2.28 за значение параметра б и применим формулу, то " классические" 99%-ные доверительные границы были бы значительно уже. В самом деле, вместо =3, 34 мы бы взяли =2, 58 и получили δ = , т.е. оказалось бы Этим мы значительно преувеличили бы действительную точность нашей оценки.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. B. Основной кодекс практики для всех обучающих тренеров
2. Cyanocobalamin, крайне важного вещества для здоровья тела. Для многих
3. D. НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ХРАНЕНИЯ И ДОСТУПА К ИНФОРМЦИИ О ПРОМЫШЛЕННОЙ СОБСТВЕННОСТИ
4. E. Лица, участвующие в договоре, для регулирования своих взаимоотношений могут установить правила, отличающиеся от правил предусмотренных диспозитивными нормами права.
5. I. АНАЛИЗ И ПОДГОТОВКА ПРОДОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ ПУТИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТЯГОВЫХ РАСЧЕТОВ
6. III. Приёмы приготовления начинок и фаршей для тестяных блюд: пирогов, пельменей, вареников, пирожков
7. III. Узлы для связывания двух тросов
8. IX. Узлы для рыболовных снастей
9. L-карнитин для похудения: эффективность, свойства и дозировки
10. Microoft выпустила новое оборудование для компьютеров
11. PR — крепкий орешек для великого и могучего
12. Setab(0); // для уже известного объекта.