МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

При обработке наблюдений широко применяется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть изложим на частном примере прямой линии.

Пусть на плоскости хоу дано n точек: (х₁; у₁), (х₂; у₂), …, ( x_n; y_n ).

Среди всех прямых линий у=ах+b на плоскости мы ищем наиболее близкую к данной системе точек, причем близость измеряем суммой S квадратов отклонений:

, (25)

где - отклонение вдоль оси y i–той точки от прямой [δ ₁> 0, если точка (x₁; y₁) лежит над прямой ], S – сумма квадратов указанных отклонений по всем n точкам.

Из всех прямых наилучшей в смысле метода наименьших квадратов будет такая прамая , для которой сумма S минимальна.

Если приравнять нулю производные и , то получим систему двух линейных по а и b уравнений, из которых в конечном счете можно найти решение:

(26)

(27)

где и - среднее арифметическое, знак означает - суммирование по всем точкам.

.

 

Как видим, для углового коэффициента МНК - прямой в (26) даны три эквивалентных формулы.

Подставив из (27) выражение для в формулу , получим уравнение МНК-прямой

(28)

откуда видно, что , т.е. эта прямая всегда проходит через точку ( ), являющуюся центром тяжести данной системы точек.

 

Пример 32. Для данных в таблице 13 пяти точек найти МНК - прямую и сумму квадратов отклонений от нее.

 

Таблица 13

Обработка данных для нахождения МНК-прямой

N точ­ки	x1	y1	Δ x1	y1Δ x1	(Δ x1)2	f(x1)
		2, 5	-1, 8	-4, 4	3, 24	2, 45	0, 05	0, 0025
		2, 2	-0, 8	-1, 76	0, 64	2, 0	0, 2	0, 04
			1, 2	1, 2	1, 44	1, 1	-0, 1	0, 01
		0, 7	2, 2	1, 54	4, 84.	0, 65	0, 05	0, 0025
		1, 8	1, 8	-1, 44	0, 64	2, 0	-0, 2	0.04
		8, 2		-4, 86	10, 8	-		0, 095

 

n=5; ; ;

МНК – прямая

Для контроля полезны суммы: и .

 

Метод наименьших квадратов применим не только к прямой, но и к широкому классу функций не только на плоскости, но и в прост­ранстве. Как и во всей статистике, здесь важна интерпретация (ис­толкование) полученных результатов. Это возможно лишь в рамках принятой вероятностной модели. Поэтому нужно описать принимаемую модель. Например, если мы принимаем, что обрабатываемые точки для системы двух нормальных сл.величин {X, Y) (т.e. [x₁; y₁ ) - реали­зации двумерной нормальной сл.величины (X; Y)), то полученная МНК - прямая будет оценкой регрессии Y на Х, а ее угловой коэффициент выражается через отношение стандартных отклонений и выборочный коэффициент корреляции где s_x² и s_y² - выборочные дисперсии для X и Y.

 

 

 

№п/п	Новые понятия	Содержание
	Статистика	наука о сборе, классификации, обработке и анализе возможных количественных и качественных данных, о получении из фак­тов обобщающих выводов
	Генеральная совокупность	все интересующее нас множество объектов, а также совокуп­ность значений признака присущего объектам
	Метод сплошных наблюдений	метод, предполагающий измерение всех элементов генераль­ной совокупности
	Выборочный метод	метод статистики, основанный на том, что из генеральной со­вокупности случайно отбирают часть элементов
	Выборка	совокупность случайно отобранных из всей обследуемой гене­ральной совокупности элементов х1, x2,....xn„, где n - число выбранных элементов, х1 - значение исследуемого признака у i-го элемента (i = 1, ....n)
	Объем выборки	число выбранных элементов генеральной совокупности
	Представительная (репрезен­тативная) выборка	выборка, хорошо представляющая вероятностные характеристики генеральной со­вокупности
	Простой случайный отбор	отбор выборки n элементов непосредственно из всей генераль­ной совокупности N элементов
	Типический (или расслоенный) случайный отбор	отбор, при котором объекты отбираются не прямо из всей ге­неральной совокупности, а из ее определенных частей (слоев)
	Псевдослучайные числа	числа, генерируемые случайным образом
	Вариационный ряд	упорядоченная выборка, записанная в порядке возрастания чи­сел: x(1)≤ x(2)≤ …≤ x(n)
	Размах вариационного ряда	расстояние между крайними членами этого ряда: х(n) — x(1)
	Коэффициент корреляции сис­темы (X, Y): (х1, у1 )....(xn, yn) двух случайных величин Х и Y:	Ρ xy=M{(X- μ x)(Y-μ y)}/ (σ xσ y), где μ ч, μ н - средние значения Х и Y, σ ч, σ н - средние квадратичные отклонения Х и Y
	Эмпирическая функция рас­пределения F(x)	отношение числа точек выборки, лежащих левее точки х на оси ОХ к объему выборки n
	Кумулятивная кривая распре­деления	аппроксимация эмпирической функции распределения
	Гистограмма	эмпирический аналог плотности вероятности, состоящий из прямоугольников, площадь которых равна частоте повторения события
	Полигон	эмпирический аналог плотности вероятности, ординаты кото­рого равны частоте попадания наблюдений в соответствующей интервал, отложенный по оси абсцесс
	Случайная величина, подчи­няющаяся распределению Стьюдента	где n – число степенем свободы, а ξ – сл. величина

 

 

Таблица значений функции

 

х	Ф(Х)	X	Ф(Х)	X	Ф(Х)	X	Ф(Х)
0, 00	0, 0000	0, 32	0, 1255	0, 64	0, 2389	0, 96	0, 3315
0, 01	0, 0040	0, 33	0, 1293	0, 65	0, 2422	0, 97	0, 3340
0, 02	0, 0080	0, 34	0, 1331	0, 66	0, 2454	0, 98	0, 3365
0, 03	0, 0120	0, 35	0, 1368	0, 67	0, 2486	0, 99	0, 3389
0, 04	0, 0160	0, 36	0, 1406	0, 68	0, 2517	1, 00	0, 3413
0, 05	0, 0199	0, 37	0, 1443	0, 69	0, 2549	1, 01	0, 3438
0, 06	0, 0239	0, 38	0, 1480	0, 70	0, 2580	1, 02	0, 3461
0, 07	0, 0279	0, 39	0, 1517	0, 71	0, 2611	1, 03	0, 3485
0, 08	0, 0319	0, 40	0, 1554	0, 72	0, 2642	1, 04	0, 3508
0, 09	0, 0359	0, 41	0, 1591	0, 73	0, 2673	1, 05	0, 3531
0, 10	0, 0398	0, 42	0, 1628	0, 74	0, 2703	1, 06	0, 3554
0, 11	0, 0438	0, 43	0, 1664	0, 75	0, 2734	1, 07	0, 3577
0, 12	0, 0478	0, 44	0, 1700	0, 76	0, 2764	1, 08	0, 3599
0, 13	0, 0517	0, 45	0, 1736	0, 77	0, 2794	1, 09	0, 3621
0, 14	0, 0557	0, 46	0, 1772	0, 78	0, 2823	1, 10	0, 3643
0, 15	0, 0596	0, 47	0, 1808	0, 79	0, 2852	1, 11	0, 3665
0, 16	0, 0636	0, 48	0, 1844	0, 80	0, 2881	1, 12	0, 3686
0, 17	0, 0675	0, 49	0, 1879	0, 81	0, 2210	1, 13	0, 3708
0, 18	0, 0714	0, 50	0, 1915	0, 82	0, 2939	1, 14	0, 3729
0, 19	0, 0753	0, 51	0, 1950	0, 83	0, 2967	0, 15	0, 3749
0, 20	0, 0793	0, 52	0, 1985	0, 84	0, 2995	1, 16	0, 3770
0, 21	0, 0832	0, 53	0, 2019	0, 85	0, 3023	1, 17	0, 3790
0, 22	0, 0871	0, 54	0, 2054	0, 86	0, 3051	1, 18	0, 3810
0, 23	0, 0910	0, 55	0, 2088	0, 87	0, 3078	1, 19	0, 3830
0, 24	0, 0948	0, 56	0, 2123	0, 88	0, 3106	1, 20	0, 3849
0, 25	0, 0987	0, 57	0, 2157	0, 89	0, 3133	1, 21	0, 3869
0, 26	0, 1026	0, 58	0, 2190	0, 90	0, 3159	1, 22	0, 3883
0, 27	0, 1064	0, 59	0, 2224	0, 91	0, 3186	1, 23	0, 3907
0, 28	0, 1103	0, 60	0, 2257	0, 92	0, 3212	1, 24	0, 3925
0, 29	0, 1141	0, 61	0, 2291	0, 93	0, 3238	1, 25	0, 3944
0, 30	0, 1179	0, 62	0, 2324	0, 94	0, 3264
0, 31	0, 1217	0, 63	0, 2357	0, 95	0, 3289

 

х	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)
1, 26	0, 3962	1, 59	0, 4441	1, 92	0, 4726	2, 50	0, 4938
1, 27	0, 3980	1, 60	0, 4452	1, 93	0, 4732	2, 52	0, 4941
1, 28	0, 3997	1, 61	0, 4463	1, 94	0, 4738	2, 54	0, 4945
1, 29	0, 4015	1, 62	0, 4474	1, 95	0, 4744	2, 56	0, 4849
1, 30	0, 4032	1, 63	0, 4484	1, 96	0, 4750	2, 58	0, 4951
1, 31	0, 4049	1, 64	0, 4495	1, 97	0, 4756	2, 60	0, 4953
1, 32	0, 4066	1, 65	0, 4505	1, 98	0, 4761	2, 62	0, 4956
1, 33	0, 4082	1, 66	0, 5415	1, 99	0, 4767	2, 64	0, 4959
1, 34	0, 4099	1, 67	0, 5425	2, 00	0, 4742	2, 66	0, 4961
1, 35	0, 4115	1, 68	0, 4535	2, 02	0, 4783	2, 68	0, 4963
1, 36	0, 4131	1, 69	0, 4545	2, 04	0, 4795	2, 70	0, 4965
1, 37	0, 4147	1, 70	0, 4554	2, 06	0, 4803	2, 72	0, 4967
1, 38	0, 4162	1, 71	0, 4564	2, 08	0, 4812	2, 74	0, 4969
1, 39	0, 4177	1, 72	0, 4573	2, 10	0, 4821	2, 76	0, 4971
1, 40	0, 4192	1, 73	0, 4582	2, 12	0, 4830	2, 78	0, 4973
1, 41	0, 4207	1, 74	0, 4591	2, 14	0, 4838	2, 80	0, 4974
1, 42	0, 4222	1, 75	0, 4599	2, 16	0, 4846	2, 82	0, 4976
1, 43	0, 4236	1, 76	0, 4608	2, 18	0, 4854	2, 84	0, 4977
1, 44	0, 4251	1, 77	0, 4616	2, 20	0, 4861	2, 86	0, 4979
1, 45	0, 4265	1, 78	0, 4625	2, 22	0, 4868	2, 88	0, 4980
1, 46	0, 4279	1, 79	0, 4633	2, 24	0, 4875	2, 90	0, 4981
1, 47	0, 4292	1, 80	0, 4641	2, 26	0, 4881	2, 92	0, 4982
1, 48	0, 4306	1, 81	0, 4649	2, 28	0, 4887	2, 94	0, 4984
1, 49	0, 4319	1, 82	0, 4656	2, 30	0, 4893	2, 96	0, 4985
1, 50	0, 4332	1, 83	0, 4664	2, 32	0, 4898	2, 98	0, 4986
1, 51	0, 4345	1, 84	0, 4671	2, 34	0, 4904	3, 00	0, 49865
1, 52	0, 4357	1, 85	0, 4678	2, 36	0, 4909	3, 20	0, 49931
1, 53	0, 4370	1, 86	0, 4686	2, 38	0, 4913	3, 40	0, 49966
1, 54	0, 4382	1, 87	0, 4693	2, 40	0, 4918	3, 60	0, 499841
1, 55	0, 4394	1, 88	0, 4699	2, 42	0, 4922	3, 80	0, 499928
1, 56	0, 4406	1, 89	0, 4706	2, 44	0, 4927	4, 00	0, 499968
1, 57	0, 4418	1, 90	0, 4713	2, 46	0, 4931	4, 50	0, 499997
1, 58	0, 4429	1, 91	0, 4719	2, 48	0, 4934	5, 00	0, 499997

 

Критические точки распределения х²

 

Число степеней свободы k	Уровень значимости а
0, 01	0, 025	0, 05	0, 95	0, 975	0, 99
	6, 6	5, 0	3, 8	0, 0039	0, 00098	0, 00016
	9, 2	7, 4	6, 0	0, 103	0, 051	0, 020
	11, 3	9, 4	7, 8	0, 352	0, 216	0, 115
	13, 3	11, 1	9, 5	0, 711	0, 484	0, 297
	15, 1	12, 8	11, 1	1, 15	0, 831	0, 554
	16, 8	14, 4	12, 6	1, 64	1, 24	0, 872
	18, 5	16, 0	14, 1	2, 17	1, 69	1, 24
	20, 1	17, 5	15, 5	2, 73	2, 18	1, 65
	21, 7	19, 0	16, 9	3, 33	2, 70	2, 09
	23, 3	20, 5	18, 3	3, 94	3, 25	2, 56
	24, 7	21, 9	19, 7	4, 57	3, 82	3, 05
	26, 2	23, 3	21, 0	5, 23	4, 40	3, 57
	27, 7	24, 7	22, 4	5, 89	5, 01	4, 11
	29, 1	26, 1	23, 7	6, 57	5, 63	4, 66
	30, 6	27, 5	25, 0	7, 26	6, 26	5, 23
	32, 0	28, 8	26, 3	7, 96	6, 91	5, 81
	33, 4	30, 2	27, 6	8, 67	7, 56	6, 41
	34, 8	31, 5	28, 9	9, 39	8, 23	7, 01
	36, 2	32, 9	30, 1	10, 1	8, 91	7, 63
	37, 6	34, 2	31, 4	10, 9	9, 59	8, 26
	38, 9	35, 5	32, 7	11, 6	10, 3	8, 90
	40, 3	36, 8	33, 9	12, 3	11, 0	9, 54
	41, 6	38, 1	35, 2	13, 1	11, 7	10, 2
	43, 0	39, 4	36, 4	13, 8	12, 4	10, 9
	44, 3	40, 6	37, 7	14, 6	13, 1	11, 5
	45, 6	41, 9	38, 9	15, 4	13, 8	12, 2
	47, 0	43, 2	40, 1	16, 2	14, 6	12, 9
	48, 3	44, 5	41, 3	16, 9	15, 3	13, 6
	49, 6	45, 7	42, 6	17, 7	16, 0	14, 3
	50, 9	47, 0	43, 8	18, 5	16, 8	15, 0

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться:

Популярное:

1. B. Основной кодекс практики для всех обучающих тренеров
2. Cyanocobalamin, крайне важного вещества для здоровья тела. Для многих
3. D. НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ХРАНЕНИЯ И ДОСТУПА К ИНФОРМЦИИ О ПРОМЫШЛЕННОЙ СОБСТВЕННОСТИ
4. E. Лица, участвующие в договоре, для регулирования своих взаимоотношений могут установить правила, отличающиеся от правил предусмотренных диспозитивными нормами права.
5. I. АНАЛИЗ И ПОДГОТОВКА ПРОДОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ ПУТИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТЯГОВЫХ РАСЧЕТОВ
6. III. Приёмы приготовления начинок и фаршей для тестяных блюд: пирогов, пельменей, вареников, пирожков
7. III. Узлы для связывания двух тросов
8. IX. Узлы для рыболовных снастей
9. L-карнитин для похудения: эффективность, свойства и дозировки
10. Microoft выпустила новое оборудование для компьютеров
11. PR — крепкий орешек для великого и могучего
12. Setab(0); // для уже известного объекта.