Синтез фильтров, согласованных с радиоимпульсом

Очень часто на вход приемного устройства (например, ультразвукового эхоскопа) поступают радиоимпульсы, и оптимальные фильтры целесообразно реализовывать для них. Пусть имеется радиоимпульс с прямоугольной огибающей

0 вне интервала.

Его комплексный спектр

Тогда комплексная частотная характеристика согласованного фильтра при t₀= _и:

Если ₀_и = 2n, где n–- целое число, т. е. импульс содержит целое число периодов, то и

(1.20)

Множитель 1/j(w-w₀) соответствует передаточной функции высокодобротного колебательного контура (при сопротивлении потерь, равном нулю). Сравнивая выражения (1.18) и (1.20), можно заметить, что при переходе от приема прямоугольного видеоимпульса к приему радиоимпульса с прямоугольной огибающей необходимо идеальный интегратор заменить на высокодобротный колебательный контур. Структурная схема согласованного фильтра для радиоимпульса с прямоугольной огибающей и формы входного и выходного сигналов показаны на рис. 1.6. Из него видно, что согласованный фильтр для радиоимпульса искажает входной сигнал, затягивает его, причем форма огибающей совпадает с формой сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом.

Найдем выражение для выходного сигнала такого согласованного фильтра. При этом для упрощения вычислений используем соотношение [7]:

где za(t) – аналитический сигнал; Re - реальная часть. Подставляя сюда значение za(t), приведенное выше, получим:

или, в силу симметрии ковариационной функции,

Тогда в соответствии с формулой (2.14) выходной сигнал имеет вид

Видно, что длительность треугольного радиоимпульса на выходе согласованного фильтра в два раза превышает длительность прямоугольного радиоимпульса на входе.

Рис. 1.6

На практике для фильтрации радиоимпульсов применяются квазиоптимальные фильтры в виде колебательных контуров с затуханием, систем таких контуров или активных полосовых фильтров. Возможно также использование различного рода электромеханических фильтров.

1. 7. Фильтрация сигнала на фоне реверберационной помехи[RbD1]

Спектральная плотность реверберационной помехи в каждый момент времени с точностью до постоянного множителя совпадает со спектральной плотностью зондирующего сигнала:

где – спектральная плотность зондирующего сигнала; а – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, можно считать, что амплитудный спектр ) сигнала, отраженного от дефекта, также пропорционален амплитудному спектру зондирующего сигнала ):

где k – коэффициент пропорциональности, учитывающий коэффициент отражения от выявляемого объекта и ослабление амплитуды сигнала при его распространении; – множитель, учитывающий задержку сигнала при его распространении; _э= 2r/ c; r – расстояние до отражателя; c – скорость распространения сигнала.

Тогда на основе формулы (1.8) можно записать выражение для частотной характеристики оптимального фильтра обнаружения эхо-сигнала на фоне реверберационной помехи:

(1.21)

Фильтр, комплексная частотная характеристика которого определяется формулой (1.21), называется обратным фильтром или фильтром Урковица. Видно, что фильтрация здесь затруднена, так как она осуществляется за счет подавления спектра сигнала.

На практике реверберационная помеха действует вместе с некоррелированной с сигналом шумовой помехой, имеющей спектральную плотность N₀/2в полосе частот . В этом случае спектральная плотность помехи

Тогда можно получить выражение для частотной характеристики оптимального фильтра:

Пиковое отношение сигнал / помеха

(1.22)

Исследование последнего выражения показывает, что отношение сиг-нал / помеха максимально, когда амплитудный спектр сигнала постоянен в заданной полосе частот, т. е.

Здесь E_s – энергиязондирующего сигнала.

Подставляя это условие в формулу (2.22), получим

Таким образом, для минимизации влияния реверберационной помехи нужно использовать широкополосные сигналы с равномерным спектром. При этом увеличение ширины спектра сигнала при неизменной излучаемой мощности приводит к уменьшению значений спектральной плотности.

1.8. Оптимальная фильтрация сигналов по критерию минимума
среднеквадратической ошибки (сглаживающие и прогнозирующие
фильтры)

При классификации сигналов или измерении их параметров необходимо получить возможно более точную информацию об интересующем объекте. Иногда необходимо по обработанной части сигнала предсказать (достроить) значение сигнала в последующие моменты времени. Первую задачу – выделение сигнала из шумов с минимальными искажениями – решают так называемые сглаживающие фильтры, вторую задачу – прогнозирующие фильтры.

Для количественной оценки качества фильтрации можно использовать различные критерии. Наиболее употребительным является критерий минимизации среднего значения квадрата ошибки передачи сигнала

где s( t+D ) – значение сигнала в момент времени t+D; D – интервал времени прогнозирования сигнала; – оценка сигнала в момент времени t, т. е. выходной сигнал фильтра в момент времени t. При > 0 оценка должна предсказывать значение входного сигнала s(t) на интервал вперед. Ошибка ² может быть определена, если известны корреляционные функции входного сигнала и шума.

Пусть на вход линейного фильтра поступает аддитивная смесь сигнала s(t) и помехи n(t): x(t) = s(t) + n(t). Требуется определить характеристики фильтра, выходной сигнал которого минимально отличался бы от истинного значения s(t+D). Если D = 0, то имеем дело со сглаживающим фильтром; если D ¹ 0 и n(t) = 0, то фильтр прогнозирующий; если D ¹ 0и n(t) ¹ 0, то у нас смешанный сглаживающе-прогнозирующий фильтр.

Рассмотрим последний, наиболее общий случай, в предположении, что сигнал и помеха стационарны в широком смысле, время наблюдения tn= ¥ и известна вся предыстория процесса на интервале (-¥, t ).

Рис. 1.7

Формальная структурная схема, поясняющая выбор критерия оптимальности фильтра, представлена на рис. 1.7. Здесь 1 – сумматор; 2 – идеальный фильтр; 3 – реальный фильтр; 4 – устройство вычисления ошибки. Пусть h(t) – импульсная характеристика реального фильтра. Тогда

и среднеквадратическая ошибка

Для стационарных сигнала и помехи – максимальное значение ковариационной функции сигнала; – взаимная ковариационная функция принятой реализации и сигнала; – ковариационная функция принятой реализации.

Если h_opt(t) – импульснаяхарактеристика оптимального фильтра, то среднеквадратическая ошибка для любого другого фильтра с импульсной характеристикой, которая представлена в виде

h(t) = h_opt(t)+hg(t), (1.23)

может быть только больше или равна среднеквадратической ошибке оптимального фильтра. Для фильтра, имеющего характеристику, описываемую формулой (1.23), среднеквадратическая ошибка с учетом сделанных ранее обозначений

Где

Минимум может быть найден из условия

(1.24)

Подробно расписывая условие (1.24), получим

Для любых g() это выражение справедливо лишь при

. (1.25)

Отсюда видно, что импульсная характеристика оптимального фильтра может быть получена при решении интегрального уравнения (1.25). Это решение может быть получено с помощью теоремы о Фурье-преобразовании свертки. Действительно, так как интеграл в правой части есть свертка , то, взяв преобразование Фурье от левой и правой частей этого уравнения, получим

(1.26)

где F – обозначение преобразования Фурье, S_xs() – взаимная спектральная плотность принятого сообщения и сигнала; S_x() – спектральная плотность принятого сообщения; K_opt(jw) – оптимальная частотная характеристика фильтра. Тогда уравнение (1.25) с учетом формул (1.26) запишется в виде

При независимых сигнале и помехе

С учетом этих соотношений получаем

Это решение, строго говоря, описывает физически невозможный фильтр. Однако оно имеет практический смысл, так как приближенно применимо в тех случаях и с тем большей точностью, когда можно допустить большую задержку отклика фильтра относительно входного воздействия. Поэтому говорят, что это решение пригодно для фильтров с бесконечной задержкой.

Для физически возможных фильтров импульсная характеристика h(t) в силу принципа причинности существует только для t > 0, так как сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше начала импульса на входе. Для физически возможных фильтров уравнение (1.25) приводится к виду

т. е. к виду интегрального уравнения Винера-Хопфа, и должно решаться соответствующими методами.