Постановка задач анализа и синтеза САУ

При настройке действующих и проектировании новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Эти понятия трактуют следующим образом.

Анализ — процедура мысленного или реального разделения предмета, явления или процесса на составляющие элементы с целью изучения свойств элементов, взаимодействия элементов и системы в целом.

Синтез — процедура, обратная анализу, — соединение отдельных элементов в целое (систему) с целью получения новых качеств.

Применительно к теории управления эти понятия можно охарактеризовать более конкретно.

Задача анализа существующей САУ сводится к получению количествен­ных оценок качества ее функционирования. К этим оценкам можно отнести необходимое условие устойчивости, а также множество показателей качества, которые устанавливаются заказчиком. Наиболее часто применяются такие показатели качества, как точность, время регулирования, перерегулирование и колебательность.

Задача анализа может быть сформулирована следующим образом.

ДАНО:

1) система (или модель);

2) входные воздействия (управляющие или возмущающие);

3) начальное состояние системы.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

1) устойчивость;

2) статическую характеристику;

3) переходные характеристики;

4) частотные характеристики;

5) необходимые показатели качества.

Задача синтеза формулируется следующим образом.

ДАНО:

1) требования к синтезируемой системе;

2) объект управления или его модель;

3) набор управляющих устройств.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

1) закон управления, обеспечивающий выполнение требова­ний, предъявляемых к синтезируемой системе;

2) состав и свойства элементов, на которых реализуется синтезируемая система;

3) решить задачу анализа для реализованной системы;

4) оценить соответствие синтезированной системы предъявляемым требованиям.

Операционное исчисление в исследовании переходных процессов

Исследование переходных процессов в САУ обычно связано с решением дифференциальных уравнений, что значительно упрощается при использова­нии операционного исчисления.

Схема решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа

Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения

¯ (Мат. аппарат) ­

Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа

¯ ­

Алгебр. уравнение ® Алгебра ® Изображение решения

(Мат. аппарат)

Решение дифференциальных уравнений при нулевых

Начальных условиях

Пусть имеется дифференциальное уравнение, записанное в стандартной форме:

(9.1)

где m < n.

После преобразования (9.1) по Лапласу оно принимает вид:

или

(9.2)

Алгебраическое уравнение (9.2) решается в следующем порядке:

Пример 1

После преобразования по Лапласу:

(9.3)

Для того чтобы воспользоваться таблицей обратного преобразования Лапласа, необходимо выражение (9.3) предста­вить в следующем виде:

Тогда в соответствии с таблицей преобразования Лапласа:

Решение дифференциального уравнения при ненулевых

Начальных условиях

Пусть имеется дифференциальное уравнение с ненулевыми начальными условиями, представленное в следующем виде:

(9.4)

при начальных условиях:

[d^n-1X(t)/dτ ^n-1]₀ — начальное значение (n-1)-ой производной функции X(τ );

[d^n-2X(τ )/dτ ^n-2]₀ — начальное значение (n-2)-ой производной функции X(τ );

[dX(τ )/dτ ]₀ — начальное значение первой производной функции X(τ );

X₀ — начальное значение функции X(τ ).

После преобразования уравнения (9.4) по Лапласу с учетом начальных условий получается уравнение вида:

{pⁿX(p) – p^n-1× X₀ – p^n-2× [dX(τ )/dτ ]₀ – …

– p× [d^n-2X(τ )/dτ ^n-2]₀ – p⁰× [d^n-1X(τ )/dt^n-1]₀} +

+ a_n-1× {p ^n-1X(p) – p^{n — 2}× X₀ – p^{n — 3}× [dX(t)/dt]₀ – …

– p⁰× [d^n-2X(t)/dt^n-2]₀} +... + a₀X(p)= = U(p). (9.5)

После алгебраических преобразований решение уравнения (9.5) можно представить в виде:

Оригинал решения уравнения (9.4) определяется из зависимости:

X(t) = L^-1{X(p)}.

Пример 2

Пусть имеется уравнение:

(9.6)

Чтобы воспользоваться таблицей преобразований Лапласа, необходимо уравнение (9.6) преобразовать по Лапласу и выполнить математические операции:

pX(p) – p⁰X₀ + 2X(p) = U(p);

(p + 2)X(p) = 1/p + X₀;

Воспользовавшись таблицей преобразования Лапласа, можно получить:

(9.7)

Из выражения (9.7) видно, что X(0) = 2, a X(¥ ) = 1/2.

Пример 3

Дифференциальное уравнение второго порядка:

(9.8)

После преобразования уравнения (9.8) по Лапласу получается алгебра­ическое уравнение вида:

(9.9)

(9.10)

Для того чтобы воспользоваться таблицей преобразования Лапласа, необходимо найти корни характеристического уравнения:

p² + a₁p + a₂ = 0;

Если корни вещественны, то решение уравнения (9.9) имеет вид

Если корни различны (k₂ ¹ k₁), то по таблице Лапласа получается

(9.11)

Если корни одинаковы (k₂ = k₁ = k), то выражения (9.10) и (9.11) принимают вид:

(9.12)

Решение (9.12) отличается от решения (9.11) возможностью возникнове­ния колебаний решения X(τ ) при соответствующих соотношениях коэффици­ентов.

Если корни комплексно сопряженные, то решение уравнения (9.9) отли­чается от приведенных в примере 3 тем, что решение обяза­тельно имеет колебательный характер.

При характеристическое уравнение

p² + a₁p + a₂ = 0

имеет комплексно сопряженные корни:

или

k₁ = k + jq; k₂ = k – jq, где

Тогда решение X(p) уравнения (9.8) имеет вид:

(9.13)

 

Оригинал решения (9.13) характеризуется выражением:

Где:

Лекция № 10

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Постановка и состояние темы
2. I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ
3. I.6. Педагогика как учебный предмет и задачи профессионального
4. III.10 Задачи на сцепление генов
5. III.2 Задачи на моногибридное скрещивание
6. III.8 Задачи на взаимодействие неаллельных генов
7. Q Задача об аренде оборудования: постановка задачи и методы решения
8. Административно-процессуальное право: предмет, метод и задачи. Источники административно-процессуального права. Система а-п права. Административно-процессуальные нормы в системе норм права.
9. Административное расследование: задачи, место и сроки проведения.
10. Анализ качества работы замкнутой САУ
11. Архитектура САУ технологическим процессом
12. Асинхронные задачи интерфейса с устройствами ввода/вывода.