С. П. Павлов, А. Б. Перегудов

Стр 1 из 8Следующая ⇒

С. П. Павлов, А. Б. Перегудов

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

УДК

ББК

Рецензенты:

Кафедра «___________________________»

Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского

Доктор физико-математических наук, профессор

_____________________

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного технического университета

имени Гагарина Ю. А.

Павлов С. П., Перегудов А. Б.

Ф __ Системный анализ и математические методы принятия решений: учеб. пособие, / Павлов С. П., Перегудов А. Б.

Саратов:

Сарат. гос. техн. ун-т, 2013, 144 с.

ISBN ___________

В учебном пособии рассматриваются понятия и методы, определяющие процессы принятия решений, а также инструменты их обоснования и поддержки. Освещаются аксиоматические теории рационального поведения, многокритериальные решения при объективных моделях, методы оценки и сравнения многокритериальных альтернатив. Раскрываются современные подходы к построению экспертных оценок, анализу и принятию решений.

Приводятся теоретические основы исследования операций и ряд детерминированных и стохастических моделей, используемых для оптимизации систем. В качестве математического аппарата для анализа детерминированных моделей применяются методы нелинейного и динамического программирования. При рассмотрении стохастических моделей используются методы теорий массового обслуживания и полезности, принятия решений, теории игр и имитационного моделирования.

Пособие содержит задания для заочников в виде контрольной работы и задания для курсовой работы. Она предназначена для студентов старших курсов технических вузов, а также магистров, интересующихся системными проблемами.

УДК

ББК

технический университет, 2013

ISBN___________ © Павлов С. П., Перегудов А. Б.

Введение.

Усложнение управления экономикой в условиях, когда преобразующая сила общественного производства по своим масштабам стала сравнимой с природными процессами, приводит к тому, что все острее ощущается необходимость в сознательном контроле и управлении сложным диалектическим процессом взаимодействия целей, используемых средств и достигаемых результатов. Глобальные проблемы, касающиеся судеб всего человечества, характеризуются чрезвычайной сложностью и зависимостью от большого числа разнородных факторов - природных, технических, экономических, политических, культурных. И только преодолевая межличностные барьеры, можно использовать все богатство человеческого опыта и знаний для осуществления планирования и проектирования деятельности человека. Трудно ожидать, чтобы невидимые, но существующие барьеры между разными профессиями и специальностями можно было бы преодолеть, собрав всех специалистов вместе. В связи с этим появилась необходимость в специалистах " широкого профиля", обладающих знаниями не только в своей области, но и в смежных областях и умеющих эти знания обобщать, использовать аналогии, формировать комплексные модели. Возникла новая методология исследований - системные исследования.

Системные исследования (системный подход) – это направление методологии специально научного познания и социальной практики, в основе которого лежит исследование совокупностей объектов как систем. Понятие системы, употреблявшееся ранее в обыденном смысле, превратилось, таким образом, в специальную общенаучную категорию.

Наиболее конструктивным из прикладных направлений системных исследований в настоящее время считается системный анализ (СА), получивший широкое распространение в 50 - 60-е годы, и во многом способствующий появлению новых методов проектирования и принятия решений в условиях неопределенности и конфликта. Области приложения СА можно определить с точки зрения характера решаемых задач как:

задачи проектирования;

задачи, связанные с анализом целей и принятием решений;

задачи разработки или совершенствования структур.

Наряду с традиционными задачами СА позволяет рассмотреть совершенно различные по своему содержанию виды проектирования (принятия решений):

- проектирование как процесс разработки не отдельных предметов, а целых систем (аэропорты, транспорт, магазины, радио- телепрограммы, обучение и так далее);

- проектирование как соучастие, как включение общества в процесс принятия решения;

- проектирование как творчество, потенциально присущее каждому человеку;

- проектирование как учебная дисциплина, синтезирующая искусство и науку и, возможно, идущая дальше, чем и то и другое порознь;

- проектирование без объекта как процесс или образ самой жизни.

Для того, чтобы наиболее точно подобрать методы решения поставленной задачи принятия решения, необходимо ее сформулировать в математическом виде, то есть получить выражения, связывающие цель со средствами ее достижения. Такие выражения носят названия: функция стоимости, критерий эффективности, целевая функция и т.п.

Большой вклад в развитие методологии исследования сложных систем и методов оптимизации внесли российские и зарубежные ученые: Л. В. Канторович, Л. С. Понтрягин, Н. Н. Моисеев, Дж. Данциг, Г. Кун, А. Таккер, Р. Беллман, Р. Гомори и многие другие.

Методология анализа сложных систем, их математическое моделирование и принятие на этой основе наилучших (оптимальных) решений изучается в этой книге. При подготовке книги использован опыт преподавания в Саратовском государственном техническом университете имени Гагарина Ю. А.. При изложении автор кратко старался излагать сугубо теоретические вопросы, оставляя место основным идеям и методам, имеющим универсальное значение. Особый акцент сделан на практическом решении разнообразных задач, построение алгоритмов, которые могут служить основой для разработки компьютерных программ.

Измерительные шкалы.

Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений.

Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.

В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.

В жизни мы привыкли пользоваться количественными показателями, выраженными в разных измерительных шкалах. Можно записать, что вес тела равен 5 кг, но можно использовать и другую шкалу – 5000 г или 0, 005 т, но можно указать интервал: «вес тела больше 3 кг и меньше 10 кг» или «вес тела в пределах первого десятка». Вместо «750 мм ртутного столба» можно записать «1000 гектопаскалей», а можно указать, что «атмосферное давление несколько выше нормы». «451 градус по Фаренгейту» (температура возгорания бумаги) – это «232, 78 градусов Цельсия» или «505, 93 градусов Кельвина». Понятия «шкала измерения», «тип шкалы», «допустимые преобразования» играют важную роль в теории измерений.

Рассмотрим основные логические аксиомы, используемые в экспертных методах при формализации информации с помощью различных шкал.

5.1. Дихотомическая (номинальная) шкала.

Если различные градации шкалы измерения показателя нельзя упорядочить по условию «больше – меньше» («лучше – хуже») или расположить в порядке появления во времени, то такая совокупность градаций образует шкалу наименований. Шкалу наименований имеют показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня. В частности, шкала, содержащая всего две градации – «есть» и «нет» (дихотомическая) – является шкалой наименований. Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований может служить «мода» – значение показателя, которое указано наибольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведённом статистическом исследовании (если речь идёт, например, о видах дефектов продукции). Для небольшого числа оценок эта характеристика также теряет смысл, и тогда центральную тенденцию характеризовать невозможно. Если в распределении двум (или нескольким) каким-либо значениям показателя соответствуют приблизительно одинаковые числа оценок, распределение называют бимодальным (полимодальным).

При использовании номинальных шкал исследуемые объекты можно опознавать на основе трех аксиом идентификации:

1) Х либо есть Y, либо есть не Y;

2) если Х есть Y, то Y есть Х;

3) если Х есть Y, и Y есть Z, то Х есть Z.

Дихотомическая шкала позволяет отметить, относится ли данный объект к интересующей нас группе или нет.

Пример. Две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (отчисление из института) измеряются в дихотомической шкале (табл.22).

Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона составляется таблица сопряжённости (табл.23).

Таблица 22

№ испытуемого	Значение Х	Значение Y

По этим данным построим корреляционную таблицу

Таблица 23.

Признак Х Признак Y			Всего
	А=2	В=3	А+В=5
	С=4	D=1	C+D=5
Всего	А+С=6	В+D=4

Вычисление коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных проводится по формуле

(5.1)

Напомним, что при случайные величины и являются независимыми, а при связь между ними линейная. Так как в нашем случае , то корреляция между величинами существует, но непрямая ( ).

5.2. Шкала наименований.

Шкала наименований (номинальная), в которой числа используются исключительно с целью обозначения объектов. Кроме сравнения на совпадение, любые арифметические действия над числами, обозначающими имена объектов, бессмысленны. С помощью шкалы наименований часто отмечают, присутствует или отсутствует какой-то признак в объекте.

Аксиомы тождества:

(5.2)

Допустимые операции:

– символ Кронекера ;

– число наблюдений го класса; ;

– относительная частота класса ;

– мода ;

– коэффициент согласия (конкордации);

– проверка по тесту .

Примеры номинальных шкал: названия болезней; почтовые, телефонные, автомобильные индексы регионов и стран; пол человека.

5.3. Шкала порядков (ранговые шкалы).

В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного фактора (факторов), используются порядковые шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или доминирование.

Шкала порядков (ранговая шкала), при измерении в которой мы получаем информацию лишь о том, в каком порядке объекты следуют друг за другом по какому-то свойству. Примером могут служить шкалы, по которым измеряются твёрдость материалов, «похожесть» объектов. К этой группе шкал относится большинство шкал, используемых в социологических и психологических исследованиях. Частным случаем шкал порядка являются балльные шкалы, используемые в практике спортивного судейства или оценок знаний в школе. Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки «отлично» и «удовлетворительно», то можно лишь утверждать, что уровень подготовки по этой дисциплине первого студента выше (больше), чем второго, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз больше.

Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) признака присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания проявления (значений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.

В дополнение к (5.2) в этой шкале необходимо добавить следующие аксиомы - аксиомы упорядоченности:

Шкала простого порядка	Шкала слабого порядка
4. Если , то	4^̽. Либо , либо
5. Если , и , то	5^̽. Если , и , то .

Существует ещё шкала частичного порядка. «Частичный порядок» часто встречается при оценке субъективных предпочтений.

Примеры шкалы порядков:

1) Более длинный отпуск предпочтительнее уменьшения рабочего дня на полчаса. Уменьшение рабочего дня на полчаса предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р. Но необязательно более длинный отпуск предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р.

2) Что лучше: клетчатые шарфы или семискоростные миксеры; чтение литературы или прослушивание музыкальных записей.

3) Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.

4) Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.

5) Балльные шкалы оценки знаний учащихся.

Отметим, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они выражены числами, нельзя рассматривать как числа, например, нельзя вычислять выборочное среднее.

Допустимые операции:

– ранг объёма

, где

(5.3)

Ранги можно присваивать по старшему в группе одинаковых, по среднему, либо случайным образом.

– выборочная медиана, т.е. наблюдение с рангом , ближайшее к ;

– выборочные квантили любого уровня , т.е. наблюдение с рангом , ближайшим к ;

– коэффициенты корреляции: - Спирмена, - Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:

(5.4)

где и ранги го объекта по переменным и , число пар наблюдений.

Если ранги всех объектов равны ( ), то , т.е. при полной прямой связи . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что и по формуле (5.4) . Во всех остальных случаях .

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:

(5.5)

Для определения необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов и определить соответствующие их ранги ( ) по другой переменной. Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке) . При полном совпадении двух ранжировок имеем и ; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .

5.4. Шкала интервалов.

Шкала интервалов, в которой можно менять как начало отсчёта, так и единицы измерения. Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение оказывается значительно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все измерения в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины и какое значение принято за начало отсчёта).

Если в одной шкале измеренные интервалы равны и , а во второй – и , то справедливо соотношение: .

В этой шкале только интервалы могут иметь смысл настоящих чисел, допускающих математические действия с ними. Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.

Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями. Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.

5.5. Шкала отношений.

Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать). К предыдущим пяти аксиомам необходимо добавить еще четыре.

Аксиомы аддитивности:

(5.6)

Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. .

Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.

5.6. Абсолютная шкала.

Абсолютная шкала, результатом измерения в которой является число, выражающее количество элементов в множестве. В данной шкале начало отсчёта и единицы измерения неизменны. Числа, полученные по такой шкале, можно складывать, вычитать, делить, умножать – все эти действия будут осмысленными. Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной», а номинальная – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот.

Пример. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:

в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений);

в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов);

в А студентов просто меньше, чем в В и С (шкала порядка);

в А, В, С студентов не одно и то же количество (шкала наименований).

Использовать только абсолютные шкалы не всегда целесообразно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. К тому же, таких приборов и процедур для измерения многих характеристик просто нет. Например, можно выяснить, чего данному человеку хочется больше – чая или кофе, но определить, насколько больше или во сколько раз, затруднительно.

В зависимости от существа или важности того или иного фактора на этапе подготовки и принятия решений могут быть использованы различные шкалы. В таблице приведены типы шкал и их основные характеристики.

Упражнения.

К п. 2.2.1

1. В 4-тонный самолет загружаются предметы трех наименований вес которых и прибыль (в тысячах рублей) от перевозки одного предмета имеют следующие значения: . Как необходимо загрузить самолет, чтобы получить максимальную прибыль?

2. Решите задачу о загрузке из примера 1 для каждого из следующих случаев:

a) Общий вес , ;

b) Общий вес , .

3. Шериф округа Вашингтон баллотируется на следующий срок. Денежные средства на предвыборную кампанию составляют примерно 10 000 долларов. Хотя комитет по переизбранию хотел бы провести кампанию во всех пяти избирательных участках округа, ограниченность денежных средств предписывает действовать по-другому. Приведенная ниже таблица содержит данные

о числе избирателей и денежных средствах, необходимых для проведения

успешной кампании по каждому избирательному участку. Каждый участок

может либо использовать все предназначенные деньги, либо вовсе их не использовать. Как следует распределить денежные средства?

Участок	Число избирателей	Необходимые средства (долл.)

К п. 2.2.2.

1. Компания производит специальные вытяжки, которые используются в домашних каминах в период с декабря по март. В начале отопительного сезона спрос на эту продукцию низкий, в середине сезона он достигает своего пика и уменьшается к концу сезона. Учитывая популярность продукции, компания может использовать сверхурочные работы для удовлетворения спроса на свою продукцию. Следующая таблица содержит данные о производственных мощностях компании и объемах спроса на протяжении четырех месяцев.

Возможности производства
Месяц	Обычный режим работы (единицы)	Сверхурочные (единицы)	Спрос (единицы)

Стоимость производства единицы продукции равна 6 долл. в условиях обычного режима работы и 9 долл. при сверхурочных работах. Стоимость хранения единицы продукции на протяжении месяца равна 0, 10 долл. Чтобы гарантировать допустимое решение при отсутствии дефицита, требуется, чтобы предложение продукции (возможности производства плюс запас) к началу каждого месяца, по меньшей мере, равнялось спросу. Требуется так организовать производство, чтобы суммарные затраты на производство и хранение были минимальными.

К п. 2.2.3.

1. Решите задачу при следующих минимальных потребностях в рабочей силе:

а)

б)

2. Пусть в примере каждому уволенному рабочему выплачивается выходное пособие в размере 100 долл. Найдите оптимальное решение задачи.

3. Туристическое агентство организовывает недельные поездки в Египет. В соответствии с договором на ближайшие четыре недели агентство должно обеспечить туристические группы арендными автомобилями в количестве семь, четыре, семь и восемь штук соответственно. Агентство заключает договор с местным дилером по прокату автомобилей. Дилер назначает арендную плату за один автомобиль 220 долл. в неделю плюс 500 долл. за любую арендную сделку. Агентство, однако, может не возвращать арендованные автомобили в конце недели, и в этом случае оно должно будет платить только арендную плату в 220 долларов. Каково оптимальное решение проблемы, связанной с арендой автомобилей?

4. Компания на следующие четыре года заключила контракт на поставку авиационных двигателей, по 4 двигателя в год. Доступные производственные мощности и стоимость производства меняются от года к году. Компания может изготовить пять двигателей за 1-й год, шесть – за 2-й, три – за 3-й и пять – за 4-й. Стоимость производства одного двигателя на протяжении следующих четырех лет равна соответственно 300 000, 330 000, 350 000 и 420 000 долл. В течение года компания может произвести больше 458 двигателей, чем необходимо, но в этом случае двигатели должны надлежащим образом храниться до их отгрузки потребителю. Стоимость хранения одного двигателя также меняется от года к году и оценивается в 20 000 долл. для первого года, 30 000 долл. – для второго, 40 000 долл. – для третьего и 50 000 – для четвертого. В начале первого года компания имеет один двигатель, готовый к отгрузке. Разработайте оптимальный план производства двигателей.

К п. 3.1.1.

1. Пусть для задачи выбора университета Мартином и Джейн установлены следующие значения весовых коэффициентов:

Основываясь на этой информации, оцените с помощью комбинированных весов каждый из трех университетов.

2. Отдел кадров фирмы сузил поиск будущего сотрудника до трех кандидатур:

Николай (Н), Дмитрий (Д) и Михаил (М). Конечный отбор основан на трех критериях: собеседование (С), опыт работы (О) и рекомендации (Р). Отдел кадров использует матрицу А (приведенную ниже) для сравнения трех критериев. После проведенного собеседования с тремя претендентами, сбора данных, относящихся к опыту их работы и рекомендациям, построены матрицы . Какого из трех кандидатов следует принять на работу?

3. Решив купить автомобиль, человек сузил свой выбор до трех моделей: , и . Факторами, влияющими на его решение, являются: стоимость автомобиля (С), стоимость обслуживания (О), стоимость поездки по городу (Г) и сельской местности (М). Следующая таблица содержит необходимые данные, соответствующие трехгодичному сроку эксплуатации автомобиля.

Модель автомобиля	С (долл.)	О (долл.)	Г (долл.)	М (долл.)
	6 000
	8 000
	10 000

Используйте указанные стоимости для построения матриц сравнений и модель автомобиля, которую следует выбрать.

К п. 3.1.2.

1. Электроэнергетическая компания использует парк из 20 грузовых автомобилей для обслуживания электрической сети. Компания планирует периодический профилактический ремонт автомобилей. Вероятность поломки автомобиля в первый месяц равна нулю, во второй месяц — 0, 03 и увеличивается на 0, 01 для каждого последующего месяца, по десятый включительно. Начиная с одиннадцатого месяца и далее, вероятность поломки сохраняется постоянной на уровне 0, 13. Случайная поломка одного грузового автомобиля обходится компании в 200 долл., а планируемый профилактический ремонт в 75 долл. Компания хочет определить оптимальный период (в месяцах) между планируемыми профилактическими ремонтами.

a) Постройте соответствующее дерево решений.

b) Определите оптимальную длину цикла для профилактического ремонта.

К п. 3.1.3.

1. Хенк — прилежный студент, который обычно получает хорошие отметки благодаря, в частности, тому, что имеет возможность повторить материал в ночь перед экзаменом. Перед завтрашним экзаменом Хенк столкнулся с небольшой проблемой. Его сокурсники организовали на всю ночь вечеринку, в которой он хочет участвовать. Хенк имеет три альтернативы:

участвовать в вечеринке всю ночь,

половину ночи участвовать в вечеринке, а половину — учиться,

учиться всю ночь.

Профессор, принимающий завтрашний экзамен, непредсказуем, и экзамен может быть легким ( ), средним ( ) или трудным ( ). В зависимости от сложности экзамена и времени, затраченного Хенком на повторение, можно

ожидать следующие экзаменационные баллы.

a) Порекомендуйте Хенку, какой выбор он должен сделать (основываясь на каждом из четырех критериев принятия решений в условиях неопределенности).

b) Предположим, что Хенк более заинтересован в оценке (в буквенном выражении), которую он получит на экзамене. Буквенным оценкам от А до

D, означающим сдачу экзамена, соответствует 90, 80, 70 и 60 баллов.

Иначе при числе баллов ниже 60 студент получает оценку F, которая свидетельствует о том, что экзамен не сдан. Изменит ли такое отношение к оценкам выбор Хенка?

К п. 3.2.

1. Где строить? Две конкурирующие крупные торговые фирмы и , планируют построить в одном из четырех небольших городов и , лежащих вдоль автомагистрали, по одному универсаму. Взаимное расположение городов, расстояние между ними и численность населения показаны на следующей схеме.

Распределение оборота, получаемого каждой фирмой, определяется численностью населения городов, а также степенью удаленности универсамов от места жительства потенциальных покупателей. Специально проведенное исследование показало, что торговый оборот в универсамах будет распределяться между фирмами так, как это показано в следующей таблице.

Условия	Распределение оборота между фирмами, %

Универсам фирмы расположен к городу ближе универсама фирмы
Универсамы обеих фирм расположены на одинаковом расстоянии от города
Универсам фирмы расположен от города дальше универсама фирмы

Например, если универсам фирмы расположен к городу ближе универсама фирмы , то оборот фирм от покупок, сделанных жителями данного города, распределится следующим образом: 75% получит , остальное – . Представьте описанную ситуацию, как игру двух лиц и определите, в каких городах целесообразно фирмам построить свои универсамы.

2. Двухпальцевая игра мора. Каждый игрок показывает один или два пальца и называет число пальцев, которое, по его мнению, показал его противник (ни один из игроков не видит, какое число пальцев на самом деле показывает его противник). Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме числа пальцев, показанных им и его противником. В противном случае (если никто не угадывает), – ничья. Если оба угадали, то оба платят друг другу одинаковую сумму, в результате также ничья.

Ответьте на следующие вопросы.

а) Существует ли в данной игре седловая точка в чистых стратегиях?

б) Кто из игроков в среднем выигрывает и сколько?

в) Как часто игрок 1 должен говорить, что его противник показал два пальца?

г) Как часто игрок 2 должен показывать 1 палец?

3. Указать значение элемента матрицы игры в седловой точке:

Ситуации игрока 2	Ситуации игрока 1


		-5

Возможные ответы: 1) 6; 2) 8; 3) 15; 4) 25; 5) седловая точка отсутствует.

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒