Рис, 4. Система координат Гаусса для искривленной поверхности

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 36Следующая ⇒

В этой системе координат масштаб измерения по каждой из ее составляющих (V, U) меняется в соответствии с их кривизной, а расстояние между точками Р и Р' на поверхности сферы определяется уже на основе модификации теоремы Пифагора: (ds)2

= E(du)2+ 2 F du dv+ G (dv)2, где ds — бесконечно малое расстояние между точками Р и

Р', Е— коэффициент кривизны катета a, G — коэффициент кривизны катета b, F — коэффициент кривизны линии, соединяющей точки Р и Р'. В системе прямоугольных координат Декарта имеет место формула: (РР')2 = a2 + b2

Наряду с модификацией теоремы Пифагора К. Гауссом была доказана так называемая «великолепная теорема»: К= l/R1 • l/R2, где К— коэффициент кривизны, R2 — малый радиус окружности, касательной в точке определения кривизны пространства, R1 — большой радиус аналогичной окружности. Идея этой теоремы заключается в следующем. Для определения кривизны, например, поверхности в определенной точке из этой точки восстанавливают перпендикуляр

к данной поверхности. Эта линия называется нормальной вертикалью. Затем через данную нормальную вертикаль проводят множество плоскостей, которые пересекают данную поверхность самым различным образом. В каждой из этих плоскостей можно построить окружность с радиусом, равным одному из отрезков

на указанной выше вертикали. Эти окружности касаются поверхности в точке, где определяется ее кривизна. Среди этих окружностей всегда имеются две окружности. Одна с наименьшим радиусом, другая — с наибольшим радиусом. Радиусы этих окружностей определяют кривизну поверхности в данной точке именно совместно (произведение), а не по отдельности (рис. 5).

Рис. 5. Седловидная поверхность Лобачевского - Больяй

Если совместить точку Ρ с началом прямоугольной системы координат (координата Y совпадает с линией C1PC2, а Х — с перпендикулярной линией, пересекающей C1PC2 в точке Р), то радиус окружности, касательной в точке Р1 находящейся на РС1, будет иметь положительное числовое значение, а радиус окружности на линии РС2 — значение отрицательное. Произведение обратных числовых значений радиусов этих окружностей будет иметь отрицательное числовое значение (К < 0)

С точки зрения неевклидовой геометрии возможны следующее значения кривизны К: К> 0 — это сферическая геометрия. В этой геометрии линии имеют конечную длину, двигаясь по ним, мы снова возвращаемся к исходной точке, сумма углов треугольника здесь всегда больше 180°. К < 0 — это геометрия Лобачевского и Больяй. Здесь линии обладают бесконечной протяженностью, и через точку, лежащую вне прямой линии, можно провести бесконечное множество не пересекающихся с ней линий. Сумма углов треугольника здесь всегда меньше 180. К = 0 — это евклидова геометрия.

Таким образом, математическое понятие «бесконечно малого масштаба измерения» стало ключевым для создания неевклидовой геометрии. Наглядность пространственной симметрии стала уступать симметрии чисел.

Геометрия Б. Римана

Б. Риман обобщил метод построения геометрии Гаусса с двух измерений на произвольное число измерений. Здесь речь идет об абстрактных математических построениях без привычных евклидовых треугольников, окружностей и подобного рода фигур геометрии Евклида. Вместо абстрактного понятия Гаусса о бесконечно малом масштабе измерения, но интуитивно представляемого

Б. Риман ввел более «прозаическое» в математическом смысле понятие индекса обозначений.

Индекс обозначений в геометрии Б. Римана позволяет в пространстве с произвольным числом измерений описать положение каждой точки этого пространства, не прибегая к наглядным представлениям. Следовательно, понятие пространства значительно расширило свое содержание. Можно говорить, например, о социальном пространстве и т. д. Предположим, что нам необходимо исследовать пространство поколений некоего гражданина S, имевшего детей. Если использовать индексы обозначений, тогда возможна следующая геометрия Римана (рис. 6).

Рис. 6. Пространство поколений гражданина S в геометрии Римана

Пространство поколений данного гражданина будет определяться количеством и последовательностью индексов. Отсутствие потомства обозначается индексом 0. Каждой точке такого пространства будет однозначно соответствовать определенное количество индексов

В геометрии Римана используется понятие тензора. Тензор (лат. tensus—

напряженный) — это величина, характеризующая «напряженность» компонентов

в областях пространства. Так, для определения положения 3-го поколения гр. S необходимо 4 индекса, для 2-го — 3 индекса, для 1-го — 2 индекса, т. е. всегда на один индекс больше. Совокупность членов (компонентов) одной области (в данном случае одного поколения гр. S) называется тензором, поскольку все компоненты данной области (поколения) имеют одинаковое количество индексов обозначения. Тензоры имеют соответствующие ранги. Например, тензор 1-го ранга описывает «пространство» первого поколения в данном примере. Тензор 4-

го ранга в геометрии Римана соответствует нашему трехмерному миру (длина, ширина и высота). Математические исследования показали в дальнейшем, что понятие тензора в геометрии Римана можно использовать для описания поля тяготения в его геометри-

ческой трактовке. В этом случае понадобится тензор с 20 компонентами

(импульс, энергия и т. д.).

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒