![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
IV. Метод координат. Прямая линияСтр 1 из 5Следующая ⇒
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необходимо повторить курс математики средней школы, познакомиться с принятой математической символикой. Материал, предлагаемый для изучения, содержит две контрольные работы, охватывающий все разделы и темы программы по математике. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре в журнале. Номера задач указаны в таблице, в которой по горизонтали - номер задания, по вертикали - номер варианта. При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие правила: 1. каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке ко- 2. условия задач необходимо записывать полностью. К геометрическим задачам необходимо сделать чертеж; 3. решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант; 4. проверяемые работы сохраняются и предоставляются на экзамене; 5. студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать 6. если работа не зачтена, то ее необходимо переделать и сдать на 7. основной материал изучать по учебникам.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Функции и пределы Повторите определения функциональной зависимости, области определения и области изменения функции. Символически функции записываются так: у= f(x), y=φ (x) и т.д. Символы f и φ указывают на закон соответствия между значениями аргумента х и значениями функции у. Пример. Найти область определения функции: Решение. Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0, найдем его корни: Теоремы о пределах. Следствия. Пример 1. Вычислить Решение. По правилу нахождения предела многочлена, находим: Пример 2. Вычислить Решение. Вданном случае Теорема о пределе частично не применима, т.к. х2 – 8х + 7 =: 0; х2 – 8х + 7 = (х – 1) ∙ (х – 7) Пример 3. Вычислить Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х3: II Решение системы методом Гаусса Постепенным исключением переменных находим 1. Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, умножив поочередно на (–2) и (–4) первое уравнение и сложив поочередно со вторым и третьим уравнениями. 2. Оставим второе уравнение неизменным, исключим у из третьего уравнения, помножив второе уравнение на (–1) и сложив с третьим уравнением. Из третьего уравнения найдем z: z = 4/(–2); z = –2Подставив значение z во второе уравнение, найдем у: –3у – 2 ∙ (–2) = –2; у = 2 Подставив значения у и г в первое уравнение, найдем х: х + 2 + 2∙ (–2) = –1; x = –1 Ответ. (1; 2; –2).
III. Векторы Вектор — это величина характеризующаяся не только значением, но и направлением. Вектор обозначается либо В — конец вектора. Расстояние Пример 1. Найти проекцию вектора Решение. По формуле Пример 2. Найти длину вектора Решение. По формуле Пример 3. Найти Решение. Пример 4. Найти модуль вектора Решение. Пример 5. Вычислить угол между векторами Решение. По формуле
Пример 6. Даны точки А(3; -2) и В(10; -9). Найти точку М(х; у), делящую отрезок АВ в отношении λ =2/5 (от А к В) Решение. Так как точка М делит отрезок АВ от А к В, то
Получим точку M(5; -4) V. Производная Чтобы ясно представить себе понятие производной, необходимо уяснить, что такое средняя скорость изменения функции с изменением аргумента от х1 до х2, а затем разобрать понятие скорости изменения функции в данной точке, т.е.
Производная функции у = f(x) обозначается Производная функции у — f(x) при данном значении аргумента выражает истинную скорость изменения функции в данной точке. Так как каждому значению аргумента соответствует определенное единственное значение производной, то производная есть функция того же аргумента, что и данная функция. Необходимым условием существования производной в данной точке, т.е. для выбранного нами значения аргумента, является непрерывность функции при выбранном значении аргумента. Если график данной непрерывной функции изображается на плоскости кривой, то значение производной этой функции в данной точке численно равно условному коэффициенту касательной к кривой в этой точке. (в точке с абсциссой х = x0) Асимптоты кривой Определение 1. Прямая Отсюда
где Отсюда
Имеет место и обратное: из (2) и (3) следует, что прямая Аналогично определяется и находится асимптота кривой Очевидно, что если
Определение 2. Асимптота, определяемая уравнением (4), называется горизонтальной асимптотой. Определение 3. Прямая
Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х, вблизи которыз функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода данной функции. Пример 1. Найти асимптоты кривой rТак как
то прямая x=2 является вертикальной асимптотой. Находим Итак, Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту
Решение Пример 5. Построить график функции у = х3 — 6х2 + 9х — 3 Решение. 1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R 2. Исследуем функцию на четность и нечетность. Имеем у(-х) = (-x)3 - 6(-x)2 + 9(-x) - 3 = -x3 - 6x2 - 9х - 3 Функция не является ни четной, ни нечетной. 3.Функция не является периодической. 4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. 5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Имеем: у' — Зx2 — 12x + 9; 3x2 — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x1 = 1, x2 = 3. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы: — 6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба. Имеем: у" = 6х - 12, 6х - 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два интервала: -
6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1). Рис. 1.
VI. Неопределенный интеграл Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифференцирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x) = f(x) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С — произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f(x) и называется неопределенным интегралом. Обозначается: Пример 1. Пример 2. Пример 3. Найти Решение. Применим подстановку Интеграл имеет вид: Выполним замену Пример 4. Найти Решение. Cosxdxесть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx. Поэтому Пример 5. Найти Решение. Положим и — lnx, dv = dx/x2, тогда du = dx/x, По формуле VII. Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда выполняемой. Формула Ньютона-Лейбница дает возможность вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного. Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются и при вычислении определенного интеграла. Пример 1. Пример 2. Пример 3 . Решение. Предположим, Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление новых пределов интегрирования. Пример 4- Вычислить Решение. Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x2/2. Следовательно: Определенный интеграл был вычислен с применением формулы интегрирования по частям, которая имеет вид: Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач. Рис. 2 Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = -1; x = 3; у=0 Решение. Сделаем чертеж (рис. 2) Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х = — Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:
Рис. 3 Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4x; у = х Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегрирования, для чего решаем систему уравнений относительно х:
Рис. 4 Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит? Решение. По закону Гука F — хк, где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропорциональности.
Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t2 + 2t (м/с), второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с? Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5с. S1 - S2 = 275 - 75 = 200(m)
IX.Ряды Числовым рядом называется выражение вида где числа Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм при Пример 1. Написать пять первых членов последовательности, если ее n-й член Пример 2. Написать n-й член последовательности по данным первый ее членам: Пример 3. Решение. По определению частичной суммы ряда имеем: Таким образом, получаем следующую последовательность частичных сумм: общий член которой равен Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна единице. Признак Даламбера. Если для ряда то при Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд расходится. Решение. Найдем Таким образом, предел общего члена ряда при X. Элементы комбинаторики Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями. Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания. 1.Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Число размещений из п элементов по т обозначается символом 2.Перестановки. Перестановками из п элементов называют такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп и вычисляется по формуле Рп = п!. 4. Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по m обозначается Пример 1. Найти число размещений из 10 элементов по 4. Решение. Согласно формуле Пример 2. Решить уравнение Решение. Используя формулу Учитывая, что п п(п - 1) = 30(п - 5), п2 - 31п+ 150 = 0; n1 = 6, п2 = 25 Пример 3. Вычислить: а) a) б) Для предсказания какого-либо события, результата, опыта или наблюдения необходимо знать комплекс условий, в которых происходит событие, опыт или наблюдение. Для того, чтобы оценить вероятность события числом, имеющим точный математический смысл, надо, чтобы опыт мог быть повторен в одних и тех же условиях достаточно много раз. Пусть опыт произведен п раз, интересующее нас событие наблюдается в т случаях из п. т/п — частота осуществления события (0 Событие называется достоверным, если оно непременно должно произойти. Событие называют невозможным, если оно заведомо не произойдет. Вероятность достоверного события V равна единице: P(V) = 1. Вероятность невозможного события Е равна нулю: Р(Е) = 0. Вероятность любого события А подчинена условиям 0 (0 События А и В называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность появления другого. Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? Решение. Общее число различных исходов п = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет т = 200. Согласно формуле Р = т/п, получим Р(А) = 200/1000 = 1/5 = 0, 2. Пример 2. В коробке 5 белых, 10 красных и 15 синих шаров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет или белый или красный? Решение. Число исходов 5 4-10-1-15 = 30; Р(Б) = 5/30 = 1/6; Р(К) = 10/30 = 1/3; Р(Б или К) = 1/6 + 1/3 = 1/2. Два несовместных и единственно возможных события называются противоположными и обозначаются: А и Если А и В независимые события, то Р(А и В) = Р(А) • Р(В) Пример 3. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет. Решение. А - первая монета, В - вторая монета. Р(А)= 1/2; Р(В) = 1/2; Р(А и В) = 1/2 • 1/2 = 1/4 Литература 1. Александр Луканкин: Математика: учебник для учащихся учреждений среднего профессионального образования Издательство: ГЭОТАР-Медиа, 2013 г.
Издательство: Академия (Academia) дата выпуска: 2013 г. 3. Элементы высшей математики: учебник для студентов образоват. учреждений СПО, обучающихся по группе специальностей 2200 " Информатика и вычисл. техника" / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. - 9-е изд., стер. - Москва: Академия, 2013. 4. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для среднего профессионального образования / М. С. Спирина, П. А.Спирин. - 5-е изд., стер. - Москва: Академия, 2013. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необходимо повторить курс математики средней школы, познакомиться с принятой математической символикой. Материал, предлагаемый для изучения, содержит две контрольные работы, охватывающий все разделы и темы программы по математике. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре в журнале. Номера задач указаны в таблице, в которой по горизонтали - номер задания, по вертикали - номер варианта. При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие правила: 1. каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке ко- 2. условия задач необходимо записывать полностью. К геометрическим задачам необходимо сделать чертеж; 3. решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант; 4. проверяемые работы сохраняются и предоставляются на экзамене; 5. студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать 6. если работа не зачтена, то ее необходимо переделать и сдать на 7. основной материал изучать по учебникам.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Функции и пределы Повторите определения функциональной зависимости, области определения и области изменения функции. Символически функции записываются так: у= f(x), y=φ (x) и т.д. Символы f и φ указывают на закон соответствия между значениями аргумента х и значениями функции у. Пример. Найти область определения функции: Решение. Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0, найдем его корни: Теоремы о пределах. Следствия. Пример 1. Вычислить Решение. По правилу нахождения предела многочлена, находим: Пример 2. Вычислить Решение. Вданном случае Теорема о пределе частично не применима, т.к. х2 – 8х + 7 =: 0; х2 – 8х + 7 = (х – 1) ∙ (х – 7) Пример 3. Вычислить Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х3: II Решение системы методом Гаусса Постепенным исключением переменных находим 1. Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, умножив поочередно на (–2) и (–4) первое уравнение и сложив поочередно со вторым и третьим уравнениями. 2. Оставим второе уравнение неизменным, исключим у из третьего уравнения, помножив второе уравнение на (–1) и сложив с третьим уравнением. Из третьего уравнения найдем z: z = 4/(–2); z = –2Подставив значение z во второе уравнение, найдем у: –3у – 2 ∙ (–2) = –2; у = 2 Подставив значения у и г в первое уравнение, найдем х: х + 2 + 2∙ (–2) = –1; x = –1 Ответ. (1; 2; –2).
III. Векторы Вектор — это величина характеризующаяся не только значением, но и направлением. Вектор обозначается либо В — конец вектора. Расстояние Пример 1. Найти проекцию вектора Решение. По формуле Пример 2. Найти длину вектора Решение. По формуле Пример 3. Найти Решение. Пример 4. Найти модуль вектора Решение. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1160; Нарушение авторского права страницы