IV. Метод координат. Прямая линия

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необ­ходимо повторить курс математики средней школы, познакомиться с принятой математической символикой. Материал, предлагаемый для изучения, содержит две контрольные работы, охватывающий все раз­делы и темы программы по математике. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре в журнале. Номера задач указаны в таблице, в которой по горизонтали - номер задания, по вертикали - номер варианта.

При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следу­ющие правила:

1. каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке ко-­
торой указывается учебная дисциплина, номер контрольной работы, номер варианта, Ф.И.О.;

2. условия задач необходимо записывать полностью. К геометрическим задачам необходимо сделать чертеж;

3. решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточ­ными объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант;

4. проверяемые работы сохраняются и предоставляются на экза­мене;

5. студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать
объяснения по всем замечаниям, чтобы быть готовым к защите
работы;

6. если работа не зачтена, то ее необходимо переделать и сдать на
повторную рецензию;

7. основной материал изучать по учебникам.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Функции и пределы

Повторите определения функциональной зависимости, области определения и области изменения функции.

Символически функции записываются так: у= f(x), y=φ (x) и т.д. Символы f и φ указывают на закон соответствия между значениями аргумента х и значениями функции у.

Пример. Найти область определения функции:

Решение. Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение x² – 5x + 6 = 0, найдем его корни: и , следовательно, область определения D(y) — вся числовая ось, кроме точек х = 2 и х = 3. Понятие предела переменной величины — одно из важнейших понятий математики. Повторите определение пределов переменной величины.

Теоремы о пределах.

, если

Следствия.

Пример 1. Вычислить

Решение. По правилу нахождения предела многочлена, находим:

Пример 2. Вычислить

Решение. Вданном случае Теорема о пределе частично не приме­нима, т.к. . Числитель дроби разложим на множители и сократим дробь на (х – 1):

х² – 8х + 7 =: 0; ;

х² – 8х + 7 = (х – 1) ∙ (х – 7)

Пример 3. Вычислить

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х³:

II Решение системы методом Гаусса

Постепенным исключением переменных находим .

1. Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, умножив поочередно на (–2) и (–4) первое урав­нение и сложив поочередно со вторым и третьим уравнениями.

2. Оставим второе уравнение неизменным, исключим у из третьего уравнения, помножив второе уравнение на (–1) и сложив с третьим уравнением.

Из третьего уравнения найдем z: z = 4/(–2); z = –2Подставив значение z во второе уравнение, найдем у:

–3у – 2 ∙ (–2) = –2; у = 2

Подставив значения у и г в первое уравнение, найдем х:

х + 2 + 2∙ (–2) = –1; x = –1

Ответ. (1; 2; –2).

 

III. Векторы

Вектор — это величина характеризующаяся не только значением, но и направлением. Вектор обозначается либо , либо , где А — начало вектора;

В — конец вектора. Расстояние называется дли­ной (модуль) вектора . Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, Произведение применяется в физике, механике.

Пример 1. Найти проекцию вектора на ось L, образующую с век­тором угол 60°, если | | — 6.

Решение. По формуле , получим .

Пример 2. Найти длину вектора , если А(1; 1) и В(4; -3).

Решение. По формуле , находим

Пример 3. Найти , если и

Решение.

Пример 4. Найти модуль вектора , если и

Решение.

Пример 5. Вычислить угол между векторами и

Решение. По формуле

;

Пример 6. Даны точки А(3; -2) и В(10; -9). Найти точку М(х; у), делящую отрезок АВ в отношении λ =2/5 (от А к В)

Решение. Так как точка М делит отрезок АВ от А к В, то

и λ =2/5 Подставим эти данные в формулы

и , найдем координаты точки M.

Получим точку M(5; -4)

V. Производная

Чтобы ясно представить себе понятие производной, необходимо уяснить, что такое средняя скорость изменения функции с изменением аргумента от х₁ до х₂, а затем разобрать понятие скорости изменения функции в данной точке, т.е.

при x=x₀

Производная функции у = f(x) обозначается

Производная функции у — f(x) при данном значении аргумента выражает истинную скорость изменения функции в данной точке. Так как каждому значению аргумента соответствует определенное един­ственное значение производной, то производная есть функция того же аргумента, что и данная функция. Необходимым условием существова­ния производной в данной точке, т.е. для выбранного нами значения аргумента, является непрерывность функции при выбранном значении аргумента.

Если график данной непрерывной функции изображается на плос­кости кривой, то значение производной этой функции в данной точке численно равно условному коэффициенту касательной к кривой в этой точке.

(в точке с абсциссой х = x₀)

Асимптоты кривой

Определение 1. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при , если .

Отсюда

, (1)

где . Из (1) имеем

Отсюда

(2)

(3)

Имеет место и обратное: из (2) и (3) следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функции . По формулам (2) и (3) вычисляются угловой коэффициент k и начальная ордината b асимптоты при .

Аналогично определяется и находится асимптота кривой при

Очевидно, что если , то уравнение асимптоты примет вид

(4)

Определение 2. Асимптота, определяемая уравнением (4), называется горизонтальной асимптотой.

Определение 3. Прямая называется вертикальной асимптотой, если

или

Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х, вблизи которыз функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода данной функции.

Пример 1. Найти асимптоты кривой

rТак как

,

то прямая x=2 является вертикальной асимптотой. Находим

Итак, является наклонной асимптотой данной функции при .

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту

 

Решение

Пример 5. Построить график функции у = х³ — 6х² + 9х — 3

Решение.

1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

Имеем у(-х) = (-x)³ - 6(-x)² + 9(-x) - 3 = -x³ - 6x² - 9х - 3 Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Функция не является периодической.

4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим x = 0, тогда у =-3. Точки пересечения с осью Ох в данном случае найти затруд­нительно, т.к. при у — 0 x³ — 6x² 4- 9x — 3 = 0.

5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Име­ем: у' — Зx² — 12x + 9; 3x² — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x₁ = 1, x₂ = 3. Эти точки разбивают область опреде­ления функции на интервалы:

— < x< 1; 1< x< З и 3< x< . Исследуем знак у' в каждом из интервалов. В интервалах - < x < 1иЗ< x< , у’> 0, т.е. функция возрастает, а в интервале 1< x< 3, у’< 0, т.е. функция убывает. При переходе через точку x =1 производная меняет знак с плюса на ми­нус, а при переходе через точку x = 3 — с минуса на плюс. Значит, Уmах = y(1) = 1, Уmiп = y(3) = -3.

6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его пе­региба. Имеем: у" = 6х - 12, 6х - 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два интервала: - < х < 2 и 2 < х < . В первом из них у" < 0, а во втором у" > 0, т.е. в интервале- < х < 2 кривая выпукла вверх, а в интервале 2 < x < выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; — 1).

6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1).

Рис. 1.

 

VI. Неопределенный интеграл

Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифферен­цирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x) = f(x)

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С — произвольная постоянная, представляет совокуп­ность всех первообразных для функции f(x) и называется неопреде­ленным интегралом. Обозначается:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Найти

Решение. Применим подстановку , где z — новая пе­ременная. Возведем обе части в квадрат: 1 + 2х² = z². Продифферен­цируем обе части равенства: 4xdx = 2zdz, xdx — z/2dz

Интеграл имеет вид:

Выполним замену , получим

Пример 4. Найти

Решение. Cosxdxесть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx. Поэтому =

Пример 5. Найти

Решение. Положим и — lnx, dv = dx/x², тогда du = dx/x, dv = dx/x² - x^-2dx - (-l)x^-1 = -1/x; v = -1/x

По формуле udv = uv — vdu, получим:

VII. Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда выполняемой. Формула Ньютона-Лейбница дает возмож­ность вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного.

Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении не­определенного интеграла, используются и при вычислении определен­ного интеграла.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3

.

Решение. Предположим, , тогда x² + 1 = t²; 2xdx = 2tdt; xdx = tdt; t_H =1, t_B = .

Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление но­вых пределов интегрирования.

Пример 4- Вычислить

Решение. Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x²/2.

Следовательно:

Определенный интеграл был вычислен с применением формулы интегрирования по частям, которая имеет вид:

Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площа­дей плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач.

Рис. 2

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х², х = -1; x = 3; у=0

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2)

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х = — ; х = 0; у = 0

Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:

ед², или

Рис. 3

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у² = 4x; у = х

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегриро­вания, для чего решаем систему уравнений относительно х:

Рис. 4

Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит?

Решение. По закону Гука F — хк,

где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропор­циональности.

Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t² + 2t (м/с), второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность рассто­яний, пройденных первым и вторым телом за 5с.

S₁ - S₂ = 275 - 75 = 200(m)

 

IX.Ряды

Числовым рядом называется выражение вида

где числа называемые членами ряда, образуют беконечную последовательность

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

при имеет конечный предел: Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Написать пять первых членов последовательности, если ее n-й член имеет вид:

Пример 2. Написать n-й член последовательности по данным первый ее членам:

Пример 3.

Решение. По определению частичной суммы ряда имеем:

Таким образом, получаем следующую последовательность частичных сумм:

общий член которой равен . Ясно, что эта последовательность сходится и ее предел равен единице:

Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна единице.

Признак Даламбера.

Если для ряда

то при ряд сходится, при – расходится (при вопрсо о сходимости ряда остается нерешенным).

Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд

расходится.

Решение. Найдем

Таким образом, предел общего члена ряда при отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.

X. Элементы комбинаторики

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соеди­нениями. Различают три основных вида соединений: размещения, пе­рестановки и сочетания.

1.Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом на­зывают такие соединения, которые отличаются друг от друга либо са­мими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т обозначается символом и вычисляется по формуле:

2.Перестановки. Перестановками из п элементов называют такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из п элементов обозначается символом Р_п и вычисляется по формуле Р_п = п!.

4. Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом назы­ваются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по m обозначается . Оно находится по формуле:

Пример 1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

Решение. Согласно формуле получим:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Используя формулу , перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что п 6, разделим обе его части на (п — 2)(n — 3)(n — 4):

п(п - 1) = 30(п - 5), п² - 31п+ 150 = 0; n₁ = 6, п₂ = 25

Пример 3. Вычислить: а) б)

a)

б) 5. Элементы теории вероятности

Для предсказания какого-либо события, результата, опыта или на­блюдения необходимо знать комплекс условий, в которых происходит событие, опыт или наблюдение. Для того, чтобы оценить вероятность события числом, имеющим точный математический смысл, надо, что­бы опыт мог быть повторен в одних и тех же условиях достаточно много раз. Пусть опыт произведен п раз, интересующее нас событие наблюдается в т случаях из п. т/п — частота осуществления события (0 т п). Оказывается, что при достаточно большом числе повто­рений частота осуществления события т/п близка к некоторому числу Р, причем близость возрастает с увеличением п.

Событие называется достоверным, если оно непременно должно произойти. Событие называют невозможным, если оно заведомо не произойдет.

Вероятность достоверного события V равна единице: P(V) = 1.

Вероятность невозможного события Е равна нулю: Р(Е) = 0.

Вероятность любого события А подчинена условиям 0 т п;

(0 Р(А) 1):

События А и В называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов п = 1000. Число исхо­дов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет т = 200. Согласно формуле Р = т/п, получим Р(А) = 200/1000 = 1/5 = 0, 2.

Пример 2. В коробке 5 белых, 10 красных и 15 синих шаров. Ка­кова вероятность того, что взятый наугад шар будет или белый или красный?

Решение. Число исходов 5 4-10-1-15 = 30; Р(Б) = 5/30 = 1/6; Р(К) = 10/30 = 1/3; Р(Б или К) = 1/6 + 1/3 = 1/2.

Два несовместных и единственно возможных события называются противоположными и обозначаются: А и ; Р(А) + Р( ) = 1.

Если А и В независимые события, то Р(А и В) = Р(А) • Р(В)

Пример 3. Найти вероятность совместного появления герба при од­ном бросании двух монет.

Решение. А - первая монета, В - вторая монета. Р(А)= 1/2; Р(В) = 1/2; Р(А и В) = 1/2 • 1/2 = 1/4

Литература

1. Александр Луканкин: Математика: учебник для учащихся учреждений среднего профессионального образования

Издательство: ГЭОТАР-Медиа, 2013 г.

2. Математика. Задачник. Учебное пособие для образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования. Автор: Башмаков Марк Иванович

Издательство: Академия (Academia) дата выпуска: 2013 г.
издание: 2-е

3. Элементы высшей математики: учебник для студентов образоват. учреждений СПО, обучающихся по группе специальностей 2200 " Информатика и вычисл. техника" / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. - 9-е изд., стер. - Москва: Академия, 2013.

4. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для среднего профессионального образования / М. С. Спирина, П. А.Спирин. - 5-е изд., стер. - Москва: Академия, 2013.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необ­ходимо повторить курс математики средней школы, познакомиться с принятой математической символикой. Материал, предлагаемый для изучения, содержит две контрольные работы, охватывающий все раз­делы и темы программы по математике. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре в журнале. Номера задач указаны в таблице, в которой по горизонтали - номер задания, по вертикали - номер варианта.

При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следу­ющие правила:

1. каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке ко-­
торой указывается учебная дисциплина, номер контрольной работы, номер варианта, Ф.И.О.;

2. условия задач необходимо записывать полностью. К геометрическим задачам необходимо сделать чертеж;

3. решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточ­ными объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант;

4. проверяемые работы сохраняются и предоставляются на экза­мене;

5. студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать
объяснения по всем замечаниям, чтобы быть готовым к защите
работы;

6. если работа не зачтена, то ее необходимо переделать и сдать на
повторную рецензию;

7. основной материал изучать по учебникам.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Функции и пределы

Повторите определения функциональной зависимости, области определения и области изменения функции.

Символически функции записываются так: у= f(x), y=φ (x) и т.д. Символы f и φ указывают на закон соответствия между значениями аргумента х и значениями функции у.

Пример. Найти область определения функции:

Решение. Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение x² – 5x + 6 = 0, найдем его корни: и , следовательно, область определения D(y) — вся числовая ось, кроме точек х = 2 и х = 3. Понятие предела переменной величины — одно из важнейших понятий математики. Повторите определение пределов переменной величины.

Теоремы о пределах.

, если

Следствия.

Пример 1. Вычислить

Решение. По правилу нахождения предела многочлена, находим:

Пример 2. Вычислить

Решение. Вданном случае Теорема о пределе частично не приме­нима, т.к. . Числитель дроби разложим на множители и сократим дробь на (х – 1):

х² – 8х + 7 =: 0; ;

х² – 8х + 7 = (х – 1) ∙ (х – 7)

Пример 3. Вычислить

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х³:

II Решение системы методом Гаусса

Постепенным исключением переменных находим .

1. Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, умножив поочередно на (–2) и (–4) первое урав­нение и сложив поочередно со вторым и третьим уравнениями.

2. Оставим второе уравнение неизменным, исключим у из третьего уравнения, помножив второе уравнение на (–1) и сложив с третьим уравнением.

Из третьего уравнения найдем z: z = 4/(–2); z = –2Подставив значение z во второе уравнение, найдем у:

–3у – 2 ∙ (–2) = –2; у = 2

Подставив значения у и г в первое уравнение, найдем х:

х + 2 + 2∙ (–2) = –1; x = –1

Ответ. (1; 2; –2).

 

III. Векторы

Вектор — это величина характеризующаяся не только значением, но и направлением. Вектор обозначается либо , либо , где А — начало вектора;

В — конец вектора. Расстояние называется дли­ной (модуль) вектора . Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, Произведение применяется в физике, механике.

Пример 1. Найти проекцию вектора на ось L, образующую с век­тором угол 60°, если | | — 6.

Решение. По формуле , получим .

Пример 2. Найти длину вектора , если А(1; 1) и В(4; -3).

Решение. По формуле , находим

Пример 3. Найти , если и

Решение.

Пример 4. Найти модуль вектора , если и

Решение.

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Токовая отсечка (ТО) на линиях с односторонним питанием.
2. АЛГОРИТМ ЧРЕСКОЖНОЙ КАТЕТЕРИЗАЦИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ВЕН «ГЛУБОКАЯ ЛИНИЯ»
3. Значения, выполняются сплошными тонкими линиями, высота знака должна быть одинаковой с высотой цифр.
4. Наставление по организации перевозок на внутрисоюзных воздушных линиях гражданской авиации СССР
5. Основная бычья линия поддержки. Основная медвежья линия сопротивления
6. Особенности передачи аналоговых телевизионных . сигналов по радиорелейным линиям
7. Переходы между линиями передачи различных типов
8. Потери мощности и энергии в линиях электропередачи
9. Прямая автоинкрементная адресация (№2)
10. Прямая историческая параллель
11. Прямая речь перед словами автора