Алгебры с делением конечного ранга

Определение.Алгеброй с делением над полем Р называется алгебра á А, +, ×, Рñ, такая что

(1) á А, +, × ñ – тело;

(2) á А, +, Рñ – линейное пространство над полем Р;

(3) для любых aÎ P и a, bÎ A имеет место (аa)× b = a× (а b) = а (a× b).

Из условия (3), в частности, следует, что если Р – подмножество множества А, то элементы из Р перестановочны с элементами из А.

Определение.Рангом алгебры с делением á А, +, ×, Рñ называется размерность соответствующего линейного пространства á А, +, Рñ.

Примеры алгебр с делением конечного ранга над полем действительных чисел – это системы R, C, K. Они имеют ранги соответственно 1, 2, 4. В этом разделе будет показано, что других ассоциативных алгебр с делением конечного ранга над полем R нет. В этом заключается теорема Фробениуса.

Теорема 1. Пусть А – алгебра ранга n над полем Р. Тогда любой элемент aÎ А есть корень многочлена степени не выше n над полем Р.

Доказательство. Элементы 1, a, …, aⁿ линейно зависимы над Р. Значит, существует представление а₀ + а₁a + … + а_naⁿ = 0, в котором коэффициенты а₀, а₁, …
…, а_nÎ Р не все нулевые. Следовательно, a – корень ненулевого многочлена
а₀ + а₁х + … + а_nхⁿ над Р.

Теорема 2. Если a – корень многочлена первой степени над полем Р, то aÎ Р.

Доказательство. Пусть a – корень многочлена aх + b. Тогда имеем aa + b = 0, где a, b Î Р, и a = –а^–1bÎ Р.

Теорема 3. Над полем комплексных чисел не существует других алгебр с делением конечного ранга, кроме самого поля С.

Доказательство. Пусть А – алгебра с делением конечного ранга n над С. Тогда произвольный элемент aÎ А есть корень некоторого многочлена f степени не выше n над С. Но многочлены над полем комплексных чисел разлагаются в произведение неприводимых многочленов первой степени. Пусть f = j₁…j_k – это разложение. Так как f(a) = 0, то j₁(a)…j_k(a) = 0. Так как в теле нет делителей нуля, то один из множителей равен 0. Значит, a – корень многочлена первой степени над полем C, и aÎ C. Отсюда А = С.

Теорема 4. Пусть А – ассоциативная алгебра с делением конечного ранга n над полем действительных чисел R. Тогда любой элемент aÎ А есть корень неприводимого над R многочлена первой или второй степени. Его степень вторая тогда и только тогда, когда aÏ R. В этом случае существуют действительные числа а и b такие, что (aa + b)² = –1.

Доказательство. По теореме 1 a есть корень многочлена степени не выше n над полем R. Такой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов первой или второй степени. Следовательно a – корень одного из них. По теореме 2 если aÏ R, то этот многочлен второй степени (обратное следует из теоремы Безу). Значит, для некоторых действительных p, q имеем a² + pa + q = 0. Выделив полный квадрат, получим (a + р/2)² = p²/4 – q. Правая часть отрицательна, так как иначе многочлен будет приводим. Разделив обе части равенства на (q – p²/4) и внеся в левой части этот множитель в скобку, получим при соответствующих обозначениях искомое представление (aa + b)² = –1.

Теорема 5. Ассоциативная алгебра А с делением ранга 2 над полем действительных чисел R изоморфна полю комплексных чисел С.

Доказательство. В алгебре А найдется элемент aÏ R. Согласно теореме 4 в А найдется элемент aa + b такой, что (aa + b)² = –1. Обозначим его через t. Элементы 1, t линейно независимы, следовательно, образуют базис алгебры А. Всякий элемент из А однозначно выражается через базис, то есть представляется в виде a + bt, где a, b Î R. Непосредственно проверяется, что соответствие a + bt ® a + bi устанавливает изоморфизм между алгеброй А и полем комплексных чисел.

Теорема 6. Если А – ассоциативная алгебра с делением конечного ранга n над полем действительных чисел R и линейно независимые элементы a, b Î А таковы, что a² = b² = –1, то элементы 1, a, b, ab также линейно независимы.

Доказательство. Если элементы 1, a, b, ab линейно зависимы, то найдется представление ab = a + ba + cb с действительными a, b, c. Умножив слева на a, получим

a²b = aa + ba² + cab;

–b = aa– b + c(a + ba + cb);

(ca – b) + (a+ bс)a + (1 + c²)b = 0.

В силу линейной независимости элементов 1, a, b все коэффициенты равны 0. В частности, 1 + c²= 0, что невозможно для действительных чисел.

Следствие 6. Над полем действительных чисел не существует ассоциативных алгебр с делением ранга 3.

Теорема 7. Пусть А – ассоциативная алгебра с делением ранга n ³ 4 над полем действительных чисел R и ее элементы 1, a, b линейно независимы над R, причем a² = b² = –1. Тогда ab + ba Î R, причем ï ab + baï < 2.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что a + b Ï Rи a – bÏ R. Тогда из теоремы 4 они являются корнями многочленов второй степени и существуют представления

(1)

с действительными a, b c, d. С другой стороны,

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = –2 + (ab + ba); (2)

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ba + b² = –2 – (ab + ba). (3)

Складывая последние равенства, получаем (a + b)²+ (a – b)² = –4. Отсюда сложив равенства (1) и сгруппировав, получим

–4 = (a + c)a + (a – c)b + b + d.

В силу линейной независимости a + c = a – c = 0, и а = с = 0. Тогда из (1)
(a + b)² = bÎ R, и из (2) ab + ba = (a + b)² + 2Î R.

Утверждение ï ab + baï < 2 следует из формул (2) и (3), так как правые части в обеих формулах должны быть отрицательны.

Теорема 8. Ассоциативная алгебра А с делением ранга 4 над полем действительных чисел R изоморфна телу кватернионов K.

Доказательство. Найдем в алгебре А линейно независимые надR элементы 1, a, b такие, что a² = b² = –1. Они существуют согласно теореме 4. Преобразуем их так, чтобы получить элементы i, j из базиса тела кватернионов. Полагаем i = a,
j = xa + yb. Действительные коэффициенты a и b подберем так, чтобы выполнялись условия:

(а) элементы 1, i, j линейно независимы над R;

(б) ij + ji = 0;

(в) i² = j² = –1.

Для выполнения (а) достаточно положить у ¹ 0. Рассмотрим (б). Из теоремы 7 имеем ab + ba Î R. Введем обозначение ab + ba = 2а, гдеï aï < 1. Тогда

ij + ji = a(xa + yb) + (xa + yb)a = 2xa² + y(ab + ba) = –2x + 2ay = 2(ay – x).

Значит, для выполнения (б) достаточно положить х = ау.

Обеспечим выполнение (в). Имеем

(xa + yb)² = (ауa + yb)² = у²(аa +b)² = у²(а²a² + а(ab + ba) +b²) =

= у²(–а² + 2а² – 1) = у²(а² – 1).

Так как а² – 1 < 0, достаточно взять .

Теперь заключаем согласно теореме 6, что элементы 1, i, j, k = ij линейно независимы, следовательно, образуют базис алгебры А. А так как таблица умножения для этих элементов совпадает с таблицей умножения для базиса тела кватернионов, то алгебра А изоморфна K.

Теорема 9. Над полем действительных чисел не существует ассоциативных алгебр с делением конечного ранга n ³ 5.

Доказательство. Пусть А – ассоциативная алгебра с делением конечного ранга n ³ 5 над полем R. Рассуждая, как в доказательстве теоремы 8, найдем в ней линейно независимые над R элементы 1, i, j, k = ij, образующие в ней базис тела кватернионов. Так как ранг А больше 4, то в А найдется линейно независимый с ними элемент l, причем можно положить l² = –1. Тогда согласно теореме 7 существуют действительные числа a, b, c такие, что выполняются условия

il + li = a;

jl + lj = b;

kl + lk = c.

Из них получаем

lk = lij = (a – il)j = aj – ilj = aj – i(b – jl) = aj – bi + ijl = aj – bi + kl = aj – bi + c – lk.

Отсюда

2lk = aj – bi + c.

Умножив справа обе части на k, получаем

–2l = ai + bj + ck,

что противоречит линейной независимости элементов 1, i, j, k, l. Теорема доказана.

Теорема 10. (Фробениус).Над полемдействительных чисел существуют ассоциативные алгебры с делением конечного ранга п только при п = 1, 2 или 4. Они изоморфны соответственно полю действительных чисел, полю комплексных чисел и телу кватернионов.

Теорема следует из теорем 5, 6, 8, 9.

Упражнения

1.Тело кватернионов имеет размерность 2 над полем комплексных чисел. Не противоречит ли это теореме 3?

2.Согласно теореме Фробениуса, единственное поле над R конечного ранга, большего 1, – это поле комплексных чисел. Не является ли в свете этого излишним требование минимальности в определении поля комплексных чисел?

Литература

1. Ларин С.В. Числовые системы. М., «Академия», 2001.

2. Нечаев В.И. Числовые системы. М., «Просвещение», 1975.

3. Проскуряков И.В. Числа и многочлены. М., «Просвещение», 1964.

Содержание

1. Натуральные числа................................................................................. 3

1.1............................................. Аксиоматическая теория натуральных чисел 3

1.2........................................................................ Сложение натуральных чисел 4

1.3...................................................................... Умножение натуральных чисел 7

1.4.............................. Отношение порядка на множестве натуральных чисел 7

1.5.................................. Исследование аксиом системы натуральных чисел 9

2. Упорядоченные алгебраические системы........................... 12

2.1............................................................................. Упорядоченные множества 12

2.2........................................................................... Упорядоченные полугруппы 14

2.3.................................................................................... Упорядоченные кольца 17

3. Системы целых и рациональных чисел................................. 20

3.1......................................................................................... Кольцо целых чисел 20

3.2................................................. Исследование аксиом теории целых чисел 21

3.3.............................................................................. Поле рациональных чисел 24

4. Действительные числа....................................................................... 27

4.1............................................ Последовательности в нормированных полях 27

4.2............................................................................ Поле действительных чисел 31

5. Алгебры с делением над полем действительных чисел 32

5.1......................................................................................... Комплексные числа 32

5.2..................................................................................................... Кватернионы 35

5.3............................................................ Алгебры с делением конечного ранга 38

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67