Алгебры с делением над полем действительных чисел

Комплексные числа

Определение. Системой комплексных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением поля действительных чисел и содержащее элемент i такой, что i² + 1 = 0.

В соответствии с этим определением дадим аксиоматическое определение в компактной форме.

Система комплексных чисел – это алгебра á C, +, ×, i, R ñ, удовлетворяющая следующим аксиомам:

(С1) á C, +, × ñ – поле;

(С2) á R, +, × ñ – поле действительных чисел; поле á C, +, × ñ – его расширение;

(С3) iÎ C; i² + 1 = 0;

(С4) любое подмножество М множества С совпадает с С, если iÎ М, R Í М и М замкнуто относительно сложения и умножения (аксиома минимальности).

Замечание. Строго говоря, операции в R и С следует обозначать разными символами. Подробную систему аксиом можно построить аналогично тому, как это сделано для теорий целых и рациональных чисел.

Теорема 1. Всякое комплексное число a можно представить, причем единственным образом, в виде a = a + bi, где a, b Î R.

Доказательство. Множество М = {a + biï a, b Î R } удовлетворяет посылкам аксиомы минимальности, значит, М = С и существование представления a = a + bi доказано. Если для некоторого a существуют два представления a = a + bi = a₁+ b₁i, то a – a₁=(b₁– b)i. Если b₁= b, то a = a₁и указанные представления совпадают. Если же b₁¹ b, то i =(b₁– b)/(a – a₁)Î R, что невозможно. Теорема доказана.

В равенстве a = a + bi член а называется действительной частью числа a и обозначается Re a, а b – это коэффициент при мнимой части, Im a.

Теорема 2. Поле комплексных чисел нельзя линейно упорядочить.

Доказательство. Известно, что в упорядоченном поле квадрат любого ненулевого элемента положителен. Но в поле С i² = –1 < 0. Значит, поле С упорядочить нельзя.

Упражнение 1. Докажите, что поле комплексных чисел можно нетривиально нормировать относительно поля действительных чисел.

Из курса алгебры известно важнейшее свойство поля комплексных чисел – его алгебраическая замкнутость. Это значит, что всякий многочлен положительной степени над С имеет корень в С. Отсюда следует, что число комплексных корней многочлена п-ой степени равно п (с учетом их кратности), и над С существуют неприводимые многочлены только первой степени. Имеем также важные следствия, относящиеся к полю действительных чисел: над R существуют неприводимые многочлены только первой или второй степени, и мнимые корни многочлена с действительными коэффициентами разбиваются на пары комплексных сопряженных.

Из курса алгебры также известны приемы выполнения операций с комплексными числами. Для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа его удобно привести к тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j).

Соответствующие параметры находятся по формулам:

r = ;

Для числа z = r (cos j + i sin j), записанного в тригонометрической форме, имеют место следующие формулы:

zⁿ = rⁿ(cos nj + i sin nj) (формула Муавра);

, k = 0, 1, ..., n – 1.

Упражнения

Вычислите:

2. (1 – i)¹⁹.

3. ( + i)¹⁶.

4. (– – i)²¹.

5. (–1 + i)²⁰.

6. (– + i)¹⁶.

7. (–1 – i )15.

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Комплексные числа геометрически изображаются как точки или векторы на плоскости. При этом геометрический смысл модуля комплексного числа – это длина соответствующего вектора или расстояние от соответствующей точки до нуля. Геометрический смысл модуля разности ï z – uï – это расстояние между точками z и и.

В соответствии с этим можно решать задачи об изображении на комплексной плоскости множества комплексных чисел, задаваемого неким условием. Например, множество чисел z, задаваемых уравнением ï zï = 1, – это единичная окружность. Действительно, исходя из геометрического смысла модуля, мы имеем множество точек, расстояние от которых до нуля равно 1.

Другой способ решения подобных задач – переход к декартовым координатам. Он иллюстрируется на следующем примере.

Пример 1. Изобразить множество z комплексных чисел, задаваемых уравнением
z = i.

Решение. Записываем z в виде z = x + yi, x, yÎ R. Уравнение тогда приводится к виду

x + yi = (x – yi)i;

x + yi = y + xi.

Два комплексных числа равны, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Это дает систему двух уравнений над полем действительных чисел:

или у = х.

Получили уравнение прямой, которую изображаем на комплексной плоскости.

Упражнения

Изобразите на комплексной плоскости множества z комплексных чисел, задаваемых условиями:

17. ï zï £ 1.

18. ï z – iï = 2.

19. ï z – iï =ï z + 1ï.

20. ï zï = z.

21. ï zï = zi.

22. ï z – 2ï = 2ï z + 1ï.

23. ï z – iï = Re z.

24. z + = .

Теорема 3. Теория комплексных чисел непротиворечива.

Доказательство. Построим модель теории комплексных чисел. В качестве множества С возьмем множество R ´ R = {(a, b)ï a, b Î R }. Определим на нем операции сложения и умножения. В качестве подсказки будем иметь в виду, что пара (a, b) изображает комплексное число a + bi. Соответственно определяем операции следующим образом:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

(a, b) × (c, d) = (ac – bd, ad + bc).

Проверим для получившейся алгебры аксиомы поля. Ассоциативность сложения:

(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a +(c + e), b + (d + f)) =

= ((a + c) + e, (b + d)+ f) = (a + c, b + d)+ (e, f) = ((a, b) + (c, d)) + (e, f).

Аналогично проверяются ассоциативность умножения, коммутативность, дистрибутивность.

Роль нуля играет пара (0, 0). Действительно,

(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).

Введем обозначение 0 = (0, 0).

Противоположной к паре (a, b) является пара –(a, b) = (–a, –b). Действительно, (a, b) + (–a, –b) = (a – a, b – b) = (0, 0) = 0.

Роль единицы играет пара (1, 0). Действительно,

(a, b) × (1, 0) = (a× 1 – b× 0, a× 0 + b× 1) = (a, b).

Введем обозначение 1 = (1, 0).

Для нахождения обратной к паре (a, b). Воспользуемся представлением о ней как о комплексном числе a + bi. Мы знаем, что

Это дает нам подсказку, что (a, b)^–1 = (a/(a² + b²), –b/(a² + b²)). Непосредственно проверяем, что это действительно так:

(a, b)× (a/(a² + b²), –b/(a² + b²)) = ((a² + b²)/(a² + b²), (–ab + ab)/(a² + b²)) = (1, 0) = 1.

При этом пара (a, b)^–1 существует, если a² + b²¹ 0, то есть (a, b) ¹ 0.

Аксиома (С1) проверена. Для проверки (С2) действительному числу а поставим в соответствие пару j(а) = (а, 0). Получаем взаимно однозначное соответствие j между R и некоторым подмножеством множества С. Проверим, что оно сохраняет операции:

j(a) + j(b) = (а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0) = j(a + b);

j(a) × j(b) = (а, 0) × (b, 0) = (аb + 0× 0, a× 0 + 0× b) = (аb, 0) = j(ab).

Следовательно, j – изоморфизм, и мы имеем в С подполе, изоморфное R. Для его элементов введем обозначение (а, 0) = а.

Проверим аксиому (С3). Роль i играет пара i = (0, 1). Действительно,

i ²= (0, 1)(0, 1) = (0× 0 – 1× 1, 1× 0 – 0× 1) = (–1, 0) = – 1.

Наконец, проверим аксиому (С4). Для этого приведем сначала запись комплексного числа в виде пары к привычному виду:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)× (0, 1) = a + bi.

Пусть теперь М – множество, удовлетворяющее посылкам аксиомы минимальности. Тогда М содержит все числа вида a + bi, следовательно, совпадает с С. Теорема доказана.

Упражнение 24. Постройте модель поля комплексных чисел в кольце матриц второго порядка над R, представив комплексное число a + bi матрицей .

Теорема 4. Теория комплексных чисел категорична.

Идея доказательства заключается в том, что любые две модели поля С содержат подполе, изоморфное R. Эти подполя изоморфны между собой. Этот изоморфизм продолжается на изоморфизм моделей поля С, так как каждое комплексное число представляется в виде a + bi, где a, b Î R.

5.2. Кватернионы

Поле комплексных чисел С построено как расширение поля действительных чисел R с помощью элемента i такого, что i² = –1. При этом поле C представляется как линейное пространство над R размерности 2, то есть всякое действительное число однозначно представляется в виде a + bi с действительными а и b. Попробуем аналогично построить новое поле, – расширение поля С с помощью нового элемента j, такого что j² = –1 и j Ï С. Тогда получим

(i – j)(i + j) = i²+ ij – ji – j²= –1 – (–1) = 0.

Но в поле нет делителей нуля, откуда i – j = 0 или i + j = 0. Получаем соответственно j = i или j = –i, и j Î C. Противоречие. Значит, такого расширения не существует.

Противоречие возникло оттого, что мы полагали ij = ji. Если же отказаться от этого условия, то полученное противоречие снимается. Но это значит, что мы отказались от коммутативности умножения. Если в определении поля отказаться от коммутативности умножения, то приходим к понятию тела.

Определение. Телом называется ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный.

Определение. Системой кватернионов называется тело á K, +, × ñ, удовлетворяющее условиям:

(K1) оно включает поле комплексных чисел á С, +, × ñ с подполем действительных чисел á R, +, × ñ и мнимой единицей i, i² = –1;

(K2) оно содержит новую мнимую единицу j, j² = –1, j Ï С, причемj перестановочна с любым действительным числом;

(K3) (ij)² = –1;

(K4) всякий элемент из K представляется в виде x + yj, x, yÎ C.

Удобно ввести обозначение ij = k. Получим три основных мнимых единицы i, j, k. Можно найти произведение любой пары этих мнимых единиц. Например,

ji = i²× ji× j²=i(ijij)j =i(ij)²j= –ij = –k.

Общее правило их перемножения следующее. Располагаем их по окружности, указав положительное направление движения, как показано на рисунке. Произведение любых двух мнимых единиц равно третьей мнимой единице, взятой со знаком «плюс», если перемножаемые единицы идут друг за другом по окружности в положительном направлении. Если же направление отрицательное, то перед третьей мнимой единицей берется знак «минус».

Упражнение 1. Проверьте приведенное правило, найдя произведения нескольких пар мнимых единиц.

Теорема 1. Любой кватернион q представляется, причем единственным образом, в виде q = a + bi + cj + dk, где a, b, c d Î R.

Доказательство. Из условия (K4) q можно представить в виде q= x + yj, x, yÎ C. Взяв представления комплексных чисел x = a + bi, y = c + di, получаем q = (a + bi)+ +(c + di)j = a + bi + cj + dk. Единственность получаем, доказав единственность представления через комплексные числа q = x + yj. Если бы мы имели второе представление q= x₁+ y₁j, то получили (y – y₁)j = x₁– x, откуда j = (y – y₁)^–1(x₁ – x), и jÎ C.

Умножение кватернионов выполняется обычным образом: раскрываются скобки, мнимые единицы перемножаются согласно приведенному правилу с учетом порядка их следования. Действительные коэффициенты перестановочны с мнимыми единицами.

Деления кватернионов в привычной форме нет. Деление сводится к умножению на обратный кватернион. Но поскольку умножение не коммутативно, следует различать умножение на обратный кватернион слева и справа.

Для нахождения обратного кватерниона и решения уравнений в кватернионах удобно использовать понятие сопряженного кватерниона.

Определение. Сопряженным к кватерниону q = a + bi + cj + dk называется кватернион q^* = a – bi – cj – dk.

Теорема 2. Свойства сопряженных кватернионов:

1) Если q = a + bi + cj + dk, то q× q^* = a²+ b²+ c²+ d²Î R;

2) (q₁× q₂)^* = q₂^*× q₁^*;

3) (q₁× q₁^*) × (q₂× q₂^*) = (q₁× q₂) × (q₁× q₂)^*.

Свойства 1) и 2) доказываются непосредственной проверкой. Для доказательства 3) можно воспользоваться тем, что кватернионы перестановочны с действительными числами.

Упражнения

2. Докажите теорему 2.

3. Докажите, что произведение суммы квадратов четырех целых чисел на сумму квадратов четырех целых чисел есть сумма квадратов четырех целых чисел.

Пример 1. Решите уравнение в кватернионах:

(2 – i + 3j + 2k) x = 1 + 3i + 2j – k.

Решение. Если умножить обе части уравнения слева на кватернион, сопряженный к коэффициенту при х, то получим равносильное уравнение (доказать это). При этом коэффициент при х станет действительным числом, что позволит решить уравнение. Имеем

(2² + 1² + 3² + 2²) х = (2 + i – 3j – 2k) (1 + 3i + 2j – k);

18 x = 2 + 6i + 4j – 2k + i – 3 + 2k + j – 3j + 9k + 6 + 3i – 2k – 6j + 4i – 2;

18 x = 3 + 14i – 4j + 7k;

x = (1/18) (3 + 14i – 4j + 7k).

Теорема 3. Тело кватернионов существует.

Доказательство. Требуется построить модель тела кватернионов. В качестве такой модели рассмотрим множество квадратных матриц второго порядка над полем комплексных чисел вида

q = .

Множество таких матриц обозначим через K. Оно замкнуто относительно вычитания и умножения, что проверяется непосредственно. Например, для умножения имеем

= = Î K.

Следовательно, K образует подкольцо в кольце матриц. Оно является телом, так как содержит единичную матрицу и обратной к матрице q является матрица

D^–1 = Î K.

Здесь D – определитель матрицы q.

Проверим, что для этого тела K выполняются аксиомы тела кватернионов. Поле, изоморфное полю комплексных чисел С, образует множество матриц вида . Такая матрица соответствует комплексному числу a. Нетрудно проверить, что это соответствие действительно является изоморфизмом. При этом действительному числу а соответствует матрица , а мнимой единице i – матрица . Использовав соответствующие обозначения, получаем

i² = = = –1.

Аксиома (K1) проверена.

Проверим аксиому (K2). В качестве j возьмем матрицу . Имеем

j² = = = –1.

При этом j перестановочна с любым действительным числом, так как действительные числа интерпретируются матрицами вида аЕ, перестановочными со всеми матрицами.

Проверим аксиому (K3). Имеем ij = = . В теле кватернионов эта матрица играет роль k. Нетрудно проверить, что k² = –1.

Наконец, проверим аксиому (K4). Для произвольного кватерниона q имеем

q = = + = + = a + bj.

Таким образом, построенная алгебра действительно удовлетворяет определению тела кватернионов. Теорема доказана.

При комплексных a = a + bi, b = c + di матрица q = из модели, построенной в доказательстве теоремы, будет изображать кватернион q = a + bi + cj + dk.

Теорема 4. Теория кватернионов категорична.

В доказательстве используется единственность представления кватерниона в алгебраической форме через мнимые единицы с действительными коэффициенты и категоричность теории действительных чисел.

Упражнения

4. Решите уравнения в теле кватернионов:

а) (1 – 3i + j + 2k) x = 2 + i + 3j – 3k;

б) x (2 – 2i + 3j + k) = 3 + 2i + j – 2k.

5. Докажите, что в теле кватернионов не имеют место формулы

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

a² – b² = (a - b)(a + b).

6. Сколько решений в теле кватернионов имеет уравнение х² – 1 = 0?

7. Докажите, что уравнение х² + 1 = 0 имеет в теле кватернионов бесконечно много решений.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒