Исследование аксиом теории целых чисел

Приведенная система аксиом теории целых чисел не является независимой, как отмечается в упражнении 3.1.4.

Теорема 1. Аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива.

Доказательство. Мы докажем непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел, исходя из предположения, что аксиоматическая теория натуральных чисел непротиворечива. Для этого построим модель, на которой выполняются все аксиомы нашей теории.

Сначала построим кольцо. Рассмотрим множество

N ´ N = {(a, b)ï a, bÎ N }.

Элементами этого множества являются пары (a, b) натуральных чисел. Под такой парой мы будем понимать разность натуральных чисел a – b. Но пока не доказано существование системы целых чисел, в которой такая разность существует, таким обозначением мы пользоваться не имеем права. В то же время такое понимание дает нам возможность задать свойства пар так, как нам требуется.

Мы знаем, что различные разности натуральных чисел могут быть равны одному и тому же целому числу. Соответственно введем на множестве N ´ N отношение равенства:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Нетрудно заметить, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, оно является отношением эквивалентности и имеет право называться равенством. Фактор-множество множества N ´ N по этому отношению равенства обозначим через Z. Его элементы и будем называть целыми числами. Они представляют собой классы эквивалентности на множестве пар. Класс, содержащий пару
(a, b), обозначим через [a, b].

Введем в построенном множестве Z операции сложения и умножения. Нам поможет это сделать представление об элементе [a, b] как о разности a – b. В соответствии с этим полагаем по определению:

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Следует иметь в виду, что, строго говоря, здесь не совсем корректно использование символов операций. Одним и тем же символом + обозначается сложение натуральных чисел и пар. Но так как всегда ясно, в каком множестве выполняется данная операция, то здесь мы не будем вводить отдельных обозначений для этих операций.

Требуется проверить корректность определений этих операций, а именно, что результаты не зависят от выбора элементов a и b, определяющих пару [a, b]. Действительно, пусть

[a, b] = [a₁, b₁], [с, d] = [с₁, d₁].

Это значит, что a + b₁ = b + a₁, с + d₁ = d + с₁. Сложив эти равенства, получаем

a + b₁+ с + d₁ = b + a₁ + d + с₁ Þ [a + b, с + d] = [a₁ + с₁, b₁+ d₁] Þ

Þ [a, b] + [c, d] = [a₁, b₁] + [c₁, d₁].

Аналогично определяется корректность определения умножения. Но здесь следует проверить сначала, что [a, b] × [c, d] = [a₁, b₁] × [c, d].

Теперь следует проверить, что получившаяся алгебра является кольцом, то есть аксиомы (Z1) – (Z6).

Проверим, например, коммутативность сложения, то есть аксиому (Z2). Имеем

[c, d] + [a, b] = [c+a, d+b] = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Коммутативность сложения для целых чисел выведена из коммутативности сложения для натуральных чисел, которая считается уже известной.

Аналогично проверяются аксиомы (Z1), (Z5), (Z6).

Роль нуля играет пара [1, 1]. Обозначим ее через 0. Действительно,

[a, b] + 0 = [a, b] + [1, 1] = [a+1, b+1] = [a, b].

Наконец, –[a, b] = [b, a]. Действительно,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = [1, 1] = 0.

Теперь проверим аксиомы расширения. Следует иметь в виду, что в построенном кольце нет натуральных чисел как таковых, так как элементами кольца являются классы пар натуральных чисел. Поэтому требуется найти подалгебру, изоморфную полукольцу натуральных чисел. Здесь опять поможет представление о паре [a, b] как о разности a – b. Натуральное число n можно представить в виде разности двух натуральных, например, следующим образом: n = (n + 1) – 1. Отсюда возникает предложение установить соответствие f: N ® Z по правилу

f(n) = [n + 1, 1].

Это соответствие инъективно:

f(n) = f(m) Þ [n + 1, 1]= [m + 1, 1] Þ (n + 1) + 1= 1 + (m + 1) Þ n = m.

Следовательно, имеем взаимно однозначное соответствие между N и некоторым подмножеством Z, которое обозначим через N^*. Проверим, что оно сохраняет операции:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m + 1, 1] = f(n + m);

f(n) × f(m) = [n + 1, 1]× [m + 1, 1] = [nm + n + m + 2, n + m + 2]= [nm + 1, 1] = f(nm).

Тем самым установлено, что N^* образует в Z относительно операций сложения и умножения подалгебру, изоморфную N. Значит, проверены аксиомы расширения.

Обозначим пару [n + 1, 1] из N^*, соответствующую натуральному числу n, через n. Тогда для произвольной пары [a, b] имеем

[a, b] = [a + 1, 1] + [1, b + 1] = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b.

Тем самым обосновано, наконец, представление о паре [a, b] как о разности натуральных чисел. Одновременно установлено, что каждый элемент из построенного множества Z представляется в виде разности двух натуральных. Это поможет проверить аксиому минимальности.

Пусть М – подмножество Z , содержащее N^* и вместе с любыми элементами а и b их разность а – b. Докажем, что в таком случае М = Z. Действительно, любой элемент из Z представляется в виде разности двух натуральных, которые по условию принадлежат М вместе со своей разностью.

Таким образом, для построенной системы Z выполняются все аксиомы теории целых чисел, то есть мы построили модель этой теории. Теорема доказана.

Теорема 2. Аксиоматическая теория целых чисел категорична.

Доказательство. Докажем, что две любые модели, на которых выполняются все аксиомы данной теории, изоморфны.

Пусть á Z ₁, +, ×, N ₁ñ и á Z ₂, +, ×, N ₂ñ – две модели нашей теории. Строго говоря, операции в них должны обозначаться разными символами. Мы отойдем от этого требования, чтобы не загромождать выкладки: каждый раз ясно, о какой операции идет речь. Элементы, принадлежащие рассматриваемым моделям, будем снабжать соответствующими индексами 1 или 2.

Мы собираемся определить изоморфное отображение первой модели на вторую. Так как N ₁ и N ₂– полукольца натуральных чисел, то существует изоморфное отображение j первого полукольца на второе. Определим отображение f: Z ₁ ® Z ₂. Каждое целое число х₁Î Z ₁ представляется в виде разности двух натуральных:
х₁= a₁ – b₁. Полагаем

f (x₁) = j(a₁) – j(b₁).

Докажем, что f – изоморфизм. Отображение определено корректно: если х₁ = у₁, где y₁ = c₁ – d₁, то

a₁ – b₁= c₁ – d₁ Þ a₁+ d₁= b₁+ c₁Þ j(a₁ + d₁) = j(b₁+ c₁) Þ

Þ j(a₁) + j(d₁) = j(b₁) + j(c₁) Þ j(a₁)– j(b₁)= j(c₁) – j(d₁) Þ f (x₁) = f (y₁).

Отсюда следует, что f – однозначное отображение Z ₁ в Z ₂. Но для любого х₂ из Z ₂ можно найти натуральные элементы a₂и b₂ такие, что х₂= a₂ – b₂. Так как j – изоморфизм, то у этих элементов есть прообразы a₁и b₁. Значит, x₂ = j(a₁) – j(b₁) =
= f (a₁ – b₁), и у каждого элемента из Z ₂ есть прообраз. Отсюда соответствие f взаимно однозначно. Проверим, что оно сохраняет операции.

Если х₁= a₁ – b₁, y₁= c₁ – d₁, то

х₁+ y₁= (a₁+ c₁) – (b₁ + d₁),

f (х₁+ y₁) = j(a₁+ c₁) – j(b₁ + d₁) =j(a₁)+ j(c₁) – j(b₁) – j(d₁) =

= j(a₁) – j(b₁)+ j(c₁)– j(d₁) = f (х₁) + f (y₁).

Аналогично проверяется, что сохраняется умножение. Тем самым установлено, что f – изоморфизм, и теорема доказана.

Упражнения

1. Докажите, что любое кольцо, включающее систему натуральных чисел, включает и кольцо целых чисел.

2. Докажите, что всякое минимальное упорядоченное коммутативное кольцо с единицей изоморфно кольцу целых чисел.

3. Докажите, что всякое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел.

4. Докажите, что кольцо матриц второго порядка над полем действительных чисел содержит бесконечно много подколец, изоморфных кольцу целых чисел.

Поле рациональных чисел

Определение и построение системы рациональных чисел проводятся аналогично тому, как это сделано для системы целых чисел.

Определение. Системой рациональных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением кольца целых чисел.

В соответствии с этим определением получаем следующее аксиоматическое построение системы рациональных чисел.

Первичные термины:

Q – множество рациональных чисел;

0, 1 – константы;

+, × – бинарные операции на Q;

Z – подмножество Q, множество целых чисел;

Å, Ä – бинарные операции на Z.

Аксиомы:

I. Аксиомы поля.

(Q1) a + (b + c) = (a + b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a × (b × c) = (a × b) × c.

(Q6) a × b = b × a.

(Q7) а × 1 = а.

(Q8) (" a ¹ 0)($a^–1) a × a^–1 = 1.

(Q9) (a + b) × c = a × c + b × c.

II. Аксиомы расширения.

(Q10) á Z, Å, Ä, 0, 1ñ –кольцо натуральных чисел.

(Q11) Z Í Q.

(Q12) (" a, bÎ Z ) a + b = a Å b.

(Q13) (" a, bÎ Z ) a × b = a Ä b.

III. Аксиома минимальности.

(Q14) MÍ Q, Z Í M, (" a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a × b^–1Î M)Þ M = Q.

Число a × b^–1 называется частным чисел а и b, обозначается a/b или .

Теорема 1. Всякое рациональное число представляется в виде частного двух целых чисел.

Доказательство. Пусть М – множество рациональных чисел, представимых в виде частного двух целых. Если n – целое, то n = n/1 принадлежит М, следовательно, Z Í M. Если a, bÎ M, то a = k / l, b = m / n, где k, l, m, nÎ Z. Следовательно, a / b =
= (kn) / (lm)Î M. По аксиоме (Q14) M = Q, и теорема доказана.

Теорема 2. Поле рациональных чисел можно линейно и строго упорядочить, причем единственным способом. Порядок в поле рациональных чисел архимедов и продолжает порядок в кольце целых чисел.

Доказательство. Обозначим через Q ⁺ множество чисел, представимых в виде дроби , где kl > 0. Нетрудно заметить, что это условие не зависит от вида дроби, представляющей число.

Проверим, что Q ⁺ – положительная часть поля Q. Так как для целого числа kl возможны три случая: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, то для a = получаем одну из трех возможностей: a = 0, aÎ Q ⁺, –aÎ Q ⁺. Далее, если a = , b = принадлежат Q ⁺, то kl > 0, mn > 0. Тогда a + b = , причем (kn + ml)ln = kln² + mnl² > 0. Значит, a + bÎ Q ⁺. Аналогично проверяется, что abÎ Q ⁺. Таким образом, Q ⁺ – положительная часть поля Q.

Пусть Q ⁺⁺– какая-нибудь положительная часть этого поля. Имеем

l =.l²Î Q ⁺⁺.

Отсюда N Í Q ⁺⁺. По теореме 2.3.4 числа, обратные к натуральным, также принадлежат Q ⁺⁺. Тогда Q ⁺Í Q ⁺⁺. В силу теоремы 2.3.6 Q ⁺= Q ⁺⁺. Поэтому совпадают и порядки, определенные положительными частями Q ⁺и Q ⁺⁺.

Так как Z ⁺ = N Í Q ⁺, то порядок в Q продолжает порядок в Z.

Пусть теперь a = > 0, b = > 0. Так как порядок в кольце целых чисел архимедов, то для положительных kn и ml найдется натуральное с такое, что с× kn > ml. Отсюда сa = с > = b. Значит, порядок в поле рациональных чисел архимедов.

Упражнения

1. Докажите, что поле рациональных чисел плотно, то есть для любых рациональных чисел a < b найдется рациональное r такое, что a < r < b.

2. Докажите, что уравнение х² = 2 не имеет решений в Q.

3. Докажите, что множество Q счетно.

Теорема 3. Аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива.

Доказательство. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел доказывается так же, как для целых чисел. Для этого строится модель, на которой выполняются все аксиомы теории.

В качестве основы берем множество

Z ´ Z^* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Элементами этого множества являются пары (a, b) целых чисел. Под такой парой мы будем понимать частное целых чисел a/b. В соответствии с этим задаем свойства пар.

Введем на множестве Z ´ Z^* отношение равенства:

(a, b) = (c, d) Û ad = bc.

Замечаем, что оно является отношением эквивалентности и имеет право называться равенством. Фактор-множество множества Z ´ Z^* по этому отношению равенства обозначим через Q. Его элементы и будем называть рациональными числами. Класс, содержащий пару (a, b), обозначим через [a, b].

Введем в построенном множестве Q операции сложения и умножения. Нам поможет это сделать представление об элементе [a, b] как о частном a / b. В соответствии с этим полагаем по определению:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [c, d] = [ac, bd].

Проверяем корректность определений этих операций, а именно, что результаты не зависят от выбора элементов a и b, определяющих пару [a, b]. Это делается так же, как при доказательстве теоремы 3.2.1.

Далее проверяем, что получившаяся алгебра является полем, то есть аксиомы (Q1) – (Q9). Общие аксиомы проверяются как в теореме 3.2.1.

Роль нуля играет пара [0, 1]. Обозначим ее через 0. Действительно,

[a, b] + 0 = [a, b] + [0, 1] = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Противоположной к [a, b] является пара –[a, b] = [–a, b]. Действительно,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = [0, b²] = 0.

Единицей является пара [1, 1] = 1. Обратная к паре [a, b] – пара [b, a].

Теперь проверим аксиомы расширения. Установим соответствие
f: Z ® Q по правилу

f(n) = [n, 1].

Проверяем, что это взаимно однозначное соответствие между Z и некоторым подмножеством Q, которое обозначим через Z^*. Проверяем далее, что оно сохраняет операции, значит, устанавливает изоморфизм между Z и подкольцом Z ^* в Q. Значит, проверены аксиомы расширения.

Обозначим пару [n, 1] из Z^*, соответствующую натуральному числу n, через n. Тогда для произвольной пары [a, b] имеем

[a, b] = [a, 1] × [1, b] = [a, 1] / [b, 1] = a / b.

Тем самым обосновано представление о паре [a, b] как о частном целых чисел. Одновременно установлено, что каждый элемент из построенного множества Q представляется в виде частного двух целых. Это поможет проверить аксиому минимальности. Проверка производится, как в теореме 3.2.1.

Таким образом, для построенной системы Q выполняются все аксиомы теории целых чисел, то есть мы построили модель этой теории. Теорема доказана.

Теорема 4. Аксиоматическая теория рациональных чисел категорична.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.2.2.

Теорема 5. Архимедовски упорядоченное поле является расширением поля рациональных чисел.

Доказательство – в качестве упражнения.

Теорема 6. Пусть F – архимедовски упорядоченное поле, a > b, где a, bÎ F. Существует рациональное число Î F такое, что a > > b.

Доказательство. Пусть a > b ³ 0. Тогда a – b > 0, и (a – b)^–1> 0. Существует натуральное т такое, что m× 1 > (a – b)^–1, откуда m^–1 < a – b £ а. Далее, существует натуральное k такое, что k× m^–1 ³ a. Пусть k – наименьшее число, для которого выполняется это неравенство. Так как k > 1, то можно положить k = n + 1, n Î N. При этом
(n + 1)× m^–1 ³ a, n× m^–1 < a. Если n× m^–1 £ b, то a = b + (a – b) > b + m^–1³ n× m^–1 + m^–1=
= (n + 1)× m^–1. Противоречие. Значит, a > n× m^–1 > b.

Упражнения

4. Докажите, что любое поле, включающее кольцо целых чисел, включает и поле рациональных чисел.

5. Докажите, что всякое минимальное упорядоченное поле изоморфно полю рациональных чисел.

Действительные числа

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒