Структурные схемы линейных САУ

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 11Следующая ⇒

Линейная система управления – это такая система, реакция которой на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а изменению воздействия соответствует пропорциональное изменение реакции. Практически все системы являются нелинейными, но при малых воздействиях или их приращениях большинство систем может рассматриваться как линейные.

Структурная схема, так же как и функциональная схема состоит из блоков, называемых звеньями. Звенья уже соответствуют не физическим блокам САУ, а математическим операциям преобразования сигналов (информации). Стрелки между звеньями указывают направление передачи сигналов (информации).

При построении структурных схем принимаются во внимание только информационные потоки и связи, а так же те преобразования (и искажения) сигналов, которые происходят в системе. Нас уже не будет интересовать физическая сущность элементов системы, а только правила преобразования сигналов.

Каждое звено имеет свое правило. Это правило называется ее передаточной функцией.

х₁+ х₂- х₃

х₂ х₁ х₃ (-)

Рис 29. Фрагмент структурной схемы.

По сути, структурная схема, - это особого вида математическая модель системы управления.

Каждый элемент системы автоматического управления характеризуется направленным воздействием. Он имеет вход, на который воздействует входной сигнал, изменяющийся во времени х(t). На выходе формируется выходной сигнал y(t).

x(t) y(t)

z(t)

Рис.30. Элемент автоматического управления

В общем виде связь между входным х(t), возмущением z(t) и выходным y(t) воздействиями может быть задана в виде дифференциального уравнения.

Порядок больше 2 при описании систем не учитывается, так как это высшие гармоники. Они редко влияют на поведение системы за счет инерционности элементов системы.

Это уравнение описывает не только переходные режимы работы, но и установившиеся. Для этого достаточно положить в уравнении все производные x у и z равными нулю. Решая уравнение относительно у получим искомую статическую характеристику:

y =k_xx(t), к_x=b₀/a₀

y =k_zz(t), к_z=c₀/a₀

Очень важно свойство линейности. Для линейных систем (как уже отмечалось) существует правило: реакция системы на сумму входных сигналов есть сумма реакций на каждый сигнал в отдельности. Тогда можно разделить уравнение на два – по управлению и возмущению.

В автоматике часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора:

p = d/dt и p² = d²/dt²., так, что

dy/dt = py и d²y/dt² = p²y

Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

a₂p²y + a₁p¹y +a₀y = (a₂p² + a₁p¹ + a₀)y = (b₂p² + b₁p¹ + b₀)х

Уравнение динамики можно записать также в виде:

Обозначим:

Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: W(p) = y(t)/х(t).

Таким образом, уравнение принимает простой вид. Это есть оператор преобразования x к y, или:

y = W(p)x

А соответствующая ему схема (модель объекта) изображается следующим образом:

x y

Рис.31. Передаточная функция

В установившемся режиме d/dt = 0, то есть p = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = b₀/a₀.

Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Математическая модель САУ как раз и составляется из передаточных функций.

Запись соотношений между входом и выходом дает значительные преимущества при исследовании систем. В сложных системах автоматического управления имеется взаимодействие элементов: выход одного элемента служит входом другого и так далее. Использование понятия передаточной функции позволяет без труда находить связи между любыми двумя переменными.

Наличие передаточных функций элементов системы позволяет провести структурное моделирование системы управления путем замены функциональных элементов системы их математическими моделями.

Если мы будем строить математические модели различных систем, то увидим, что передаточные функции всего многообразия элементов можно свести к нескольким типовым передаточным функциям – типовым звеньям.Это в значительной мере облегчает процесс построения модели системы.

Типовые звенья

Типовые звенья упрощают структурное моделирование системы управления. Основных типовых звеньев всего шесть:

- пропорциональное (усилительное) звено;

- интегрирующее звено;

- апериодическое звено (инерционное звено первого порядка);

- колебательное звено (инерционное звено второго порядка );

- дифференцирующее звено;

- запаздывающее звено;

Тип звена однозначно определяется законом, связывающим между собой величины х(t) и y(t).

Пропорциональное звено. Пропорциональное звено это такое звено, выходной сигнал y(t) которого пропорционален входному x(t):

y = k· x.

Поэтому, передаточная функция пропорционального звена равна

W(p) = k.

Таким образом, пропорциональное звено является безъинерционным.

x y

Рис.32. Структурная схема пропорционального звена

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называется такое, выходной сигнал которого пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.

Интегратор накапливает входной сигнал с течением времени. Постоянная времени интегратора T численно характеризует скорость этого накопления. Структурная схема выгляди следующим образом.

х (t) y(t)

Рис.33. Структурная схема интегрирующего звена

Передаточная функция интегратора:

W( p) = k/ p.

где k = 1/Т – коэффициент усиления интегратора.

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим звеном называется такое, выходной сигнал которого пропорционален производной по времени от входного сигнала: y(t) = k ⋅ dx(t) /dt, то есть скорости изменения входной величины с коэффициентом передачи k.

Структурная схема выгляди следующим образом.

х (t) y(t)

Рис.34. Структурная схема интегрирующего звена

Передаточная функция этого звена равна:

W( p) = k ∙ p.

Звено запаздывания. Звено запаздывания задерживает выходной сигнал по времени относительно входного на время τ.

Уравнение звена запаздывания описывается следующим соотношением:

y(t) = x(t − τ ), τ > 0.

Структурная схема выгляди следующим образом.

х (t) y(t)

Рис.35 Обозначение звена запаздывания на структурной схеме

Это значит, что звено запаздывания выполняет «сдвиг» входного сигнала на время τ «назад». Выходной сигнал равен входному, но сдвинутому на время запаздывания в прошлое. Передаточная функция звена запаздывания:

W( p) = e ^-^p^τ^, или y(t)=x(t- τ )

Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка).

Апериодическое это такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

Tdy(t)/dt + y(t) = kx(t)

где: k – коэффициент усиления, который может быть размерным; Т – постоянная времени апериодического звена, сек.

Структурная схема выгляди следующим образом.

х (t) y(t)

Рис.36. Представление апериодического звена на

структурных схемах.

Передаточная функция апериодического звена равна:

W( p) = k/ (Tp + 1).

Колебательное звено (Инерционное звено второго порядка).

Колебательное звено это такое звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид:

T²d²y(x)/dt²+ 2 δ Tdy(t)/dt + y(t) = kx(t)

Звено характеризуется тремя параметрами:

Т – постоянная времени, сек;

k – коэффициент усиления,

δ - декремент затухания, характеризующий скорость затухания свободных колебаний звена.

Если δ < 1, звено называется колебательным.

Если δ > 1, звено называется также и инерционным звеном II порядка.

Это звено может возвращаться в исходное состояние по окончанию воздействия на него колебательным или монотонным образом в зависимости от его параметров.

Как видно из дифференциального уравнения, передаточная функцияколебательного звена имеет вид:

W( p) = k/ (T₁²p² + Т₂р+1), T=T₁, T₂=2 δ T.

х (t) y(t)

Рис. 37. Представление колебательного звена на структурной схеме

6.4.5. Преобразование структурных схем

Используя правила преобразования структурных схем, можно привести сложную схему, состоящую из звеньев с простыми передаточными функциями, к простой схеме, состоящей из звена или звеньев со сложными передаточными функциями. Такое преобразование увеличивает наглядность модели, упрощает, унифицирует ее анализ.

Последовательное соединение. При таком соединении выходной сигнал предыдущего звена является входным сигналом последующего звена:

x y

Рис. 38. Последовательное соединение звеньев

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

W(p)=W₁(p)·W₂(p)

Параллельное согласное соединение. При таком соединении входной сигнал всех звеньев один и тот же, а выходной равен сумме выходных сигналов всех звеньев.

x y

(+)

Рис. 39. Параллельное согласное соединение двух звеньев

Передаточная функция параллельного согласного соединения звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) = W₁(p) + W₂(p).

Параллельное встречное соединение (системы с обратной связью). При таком способе соединения звенья соединены следующим образом:

W₁(p)

x y

W₂(p)

(-)

Рис. 40. Параллельное встречное соединение звеньев.

Выходной сигнал, пройдя звено обратной связи, вычитается (отрицательная обратная связь) из входного сигнала и подается на звено прямой связи. Передаточная функция параллельного встречного соединения звеньев равна:

W₁(p)

W(p) =

1+W₁(p) · W₂(p).

где: W₁(p) – передаточная функция звена прямой связи;

W₂(p) – передаточная функция звена обратной связи.

Исследование моделей САУ

Режимы работы САУ

Для дальнейшего построения моделей САУ рассмотрим общие закономерности поведения систем. В каких режимах они работают и как осуществляют выполнение своих функций, поскольку для каждого режима строится своя математическая модель.

Различают три основных системы автоматического управления:

· статический,

· установившийся (динамический),

· переходный.

Статика

В статике все сигналы (воздействия и реакции) постоянны, инерционность элементов системы не проявляется. В динамике воздействия, а следовательно и отклики, реакции объектов и систем, изменяются, что приводит к проявлению инерционных свойств объектов.

При эксплуатации промышленных систем автоматического управления они очень часто достаточно длительное время работают в статическом режиме.

Суть статического режима проста: задающая и возмущающая величины не изменяются во времени. То есть обеспечивается пропорциональность управляемой величины управляющей величине. Математически этот процесс выражается т.н. уравнением статики, очень просто связывающим выходную, управляемую величину у с заданием x и возмущением z:

где:

- k_x это коэффициент пропорциональности выхода y от входа x , который может иметь размерность;

- k_z это коэффициент пропорциональности по возмущению (как правило величина которого или относительно очень мала, или равна нулю).

Малость коэффициента пропорциональности k_z между возмущением и управляемой величиной и приводит к тому, что выходная величина поддерживается с нужной точностью пропорциональной входной.

Физически это означает, что внутри САУ все величины уравновешены.

Статика управления наглядна и прозрачна: чем больше задание, тем больше управляемая величина, вот все что требуется от любой САУ.

Статическая характеристика – зависимость выходной величины объекта у, т.е. величины характеризующей объект управления, от величины подаваемого на его вход воздействия х, при условии, что подаваемое воздействие постоянно во времени, т.е. х(t) = const.

y 2

a x

Δ t

Рис. 41. Примеры статических характеристик объектов управления.

1 – линейная характеристика; 2 – нелинейная характеристика

tga - чувствительность системы. Δ t – диапазон линейности.

При малых изменениях воздействий, как правило, любой объект является линейным. Т.е. малые изменения воздействий приводят к малым изменениям реакций, пропорциональным изменению воздействий.

Здесь рассматривают следующие характеристики системы:

· диапазон линейности статической характеристики;

· чувствительность (крутизна статической характеристики).

Установившийся режим (динамический )

Это режим работы, при котором задающее воздействие и возмущение, действующие на САУ, в течение ограниченного времени достаточно плавно и непрерывно изменяются. Cтатический режим - есть частный случай установившегося.

В установившемся режиме выходная, управляемая величина объекта управления является функцией времени y=y(t) и зависит не только от текущего значения задания, но и от его производных по времени. Плавность изменения переменных – это их постоянство во времени, а значит и обнуление производных. Для того, чтобы САУ продолжала, как и в статике, отвечать своему назначению, а именно обеспечивать пропорциональность управляемой величины управляющей, необходимо, чтобы все производные воздействий и управляемой величины были достаточно малы. Это достигается очень медленным изменением переменных.

Переходный режим.

САУ оказывается в переходном режиме при резких, например ступенчатых, изменениях воздействий. Термин " переходный" характеризует тот факт, что в течение некоторого времени САУ переходит из одного установившегося или статического режима в другой. Это время должно быть меньше критического.

Переходный режим описывается дифференциальными уравнениями, которые определяют вид передаточной функции системы.

6.5.2. Характеристики линейных систем

Математическое описание САУ состоит в описании причинно-следственной связи между воздействием на систему X и ее реакцией Y на это воздействие. Для этого используются четыре вида взаимосвязанных функций:

- передаточная функция W(p);

- комплексный коэффициент передачи W(jω ) (ККП);

- переходная функция h(t);

- весовая или импульсная функция q(t).

Физический смысл ККП– это коэффициент усиления системой синусоидального сигнала x(t) = Asin(ω t+φ ). Величина этого усиления зависит от частоты усиливаемого сигнала. В передаточной функции аргумент Р заменяют комплексной величиной - jω. Тогда функция w(jω ) преобразуется к виду:

w(jω )= R(ω )+jQ(ω ).

Действительная часть этого выражения есть амплитудно – частотная характеристика (АЧХ) - А(ω ), а мнимая – фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - j(ω ). Эти характеристики иногда представляют в логарифмическом масштабе.

АЧХ показывает, как зависит усиление линейной системы А(ω ) от частоты усиливаемого ей синусоидального сигнала, ФЧХ – изменение фазы выходного сигнала в зависимости от частоты входного. АЧХ определяет полосу пропускания системы.

А(ω )=x_max/ε _max= |w(jω )|= Ö R(ω )²+Q(ω )².

j(ω )=arg w(jω ) tgj(ω )= R(ω )/Q(ω ).

А(ω )

0 10 20 30 40 50 60 ω (рад\сек)

Рис. 42. Пример АЧХ

Переходная функция – это реакция линейной системы на ступенчатое воздействие.

Переходная функция позволяет:

· оценить качество линейной САР при ее работе в переходном режиме. Если ступенька отрабатывается системой удовлетворительно, то тем лучше будут отслеживаться более плавные сигналы;

· определить реакцию системы на произвольное воздействие.

Время (сек)

Рис.43 Переходные характеристики линейных систем: М - монотонная, К - колебательная и А - апериодическая.

У хороших систем автоматического управления переходная функция находится на границе монотонного и апериодического режимов.

Весовая или импульсная функция.

Это реакция линейной системы на дельта-функцию δ (t). На практике дельта-функцию моделируют коротким импульсом, длительность которого много меньше времени отклика системы, а интеграл по времени равен единице.

К М

Время (сек)

Рис.44 Весовые характеристики линейных систем

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒