Математические схемы случайностей

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 11Следующая ⇒

В качестве исходной совокупности случайных чисел обычно используют совокупность случайных чисел R с равномерным распределением в интервале [0, 1]. При машинном моделировании используется датчик случайных чисел.

Сбор статистических данных при исследовании любых реальных систем (в физике, химии, биологии, медицине и др.) обладает тем свойством, что на них влияет огромное множество случайных факторов. Поэтому все статистические данные являются случайными. Закономерности, содержащиеся в них проявляются только в среднем.

В математической статистике рассматриваются следующие конструкции случайности.

· СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, которая может принимать от случая к случаю то или иное свое значение. Задается законом распределения. Делятся на величины, распределенные дискретно и непрерывно. Дискретные случайные величины принимают каждая свое значение с определенной вероятностью, в то время как непрерывные случайные величины характеризуются плотностью вероятности. Многие их свойства описываются математическим ожиданием и дисперсией.

· СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ — событие, которое может произойти, а может и не произойти. Наступление случайного события характеризуется вероятностью или плотностью вероятности. Вероятность случайного события характеризует частоту наступления случайного события, если указанные события повторяются большое количество раз.

· СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайная величина, зависящая от времени. Закон распределения такой величины есть функция пространственных переменных и времени. Теория случайных процессов имеет многочисленные и важные приложения к физике, технике (броуновское движение, распространение радиосигналов при наличии помех и т. п.).

Каждая такая конструкция имеет свою математическую модель.

5.4.1. Моделирование одиночного случайного события

Пусть нам необходимо смоделировать некоторое событие А с известной его вероятностью появления Р(А). Алгоритм моделирования заключается в следующем:

· Выбирается случайное число R, подчиненное закону равной вероятности на отрезке [0, 1] (при обращении к датчику случайных чисел)

· Случайное число сравнивается с вероятностью появления события.

Если вероятность больше числа, то событие произошло.

Если вероятность меньше числа, то событие не произошло.То есть:

Следует помнить, что количество знаков после запятой в случайном числе должно быть не менее, чем в вероятности события А.

Продолжим пример со спортивной стрельбой. Построим модель поражения летящей мишени. Определим событие А, как поражение цели. Это событие случайное. Оно зависит от многих случайных факторов: порыв ветра, вес патрона, состояние стрелка в момент выстрела и т.п.

По результатам стрельбы имеем статистику – результативность стрелка. Пусть, например, из 100 выстрелов он попадает, как правило, 80 раз. Отсюда следует, что вероятность события А (успешного выстрела для данного стрелка) равна Р(А) = 0, 8.

Тогда моделирование процесса будет выглядеть следующим образом:

· Выбираем случайное число R. Датчики случайных чисел могут выдавать набор чисел в различных диапазонах, например – [0, 1] или [00, 99] и т.п. Если диапазон случайных чисел не совпадает с диапазоном изменения вероятности, необходимо привести их к одному диапазону.

· Пусть R=75. Нормируем случайное число, приводя его к случайному диапазону R`=R / 100 = 0, 75.

· Сравниваем два числа. Р(А) > R`, значит стрелок попал в цель.

Необходимо обратить внимание, что в построенной выше модели, мы не писали аналитические уравнения полета пули, поражения мишени и т.п. Мы построили имитационную модель, непосредственно имитируя сам процесс. В этом смысле, метод Монте-Карло называют экспериментом на бумаге.

Если нам необходимо построить модель сложного производственного процесса, который представляется последовательностью случайных событий. В этом случае, построив модель каждого события, мы тем самым построим модель всего процесса.

5.4.2. Моделирование двух независимых случайных событий

Пусть два независимых случайных события А и В наступают с известными вероятностями Р(А) и Р(В) соответственно. Возможными исходами совместных испытаний могут быть четыре события (Таблица 14)

Таблица 7

События	Исходы
А	+	+	-	-
В	+	-	+	-

Моделирование исхода испытаний заключается в последовательном моделировании наступлений событий А и В.Следует иметь в виду, что для моделирования наступления каждого события выбирается свое случайное число R.

Примерами независимых событий могут служить выступление команды стрелков, бросание нескольких игральных костей и т.п..

Алгоритм моделирования следующий:

· Определяем случайное число R₁_.

· Сравниваем R₁с Р(А) и получаем исход (+), если Р(А) > R₁или (-), если меньше).

· Определяем случайное число R_2.

· Если на втором шаге исход был (+), т.е. событие А состоялось, то сравниваем R₂ ~ Р (В) и получаем исходы (+) или (-).

Если на втором шаге исход был (-), т.е. состоялось событие Ā. Сравниваем R₂ ~ Р (В) и также получаем исходы (+) или (-).

5.4.3. Моделирование двух зависимых случайных событий

Пусть два зависимых случайных события А и В имеют вероятности соответственно Р(А) и Р(В).

Для зависимых случайных событий существуют условные вероятности. Будем считать их заданными:

Р_А(В) – вероятность появления события В при условии появления события А.

Р_Ā(В) – вероятность появления события В при не появлении события А.

Как и в предыдущем примере имеем четыре исхода.

Таблица 8

События	Исходы
А	+	+	-	-
В	+	-	+	-

В качестве исходных данных необходимо знать, по крайней мере, три вероятности. Если неизвестна одна из условных вероятностей, например Р_Ā(В), то ее можно определить из формулы полной вероятности

Процесс моделирования будет содержать четыре шага:

· Определяем случайное число R₁_.

· Сравниваем R₁с Р(А) и получаем исход (+), если Р(А) > R₁или (-), если меньше.

· Определяем случайное число R_2.

· Если на втором шаге исход был (+), т.е. событие А состоялось, то сравниваем R₂ ~ Р_А(В) и получаем исходы (+) или (-).

Если на втором шаге исход был (-), то есть состоялось событие Ā, то сравниваем R₂ ~ Р_Ā (В) и также получаем исходы (+) или (-).

5.4.4. Моделирования случайного события из полной группы событий

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. События, составляющие полную группу являются взаимоисключающими. Например, стрельба по мишени. Событие А₀ – попадание в молоко, событие А₁ - попадание в 1 и т.д. Или игральная кость – выпадает только одно число.

Для моделирования случайного события из полной группы в качестве исходных данных должен быть задан ряд распределения вероятностей этих событий Р_i. Пусть мы имеем n событий А₁, А₂... А_n, составляющих полную группу. И задан ряд распределения вероятностей этих событий, то есть P₁, P₂, P_n. Из определения полной группы следует:

Это условие говорит о том, что совокупность всех событий А_i такова, что одно из них обязательно должно произойти (монета упадет либо на «орел» либо на «решка») и произойти может только одно событие.

По заданному ряду распределения формируется интервальная шкала. Она представляет последовательность отрезков, расположенных на интервале [0, 1]. Протяженность отрезков пропорциональна соответствующим вероятностям.

Вероятность, указанная на интервальной шкале называется интегральной вероятностью.

Рис. 15 Интервальная шкала

При построении шкалы не имеет значения, в какой последовательности указаны события, они независимые. Отсечка на шкале соответствует сумме вероятностей событий слева от отсечки.

Процесс моделирования сводится к следующему. Выбираем случайное число R. Определяем интервал, на который попало случайное число.

Считаем, что произошло событие А_i, соответствующее данному интервалу.

Процедуры, построенные в соответствии с данным алгоритмом, называются жеребьевкой.

В качестве примера алгоритма жеребьевки построим модель игральной кости. Имеем шесть событий: А₁ – выпала 1, А₂ – выпала 2 и т.д.

Из опыта знаем, что Р₂ = Р₂ =... 0, 1(6). Изобразим интервальную шкалу (Рис24).

Рис. 16 Интервальная шкала для модели игральной кости

Модель представляется в виде таблицы.

Таблица 9

Событие	Интегральная вероятность с точностью до второго знака	Интервал случайных чисел
А₁	0, 1(6) -0, 17	0 – 0, 16
А₂	0, (3) – 0, 33	0, 17 – 0, 32
А3	0, 5	0, 33-0, 49
А4	0, 6(6)-0, 67	0, 5-0, 66
А5	0, 8(3)-083	0, 67-0, 82
А6		0, 83-0, 99

Выбираем случайное число, например R=0, 71. Определяем, в какой интервал попало случайное число. В данном случае произошло событие А₅–выпала пятерка.

Модель задачи о «случайном блуждании». Прохожий решил прогуляться, стоя на углу пересечения улиц. Пусть вероятность того, что, достигнув очередного перекрестка, он пойдет на север, юг, восток и запад, одинакова. Какова вероятность того, что пройдя 10 кварталов, прохожий окажется не далее 2 кварталов от места, где он начал прогулку?

Количество исходов на каждом перекрестке равно 4. Тогда общее количество исходов равно 4¹⁰. Эту задачу модно решить только имитацией – розыгрышем.

Все четыре события независимые и составляют полную группу, поскольку они взаимоисключающие и хотя бы одно из них должно произойти. Из условия мы знаем, что вероятность каждого из них равна Р_i=0, 25, причем .

Тогда модель будет иметь вид.

Таблица 10.

Событие	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервал случайных чисел
Север - А₁	0, 25	0, 25	0 – 0, 24
Юг - А₂	0, 25	0, 5	0, 25– 0, 49
Восток - А3	0, 25	0, 75	0, 5-0, 74
Запад - А4	0, 25		0, 75-0, 99

Проведем один розыгрыш. Выберем 10 случайных чисел из таблицы случайных чисел (приведена в конце раздела).

Таблица 11.

0, 3

0, 21

0, 04

0, 96

0, 57

0, 47

0, 23

0, 7

0, 67

0, 7

Построим маршрут.

Таблица 12.

ХОДЫ:
С
Ю
В
З

Представим маршрут графически.

Рис.17 Маршрут одной реализации задачи о случайном блуждании

Для того, что бы получить достоверный результат необходимо провести множество реализаций модели. Чем больше реализаций, тем точнее результат. При 100 реализаций мы получим точность решения до второго знака после запятой, то есть вероятность по условию задачи будет равна Р=0, 55.

Вывод, при блуждании в чужом городе далеко от исходной точки вряд ли можно уйти.

5.5. Моделирование случайных величин

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (неизвестное заранее). Например, количество изделий выпускаемых заводом в смену.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными:

- дискретные – такие, отдельные значения которых можно заранее перечислить. Например, рост взрослого человека в сантиметрах. (Не надо путать дискретную случайную величину со случайным событием. Напомним, что под случайным событием в теории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.).

- непрерывные величины образуют сплошное заполнение некоторого промежутка числовой оси. Например, скорость бега спортсмена.

5.5.1. Моделирование дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина А, принимающая конечное число возможных значений, задается перечнем этих значений А₁,.А₂,...А_n и вероятностями того, что случайная величина примет каждое из них Р₁, Р_2,…Р_n. Случайная величина может принять только одно значение из множества возможных. При этом события, заключающиеся в том, что А примет значения А₁,.А₂,...А_n, образуют полную группу. Поэтому, моделирование значений дискретной величины А осуществляется алгоритмом жеребьевки (моделирования случайного события из полной группы событий).

Для примера рассмотрим построение модели потока машин на автомойку в течение 10 часов.

Для моделирования необходимо знать вероятностные характеристики потока машин. Имеем статистику количества машин, приезжавших на мойку в течении последних 200 часов (имитационную модель можно построить только на основе статистических данных).

Таблица 13

Число машин в час.	Частота

Составляем интервальную шкалу.

Таблица 14

Число машин в час	Частота	Вероятность	Интегральная вероятность*[i]	Интервал случайных чисел
		0, 10	0, 10	0 – 0, 09
		0, 15	0, 25	0, 1-0, 24
		0, 25	0, 50	0, 25-0, 49
		0, 30	0, 80	0, 50-0, 79
		0, 20		0, 80-0, 99
Сумма

Диапазон случайных чисел устанавливаем в соответствии с кумулятивной вероятностью, как показано в таблице. Полученная таблица используется следующим образом. С помощью датчика определяем 10 случайных чисел. Определяем, в какой интервал нашей таблицы они попадают и находим соответствующее значение прибытия машин. Имитационная модель будет представлять собой следующую таблицу.

Таблица 15

Час
Случайное число	0, 69	0, 02	0, 36	0, 49	0, 71	0, 99	0, 32	0, 10	0, 75	0, 21
Количество прибывших машин

Получаем, что за 10 часов подъедет на мойку 61 машина. В среднем это составит 6 машин в час. Эти данные позволяют на практике оценить необходимую производительность мойки по имеющейся статистики потока машин. Можно подсчитать математическое ожидание этой случайной величины. Оно будет отличаться от среднего значения, но с ростом числа испытаний эта разница уменьшается.

5.5.2. Моделирование непрерывной случайной величины

Дискретная случайная величина задается множеством значений и вероятностями того, что случайная величина примет каждое из них. Непрерывная же случайная величина задается законом распределения (функцией плотности вероятности). Для моделирования возможных значений непрерывной случайной величины так же используются случайные числа, имеющие равномерное распределение в интервале [0, 1]. Другими словами, случайные числа должны быть преобразованы в возможные значения случайной величины, закон распределения которой задан.

Исходными данными для моделирования являются:

- тип закона распределения случайной величины – функция распределения F(R);

-основные числовые характеристики этого распределения (для нормального закона распределения – дисперсия).

Закон распределения может быть задан не типовой – какой либо приближенной зависимостью приближенного вида. Тогда применяют кусочно-линейную аппроксимацию функции распределения.

Рассмотрим точный методпрямого преобразования случайной величины. Он применяется при задании типовой функции распределения, имеющей аналитическое выражение. Моделирование осуществляется следующим образом:

· Выбирается случайное число R

· По значению случайного числа R и обратной функции распределения вычисляется значение, которое принимает случайная величина.

Например, случайная величина подчинена показательному закону распределения

С помощью датчика случайных чисел выбираем случайное число R. Тогда

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒