Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Вывод закона Видемана - Франца.



Лекция 8

 

1. Классическая теория электропроводности металлов

 

На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

Большая концентрация электронов в металлах (no » 1028 - 1029 м-3) обуславливает в них высокую тепло- и электопроводимость. Позднее была создана классическая теория электропроводности металлов Друде-Лоренца.

В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.

Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.

Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,

где m - масса электрона; <vкв> - средняя квадратичная скорость теплового движения. Например, при температуре Т = 273 К, <vкв> » 105 м/c.

При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого

, (1)

где n0 - концентрация электронов; qe - заряд электрона; <v> - средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = <u> + <v>.

Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.

При максимально допустимой плотности тока в металлах cредняя скорость упорядоченного движения <v> » 10-3 м/c, т. е. <v> << <u>, что объясняется малым значением средней длины свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями его с ионами.

Вывод закона Ома

 

По классической теории проводимости металлов при соударении электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.

Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.

Поэтому на основании второго закона Ньютона

F = ma = m ,

где F = qeE; Е - напряженность электрического поля.

Средняя скорость упорядоченного движения

<v> = .

Если средняя продолжительность времени свободного пробега <t>, то после интегрирования

F = ma = m

получим, что <vмах> =

или

<v> = . (2)

Если <u> всех электронов одинаковы, но <v> << <u>, найдем среднее время пробега электрона

.

С учетом этого формулу (2) перепишем в виде:

. (3)

Следовательно, плотность тока

, (4)

где (5)

- удельная электропроводимость проводника.

Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме

j = g E.

Вывод закона Джоуля - Ленца

После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.

Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину

. (6)

Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия

. (7)

В единице объема проводника содержится n0 электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами

. (8)

Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности

, (9)

где

<vмах> = 2<v>.

Используя формулу (2) и

окончательно получим

(10)

или

w = gE2.

 

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

. (11)

Квантовые числа

В квантовой механике состояние электрона описывается набором квантовых чисел: главное квантовое число n = 1, 2, 3, ... ; характеризует энергию электрона в атоме; орбитальное квантовое число 0, 1, 2, 3, ... , n - 1; характеризует энергию взаимодействия электронов; магнитное квантовое число = 0, ±1, ±2, ±3, ... , ± ; характеризует проекцию момента импульса; спиновое квантовое число mS = ± 1/2 ( спин S =1/2).

При заполнении электронами энергетических состояний (уровни энергии) для фермионов выполняется принцип Паули:

В данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

При равных значениях квантовых чиселn, , электроны должны иметь противоположно направленные спины. Заполнение электронами энергетических уровней происходит при одновременном выполнении трех условий: а) электроны должны иметь вполне определенные значения квантовых чисел n, , , ms; (23)

б) соответствовать минимуму энергии;

в) подчиняться принципу запрета Паули.

Основы квантовой статистики

В отличие от классической квантовая статистика строится на принципе неразличимости тождественных частиц, например, электронов в атоме.

Квантовой статистикой называют метод исследования квантовой системы, состоящей из большого числа частиц.

Основная задача квантовой статистики - нахождении функции распределения частиц квантовой системы по координатам, импульсам, энергиям.

 

Статистика Бозе - Эйнштейна

 

Частицы со спином s = 0 или целым кратным : s = 0, , 2 , ... ,

[ ]. Такие частицы называют бозонами: например, фотоны, квазичастицы - фононы, куперовские пары электронов в сверхпроводниках, ядра атомов и т. д. Собственный момент импульса Lsz =±2mħ/2, где m =0, 1, 2, … . Поведение бозонов описывается статистикой Бозе - Эйнштейна. Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули.

Функция Бозе - Эйнштейна - среднее число частиц в данном состоянии,

, (24)

где Wi - энергия i-й частицы; WF - энергия Ферми, которую рассчитывают по формуле

m = . (25)

Статистика Ферми - Дирака

  Рис. 1

 

Частицы с полуцелым спином в единицах называют фермионами. Собственный момент импульса фермионов Lsz = ± (2m +1) ħ / 2.

К фермионам относятся, например, электроны, протоны, нейтроны и др.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули. Состояние фермионов описывается статистикой Ферми - Дирака. Функция распределения Ферми - Дирака имеет вид:

. (26)

На рис. 1 приведены графики функций распределения Максвелла – Больцмана, Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака.

Эффективная масса электрона

 

Под действием внешней силы в периодическом поле кристаллической решетки электрон движется так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, если бы он имел массу

, (48)

где - постоянная Планка;

k = 2p ¤ l - волновое число.

Эффективная масса электрона по абсолютному значению может быть больше или меньше массы электрона m, положительной или отрицательной.

Для свободного электрона

m = mэф.

Иначе обстоит дело с электронами в кристалле, где он имеет не только кинетическую, но и потенциальную энергии.

Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов, находящихся у дна этой зоны.

Часть работы внешней силы, действующей на электрон, переходит в кинетическую энергию, остальная часть работы - в потенциальную энергию,

т. е.

DА = DWk + DWp.

Но скорость и кинетическая энергия возрастают медленнее, чем у свободного электрона. Такой электрон становится как бы тяжелее.

Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию:

DА = DWp,

то изменение кинетической энергии и скорости электрона не происходит, и он ведет себя, как частица с бесконечной, эффективной массой.

Если же при движении электрона в потенциальную энергию переходит не только вся работа внешней силы, но и кинетическая энергия

DWp = DWk + DА,

тогда скорость электрона будет уменьшаться, т. е. он ведет себя, как частица с отрицательной эффективной массой. Так ведут себя электроны, расположенные у потолка энергетической зоны. Если при движении электрона в кинетическую энергию переходит вся работа внешней силы и потенциальная энергию, т. е.

DWk = DWp + DА,

то его скорость растет быстрее, чем у свободного электрона, и он становится легче свободного электрона (m > mэф).

 

Лекция 8

 

1. Классическая теория электропроводности металлов

 

На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

Большая концентрация электронов в металлах (no » 1028 - 1029 м-3) обуславливает в них высокую тепло- и электопроводимость. Позднее была создана классическая теория электропроводности металлов Друде-Лоренца.

В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.

Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.

Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,

где m - масса электрона; <vкв> - средняя квадратичная скорость теплового движения. Например, при температуре Т = 273 К, <vкв> » 105 м/c.

При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого

, (1)

где n0 - концентрация электронов; qe - заряд электрона; <v> - средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = <u> + <v>.

Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.

При максимально допустимой плотности тока в металлах cредняя скорость упорядоченного движения <v> » 10-3 м/c, т. е. <v> << <u>, что объясняется малым значением средней длины свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями его с ионами.

Вывод закона Ома

 

По классической теории проводимости металлов при соударении электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.

Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.

Поэтому на основании второго закона Ньютона

F = ma = m ,

где F = qeE; Е - напряженность электрического поля.

Средняя скорость упорядоченного движения

<v> = .

Если средняя продолжительность времени свободного пробега <t>, то после интегрирования

F = ma = m

получим, что <vмах> =

или

<v> = . (2)

Если <u> всех электронов одинаковы, но <v> << <u>, найдем среднее время пробега электрона

.

С учетом этого формулу (2) перепишем в виде:

. (3)

Следовательно, плотность тока

, (4)

где (5)

- удельная электропроводимость проводника.

Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме

j = g E.

Вывод закона Джоуля - Ленца

После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.

Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину

. (6)

Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия

. (7)

В единице объема проводника содержится n0 электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами

. (8)

Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности

, (9)

где

<vмах> = 2<v>.

Используя формулу (2) и

окончательно получим

(10)

или

w = gE2.

 

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

. (11)

Вывод закона Видемана - Франца.

Основатели классической теории проводимости металлов пытались теоретически получить закон Видемана - Франца:

k / g = Const. (12)

При постоянной температуре для всех металлов отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности является величиной постоянной.

Исследования Лоренца показали, что

k / g = L×T, (13)

где L - константа Лоренца.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что коэффициент теплопроводности k = , (14)

где сv - удельная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме;

r = mn0 - плотность одноатомного газа.

Если молярная масса газа М = mNa, то

r сv = , (15)

где R - универсальная газовая постоянная; k - постоянная Больцмана.

Следовательно,

k = . (16)

Подставив значение коэффициентов теплопроводности из (16) и электропроводности из (11) в (15), получим закон Видемана - Франца в виде k / g = k m<u>2 / q2

Из молекулярно-кинетической теории следует, что <u> @<vкв> = .

Тогда окончательно получим

k / g = 3k2T / q2, (17)

где константа Лоренца L = .

Несмотря на то, что классической теории удалось получить законы Ома и Джоуля-Ленца при выводе закона Видемана-Франца встретились серьезные трудности. Значение константы L значительно расходилось с экспериментальными данными.

Для металлов бериллия и марганца закон Видемана - Франца не выполняется.

Попытки Лоренца уточнить теорию, используя классическую статистику Максвелла-Больцмана, не дали результатов. Действительно, сильно упрощенная классическая теория проводимости металлов не могла учесть всех особенностей свойств электрона, которые были получены позднее.

Например, 1) согласно теории удельное сопротивление

~ ,

что противоречит экспериментальным данным;

2) средняя длина свободного пробега электронов значительно больше и состаляла сотни периодов кристаллической решетки, т. е. электроны значительно реже испытывают столкновения с ионами;

3) более значительные затруднения теории возникли при объяснении теплоемкости металлов.

Молярная теплоемкость металлов определяется молярной теплоемкостью кристаллической решетки Среш и молярной теплоемкостью электронного газа Сэл, т. е. С = Среш + Сэл. Ионы, образующие кристаллическую решетку проводника, совершают тепловые колебания около узлов кристаллической решетки. Любой ион имеет три колебательные степени свободы и характеризуется в среднем энергией колебательного движения Wkoл = 3 kT.

Тогда внутренняя энергия одного моля ионов Uреш = Na 3kT = 3RT.

Следовательно, теплоемкость решетки (закон Дюлонга и Пти)

. (18)

Теплоемкость электронного газа Сэл = 3R/2, (19)

Таким образом, полная теплоемкость металл

Сэл = 9R/2. (20)

Согласно экспериментальным данным молярная теплоемкость металлов почти не отличается от молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков при нормальных условиях и находится по формуле С = 3R, т. е. электронный газ практически не имеет теплоемкости.

Трудности классической теории удалось преодолеть после создания качественно новой квантовой теории проводимости металлов, предложенной Зоммерфельдом в 1928 г. В своей теории он использовал статистику Ферми-Дирака. Согласно выводам квантовой теории константа L в законе Видемана-Франца L = , (21)

что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В квантовой теории учтено влияние периодического электрического поля на движение электронов, созданного ионами кристаллической решетки, нарушения этой периодичности за счет тепловых колебаний ионов, наличия примесей и т. д.







Читайте также:

  1. III. Вывод о непроизвольном возникновении огня в палеолите
  2. IV. Социальная структура и политический строй старовавилонского общества (по законам Хаммурапи)
  3. Q СССР согласился с сохранением членства объединенной Германии в НАТО и выводом советских войск из Восточной Германии.
  4. А. ПРОЕКТ ДОГОВОРА О ПАТЕНТНЫХ ЗАКОНАХ
  5. Аналогия закона и аналогия права в гражданско-правовых отношениях.
  6. Асинхронные задачи интерфейса с устройствами ввода/вывода.
  7. В потоке выводов и заключений
  8. Вопрос 5. Действие уголовного закона во времени. Обратная сила уголовного закона.
  9. Вот мы и пришли, точнее сами Писания нас привели к выводу: АНГЕЛ ВСЕСИЛЬНОГО (ШМОТ, 3:2,4, и ШМОТ 16:19-20) есть АНГЕЛ ЛИЦА ЕГО, КОТОРЫЙ ИСКУПИЛ ИХ, ВЗЯЛ И НОСИЛ ИХ ВО ВСЕ ДНИ ДРЕВНИЕ (Йешайа 63:9).
  10. Все выводы должны быть записаны в тетради ПОДРОБНО, каждый отвечающий должен уметь воспроизвести решение, не используя тетрадь.
  11. Выбор контроллера и модулей ввода/вывода


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 554; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.013 с.) Главная | Обратная связь