Вывод закона Видемана - Франца.

Лекция 8

1. Классическая теория электропроводности метал лов

На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

Большая концентрация электронов в металлах (n_o » 10²⁸ - 10²⁹ м^-³) обуславливает в них высокую тепло- и электопроводимость. Позднее была создана классическая теория электропроводности металлов Друде-Лоренца.

В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.

Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.

Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,

где m - масса электрона; < v_кв> - средняя квадратичная скорость теплового движения. Например, при температуре Т = 273 К, < v_кв> » 10⁵ м/c.

При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого

, (1)

где n₀ - концентрация электронов; q_e - заряд электрона; < v> - средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = + < v>.

Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.

При максимально допустимой плотности тока в металлах cредняя скорость упорядоченного движения < v> » 10^-³ м/c, т. е. < v> < < , что объясняется малым значением средней длины свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями его с ионами.

Вывод закона Ома

По классической теории проводимости металлов при соударении электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.

Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.

Поэтому на основании второго закона Ньютона

F = ma = m ,

где F = q_eE; Е - напряженность электрического поля.

Средняя скорость упорядоченного движения

< v> = .

Если средняя продолжительность времени свободного пробега < t>, то после интегрирования

F = ma = m

получим, что < v_мах> =

или

< v> = . (2)

Если всех электронов одинаковы, но < v> < < , найдем среднее время пробега электрона

С учетом этого формулу (2) перепишем в виде:

. (3)

Следовательно, плотность тока

, (4)

где (5)

- удельная электропроводимость проводника.

Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме

j = g E.

Вывод закона Джоуля - Ленца

После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.

Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину

. (6)

Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия

. (7)

В единице объема проводника содержится n₀ электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами

. (8)

Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности

, (9)

где

< v_мах> = 2< v>.

Используя формулу (2) и

окончательно получим

(10)

или

w = gE².

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

. (11)

Квантовые числа

В квантовой механике состояние электрона описывается набором квантовых чисел: главное квантовое число n = 1, 2, 3, ...; характеризует энергию электрона в атоме; орбитальное квантовое число 0, 1, 2, 3, ..., n - 1; характеризует энергию взаимодействия электронов; магнитное квантовое число = 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± ; характеризует проекцию момента импульса; спиновое квантовое число m_S = ± 1/2 ( спин S =1/2).

При заполнении электронами энергетических состояний (уровни энергии) для фермионов выполняется принцип Паули:

В данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

При равных значениях квантовых чиселn, , электроны должны иметь противоположно направленные спины. Заполнение электронами энергетических уровней происходит при одновременном выполнении трех условий: а) электроны должны иметь вполне определенные значения квантовых чисел n, , , m_s; (23)

б) соответствовать минимуму энергии;

в) подчиняться принципу запрета Паули.

Основы квантовой статистики

В отличие от классической квантовая статистика строится на принципе неразличимости тождественных частиц, например, электронов в атоме.

Квантовой статистикой называют метод исследования квантовой системы, состоящей из большого числа частиц.

Основная задача квантовой статистики - нахождении функции распределения частиц квантовой системы по координатам, импульсам, энергиям.

Статистика Бозе - Эйнштейна

Частицы со спином s = 0 или целым кратным : s = 0, , 2 , ...,

[ ]. Такие частицы называют бозонами: например, фотоны, квазичастицы - фононы, куперовские пары электронов в сверхпроводниках, ядра атомов и т. д. Собственный момент импульса L_sz =±2mħ /2, где m =0, 1, 2, …. Поведение бозонов описывается статистикой Бозе - Эйнштейна. Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули.

Функция Бозе - Эйнштейна - среднее число частиц в данном состоянии,

, (24)

где W_i - энергия i-й частицы; W_F- энергия Ферми, которую рассчитывают по формуле

m = . (25)

Статистика Ферми - Дирака

Рис. 1

Частицы с полуцелым спином в единицах называют фермионами. Собственный момент импульса фермионов L_sz = ± (2m +1) ħ / 2.

К фермионам относятся, например, электроны, протоны, нейтроны и др.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули. Состояние фермионов описывается статистикой Ферми - Дирака. Функция распределения Ферми - Дирака имеет вид:

. (26)

На рис. 1 приведены графики функций распределения Максвелла – Больцмана, Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака.

Эффективная масса электрона

Под действием внешней силы в периодическом поле кристаллической решетки электрон движется так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, если бы он имел массу

, (48)

где - постоянная Планка;

k = 2p ¤ l - волновое число.

Эффективная масса электрона по абсолютному значению может быть больше или меньше массы электрона m, положительной или отрицательной.

Для свободного электрона

m = m_эф.

Иначе обстоит дело с электронами в кристалле, где он имеет не только кинетическую, но и потенциальную энергии.

Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов, находящихся у дна этой зоны.

Часть работы внешней силы, действующей на электрон, переходит в кинетическую энергию, остальная часть работы - в потенциальную энергию,

т. е.

DА = DW_k + DW_p.

Но скорость и кинетическая энергия возрастают медленнее, чем у свободного электрона. Такой электрон становится как бы тяжелее.

Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию:

DА = DW_p,

то изменение кинетической энергии и скорости электрона не происходит, и он ведет себя, как частица с бесконечной, эффективной массой.

Если же при движении электрона в потенциальную энергию переходит не только вся работа внешней силы, но и кинетическая энергия

DW_p = DW_k + DА,

тогда скорость электрона будет уменьшаться, т. е. он ведет себя, как частица с отрицательной эффективной массой. Так ведут себя электроны, расположенные у потолка энергетической зоны. Если при движении электрона в кинетическую энергию переходит вся работа внешней силы и потенциальная энергию, т. е.

DW_k = DW_p + DА,

то его скорость растет быстрее, чем у свободного электрона, и он становится легче свободного электрона (m > m_эф).

Лекция 8

1. Классическая теория электропроводности метал лов

Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.

, (1)

Вывод закона Ома

Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.

Поэтому на основании второго закона Ньютона

F = ma = m ,

где F = q_eE; Е - напряженность электрического поля.

Средняя скорость упорядоченного движения

< v> = .

Если средняя продолжительность времени свободного пробега < t>, то после интегрирования

F = ma = m

получим, что < v_мах> =

или

< v> = . (2)

Если всех электронов одинаковы, но < v> < < , найдем среднее время пробега электрона

С учетом этого формулу (2) перепишем в виде:

. (3)

Следовательно, плотность тока

, (4)

где (5)

- удельная электропроводимость проводника.

j = g E.

Вывод закона Джоуля - Ленца

. (6)

Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия

. (7)

. (8)

, (9)

где

< v_мах> = 2< v>.

Используя формулу (2) и

окончательно получим

(10)

или

w = gE².

Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.

. (11)

Вывод закона Видемана - Франца.

Основатели классической теории проводимости металлов пытались теоретически получить закон Видемана - Франца:

k / g = Const. (12)

При постоянной температуре для всех металлов отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности является величиной постоянной.

Исследования Лоренца показали, что

k / g = L× T, (13)

где L - константа Лоренца.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что коэффициент теплопроводности k = , (14)

где с_v - удельная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме;

r = mn₀ - плотность одноатомного газа.

Если молярная масса газа М = mN_a, то

r с_v = , (15)

где R - универсальная газовая постоянная; k - постоянная Больцмана.

Следовательно,

k = . (16)

Подставив значение коэффициентов теплопроводности из (16) и электропроводности из (11) в (15), получим закон Видемана - Франца в виде k / g = k m ² / q²

Из молекулярно-кинетической теории следует, что @< v_кв> = .

Тогда окончательно получим

k / g = 3k²T / q², (17)

где константа Лоренца L = .

Несмотря на то, что классической теории удалось получить законы Ома и Джоуля-Ленца при выводе закона Видемана-Франца встретились серьезные трудности. Значение константы L значительно расходилось с экспериментальными данными.

Для металлов бериллия и марганца закон Видемана - Франца не выполняется.

Попытки Лоренца уточнить теорию, используя классическую статистику Максвелла-Больцмана, не дали результатов. Действительно, сильно упрощенная классическая теория проводимости металлов не могла учесть всех особенностей свойств электрона, которые были получены позднее.

Например, 1) согласно теории удельное сопротивление

~ ,

что противоречит экспериментальным данным;

2) средняя длина свободного пробега электронов значительно больше и состаляла сотни периодов кристаллической решетки, т. е. электроны значительно реже испытывают столкновения с ионами;

3) более значительные затруднения теории возникли при объяснении теплоемкости металлов.

Молярная теплоемкость металлов определяется молярной теплоемкостью кристаллической решетки С_реш и молярной теплоемкостью электронного газа С_эл, т. е. С = С_реш + С_эл. Ионы, образующие кристаллическую решетку проводника, совершают тепловые колебания около узлов кристаллической решетки. Любой ион имеет три колебательные степени свободы и характеризуется в среднем энергией колебательного движения W_ko_л = 3 kT.

Тогда внутренняя энергия одного моля ионов U_реш = N_a 3kT = 3RT.

Следовательно, теплоемкость решетки (закон Дюлонга и Пти)

. (18)

Теплоемкость электронного газа С_эл= 3R/2, (19)

Таким образом, полная теплоемкость металл

С_эл= 9R/2. (20)

Согласно экспериментальным данным молярная теплоемкость металлов почти не отличается от молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков при нормальных условиях и находится по формуле С = 3R, т. е. электронный газ практически не имеет теплоемкости.

Трудности классической теории удалось преодолеть после создания качественно новой квантовой теории проводимости металлов, предложенной Зоммерфельдом в 1928 г. В своей теории он использовал статистику Ферми-Дирака. Согласно выводам квантовой теории константа L в законе Видемана-Франца L = , (21)

что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В квантовой теории учтено влияние периодического электрического поля на движение электронов, созданного ионами кристаллической решетки, нарушения этой периодичности за счет тепловых колебаний ионов, наличия примесей и т. д.

12 Следующая ⇒