Двумерные и многомерные probit-модели.

Probit - модели могут быть могут быть использованы для определения вероятностей сложных событий, выражаемых в виде комбинаций некоторых наборов простых событий, каждое из которых имеет два альтернативных варианта, например, переезд (непереезд) на новое место жительства и аренда (покупка) жилья и т. п. В этом случае данные вероятности могут быть определены как вероятности выбора в рамках многомерных альтернативных вариантов.

Для каждого индивидуума t (t=1, 2,..., Т) модель, определяющая вероятности двух событий, может быть представлена в виде следующей системы:

 

y_1t^*= a ¢ ₁ x _1t + e _1t, если y_1t=1, то y₁^*> 0, если y₁=0, то y₁^*£ 0;

y_2t^*= a ¢ ₂ x _{2 t} + e _2t, если y_2t=1, то y₂^*> 0, если y₂=0, то y₂^*£ 0. (10.72)

 

Латентные переменные y_1t ^* и y_2t ^* модели (10.72) могут интерпретироваться в терминах выгоды, получаемой в зависимости от принятого решения соответственно в первом и во втором случаях; х _1t и х _2t – векторы значений независимых факторов, соответствующих сделанному выбору; e_1t и e_2t – ошибки соответственно первого и второго уравнений; r – коэффициент ковариации ошибок e₁ и e₂.

Закон совместного распределения ошибок модели e₁ и e₂ в общем случае характеризуется следующими параметрами:

M[e₁]=M[e₂]=0;

D[e₁]=D[e₂]=1*;

Cov[e₁, e₂]=r,

 

Согласно модели (10.72) возможны следующие комбинации решений:

 

Наблюдаемые комбинации образуют массив зависимых переменных модели (10.72).

В системе (10.72) допускается, что события являются зависимыми между собой, что означает существование ненулевой ковариационной связи между ошибками e₁ и e₂. Например, возможность приобретения жилья на новом месте может способствовать принятию решения о переезде или, наоборот, переезд обусловливает необходимость аренды жилья.

Для определения функции закона распределения введем следующие обозначения: q_1t=2y_1t–1 и q_2t=2y_2t–1*. Тогда q_jt=1, если у_jt=1, и q_jt=–1, если у_jt=0, для j=1, 2. Введем также в рассмотрение следующие переменные:

 

z_jt= a ¢ _j x _jt и w_jt= q_jt× z_jt, j=1, 2

и

r_t*=q_1t× q_2t× r.

 

Вероятность того, что зависимые переменные Y₁ и Y₂ системы (10.72) для конкретного индивидуума принимают соответственно значения y_1t и y_2t, при, например, нормальном виде закона их совместного распределения рассчитывается как

 

P(Y₁=y_1t, Y₂=y_2t)=F₂(w_1t, w_2t, r_t*), (10.74)

 

где F₂(.) – функция нормального закона совместного распределения случайных переменных Y₁ и Y₂, имеющая следующий вид:

F₂(w_1t, w_2t, r_t*)=ò ò

 

где u₁ и u₂ – переменные интегрирования и плотность этого распределения имеет следующий вид:

 

 

Для определения маржинальных эффектов в модели (10.72) введем в рассмотрение вектор х _t, являющийся объединением векторов х _1t и х _2t*, и вектор коэффициентов g ₁, такие что a ₁¢ х _1t= g ₁¢ х _t. Вектор g ₁ составлен из элементов вектора коэффициентов a ₁ и нулей, стоящих на позициях, которые соответствуют переменным второго уравнения. Аналогичным образом введем вектор коэффициентов g ₂: a ₂¢ х _2t= g ₂¢ х _t. Тогда вероятность того, что значения y₁ и y₂ одновременно будут равны единице определяется следующим выражением:

 

P(y₁=1, y₂=1)=F₂[ g ₁¢ × x _t, g ₂¢ × x _t, r_t*]. (10.77).

 

Маржинальные эффекты независимых факторов x _t для P(y₁=1, y₂=1) могут быть определены согласно следующему выражению:

 

g_1t× g ₁+g_2t× g ₂,

где

 

Для получения g_t2 индексы 1 и 2 в выражении (10.78) нужно поменять местами*.

Математические ожидания зависимых переменных y_j, j=1, 2 для конкретных наборов независимых переменных х _tв соответствии с выражением (10.50) определяются как

 

M[y_j| x _t]= F( g _j¢ × x _t), j=1, 2. (10.79)

 

Для модели (10.72) можно также определить условные математические ожидания переменных y_1t и y_2t.

Например, математическое ожидание зависимой переменной первого уравнения при условии, что y₂=1, определяется согласно формуле условной вероятности следующим образом:

 

M[y₁|y₂=1, x _t]=P[y₁=1|y₂=1, x _t]=

=P[y₁=1, y₂=1| x _t]/P[y₂=1| x _t]=

=F₂( g ₁¢ × x _t, g ₂¢ × x _t, r _t*)/F( g ₂¢ × x _t) (10.80)

 

Аналогично определяется математическое ожидание зависимой переменной второго уравнения при условии, что y₁=1.

Маржинальные эффекты факторов x _t для функции типа (10.80) рассчитываются как

 

¶M[y₁|y₂=1, x _t]/¶ x _t=

=[1/F( g ₂¢ × x _t)]× [ g_t1× g ₁+( g_t2–F₂× (j( g ₂¢ × x )/ F( g ₂¢ × x _t))× g ₂]. (10.81)

 

Аналогичным образом могут быть построены модели с тремя и более зависимыми переменными, с учетом того, что функционал F должен выражать их совместное распределение.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Массивы (Объявление массивов, Передача массивов в функции, Сортировка массивов, Многомерные массивы)
2. Многомерные временные голограммы