Отрицательная биномиальная модель.

Как уже отмечалось, в пуассоновской модели предполагается, что математическое ожидание и дисперсия числа событий у_t равны друг другу. Это свойство существенно ограничивает ее применение, поскольку реальные процессы им не обладают. Вследствие этого в эконометрических исследованиях обычно рассматриваются некоторые модификации пуассоновской модели, в которых свойство (10.122) не выполняется. Например, в условное математическое ожидание (выражение (10.119)) вводится ненаблюдаемое воздействие, которое предполагается случайным:

 

m_t× =l_t× u_t= ,

 

где m_t – условное (по воздействию u_t) математическое ожидание переменной y_t; u_t= .

Согласно выражению (10.127) распределение у_t, обусловленное факторами x _t и ошибкой u_t, остается пуассоновским. Его плотность, определяемая набором вероятностей Р(y_t=j| x _t, u_t), имеет следующий вид:

 

 

Из выражения (10.128) следует, что вероятность числа событий y_t=j при условии x _t, u_t является случайной величиной, зависящей от ошибки u_t, M[Р(y_t=j| x _t, u_t)]= =f(y_t| x _t). В этом случае функция плотности “обычного” пуассоновского закона имеет вид математического ожидания функции (10.128):

 

ò

 

где g(u_t) – функция плотности распределения ошибки u_t.

Вид функции g(u_t) определяет и характер распределения у_t| x _t. В теории с целью упрощения математических выкладок в качестве g(u_t) обычно рассматривают гамма-распределение, т. е.

 

 

С учетом (10.130) выражение математического ожидания функции плотности примет следующий вид:

 

ò

ò

Заметим, что выражение (10.131) является одной из форм представления плотности отрицательного биномиального распределения. Это распределение имеет условное математическое ожидание по x _t, равное l_t, и условную дисперсию –l_t× (1+(1/q)× l_t). Таким образом, действительно снимается главное ограничение пуассоновской модели – условие равенства математического ожидания и дисперсии числа событий.

Модель преодоления препятствий (hurdle-model).

Данные модели предназначены для описания процессов, нулевые уровни (значения) которых выражают принципиально другое содержание, по сравнению с положительными, которые, как и в рассмотренных ранее моделях, являются целочисленными. Напомним, что в примере с частотой посещения курортов нулевой ответ означал нежелание проводить время на курорте ни при каких условиях.

Модель преодоления препятствий, предложенная Мюллеэйем (Mullaey, 1986), предполагает, что вероятность нулевого значения процесса не зависит от факторов, влияющих на вероятности остальных значений. Вероятности же ненулевых значений подчинены пуассоновскому закону. С учетом этого модель преодоления препятствий может быть представлена, например, в виде следующей системы уравнений:

 

 

Из первого уравнения системы (10.132) следует, что в данном варианте этой модели для оценки вероятности Р(y_t=0), используется показательный закон распределения.

Параметры модели q, l_t определяются на основе исходных данных, представленных набором значений y_t (y_t=j, j=0, 1, 2,...) и факторов х _t. При этом учитывается условие нормировки вероятностей P[y_t=j], т. е.

Несложно заметить, что математическое ожидание зависимой переменной y_t модели (10.132) определяется следующим образом:

 

 

где / – сомножитель, применяемый для нормировки вероятностей.

Мюллеэй (Mullaey, 1986), Хейлброн (Heilbron, 1989), Ламберт (Lambert, 1992) рассмотрели модификацию модели преодоления препятствий (10.132), в котором нулевые результаты могут появляться в двух режимах. В первом режиме результирующий показатель – всегда 0. Во втором режиме работает обычный пуассоновский процесс, который может принимать как нулевые, так и ненулевые значения. Например, значение y_t может характеризовать количество бракованных изделий, выпускаемых за определенный промежуток времени. Если производственный процесс контролируется, то количество бракованных деталей равно 0. Если не контролируется, то предполагается, что количество бракованных изделий распределено по закону Пуассона и может принимать как нулевые, так и любые целочисленные значения. Таким образом, вероятности нулевого и ненулевого количества бракованных изделий могут быть определены согласно следующей схеме:

 

 

 

Пусть z – индикатор режима 1 (z=0) или 2 (z=1). С учетом этого расширенная модель преодоления препятствий по аналогии с выражением (10.132) может быть представлена в виде следующей системы:

 

P[z_t=0]=F( g ¢ w _t),

 

где F( g ¢ w _t) – функция, определяющая вероятность первого режима, в качестве которой часто используют функции законов нормального или логистического распределения (см. соответственно выражения (10.50) и (10.52)); w _t – независимые переменные, влияющие на вероятность второго режима; g – вектор параметров.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Отрицательная аффективность как базисная структура
2. Отрицательная форма повелительного наклонения. Местоимения при отрицательной форме повелительного наклонения. Относительные местоимения. Описание расположения.