Модели случайно усеченных выборок (selection-model)

Предположим, что переменные у и z имеют двумерное распределение с коэффициентом корреляции r. Найдем распределение у по случайной выборке (у, z) условии, что уровень переменной z превышает определенное значение (z> b). Интуиция подсказывает, что если у и z положительно коррелированы, то усечение z должно подвинуть распределение у вправо.

Нахождение распределения у связано с определением, во-первых, вида функции плотности случайно усеченного распределения переменных у и z, и, во-вторых, математического ожидания и дисперсии случайно усеченной переменной у при условии, что у и z подчинены закону двумерного нормального распределения.

Усеченная совместная плотность у и z согласно выражению (10.136) при любом распределении этих переменных определяется следующим выражением:

 

 

Если у и z распределены согласно двумерному нормальному закону с математическими ожиданиями m_y и m_z и стандартными отклонениями s _y и s _z, а коэффициент их парной корреляции равен r, то в соответствии с выражениями (10.142)–(10.143) условные математическое ожидание и дисперсия у при усечении z определяются следующим образом:

 

M[y|z> b]=m_y+r× s _y × l(b _z); (10.169)

D[y|z> b]=s_y²× [1–r²× d(b _z)], (10.170)

где

b _z =(b–m_y)/s _z; (10.171)

l(b _z)=f(b _z)/[1–F(b _z)]; (10.172)

d(b _z)=l(b _z)× [l(b _z)–b _z]. (10.173)

 

Заметим, что при усечении сверху, т. е. z< b, математическое ожидание и дисперсия переменной у также определяется согласно выражениям (10.169) и (10.170) при l(b _z)=–f(b _z)/ F(b _z).

Из выражения (10.169) следует, что при усечении “снизу” условное математическое ожидание у смещается в направлении корреляции переменных у и z, если усечение проводится “сверху”, то – в направлении противоположном корреляции. Случайное усечение уменьшает дисперсию, т. к. d(b _z) и r² принадлежат интервалу (0, 1).

Рассмотрим два примера, иллюстрирующих случайное усечение.

Предположим, что любая женщина выходит на работу только в том случае, если ее потенциальный доход будет превышать некоторый критический уровень (для каждой женщины свой). Допустим, переменная z_t представляет собой разность между потенциальным и критическим доходом, и зависимость между переменной z_t и влияющими на нее факторами x _t¹ можно представить следующим образом:

 

z_t= a ¢ × x _t ⁽¹⁾+e_t⁽¹⁾, (10.174)

 

где x _t⁽¹⁾ – вектор независимых факторов, влияющих на разность доходов (например, возраст, образование, количество детей и т. д.); a – вектор параметров модели; e_t⁽¹⁾ – ошибка модели.

Для всех женщин, у которых z_t> 0, требуется определить желательное количество рабочих часов y_t. Предположим, что зависимость между переменной y_t и влияющими на нее факторами х_t⁽²⁾ также можно описать линейной эконометрической моделью:

 

y_t= b ¢ × x _t⁽²⁾+e_t⁽²⁾, (10.175)

 

где x _t⁽²⁾ – вектор независимых факторов, влияющих на желательное количество рабочих часов (например, семейный статус, количество детей и т. д.); b – вектор параметров модели; e_t⁽²⁾ – ошибка модели.

Заметим, что вектора x _t⁽¹⁾ и x _t⁽²⁾ могут как совпадать, так и отличаться друг от друга.

При формировании модели (10.175) возникает проблема усечения, поскольку данные о часах работы имеются только для работающих женщин, т. е. число часов – случайно усеченная переменная.

В разделе 10.3.1 рассматривалась модель миграции, в которой переменные, влияющие на принятие решения о смене места жительства, были представлены эконометрическими моделями в зависимости от набора соответствующих факторов. В целом модель содержала три уравнения:

 

чистая прибыль от переезда – N_t^*= g ¢ × w _t +u_t; (10.176)

доходы при переезде – y_t^p = a ¢ × x _t^p +e_t^p; (10.177)

доходы при “непереезде” – y_t^m = b ¢ × x _t^m +e_t^m. (10.178)

 

где w _t, x _t^p и x _t^m – вектора независимых переменных, влияющих соответственно на чистую прибыль от переезда, и доходы в случае переезда и “непереезда”; g, a и b – вектора параметров; u_t, e_t^p и e_t^m – ошибки модели.

Предположим, что совокупность мигрантов формируется из числа лиц, желающих переехать, для которых чистая прибыль от переезда положительна. Чистая прибыль от переезда z_t^*, определяется согласно выражению (10.176) как

 

z_t^*= g ¢ × w _t +u_t.(10.179)

 

Для совокупности мигрантов формируется уравнение, связывающее величину их дохода на новом месте у_t с некоторым набором факторов x _t, характеризующих, например, опыт работы, пол, образование и т. д:

 

у_t= a ¢ × x _t +e_t. (10.180)

 

где a – вектор параметров; e_t – вектор ошибки.

Переменная у_t является случайно усеченной, так как информация о доходе мигранта может быть получена, когда переезд индивидуума на новое место жительства уже осуществился, и индивидуум приступил к работе.

Поскольку доход на новом месте и чистая прибыль от переезда взаимосвязаны, ошибки e_t и u_t моделей (10.179) и (10.180) взаимозависимы. Предположим, что они распределены согласно двумерному нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и коэффициентом корреляции r. В этом случае в соответствии с выражениями (10.169)–(10.170) получим:

 

M[y_t | y_t наблюдаемый доход]=M[y_t |z_t^*> 0]=M[y_t | u_t> – g ¢ × w _t]=

= a ¢ × x _t+M[e_t | u_t> – g ¢ × w _t]= a ¢ × x _t +r× s_e× l_t (b _u)= a ¢ × x _t +a_l× l_t (b_u), (10.181)

 

где b_u =– g ¢ × w _t /s_u и l _t(b_u)=f( g ¢ × w _t /s_u)/F( g ¢ × w _t /s_u).

Выражение (10.181) показывает, что условное математическое ожидание выборочной совокупности доходов мигрантов при условии z_t> 0 находится в непосредственной и опосредованной зависимости от факторов x _t. Непосредственная зависимость выражается слагаемым a ¢ × x _t, а опосредованная, характеризующая влияние факторов x _t на вероятность того, что переменная z_t^*положительна, определяется слагаемым r× s_e× l_t(b_u).

На практике значение переменной z_t^* не наблюдается, она является латентной. Наблюдаемая переменная z принимает значение 1 (событие произошло) или 0 – в противном случае. В наших примерах: женщина работает или нет, индивидуум мигрирует или нет. С учетом этого представим модель (10.179)–(10.180) в виде совокупности двух следующих моделей:

1. Модели селекции, определяющие выборку мигрантов

 

z_t^*= g ¢ × w _t+u_t; (10.182)

z_t=1, если z_t^*> 0; (10.183)

z_t=0, если z_t^*< 0; (10.184)

P(z_t =1)=F( g ¢ × w _t ); (10.185)

P(z_t =0)=1–F( g ¢ × w _t ). (10.186)

 

2. Модели дохода мигранта

 

y_t = a ¢ × x _t +e_t. (10.187)

 

y_t представляет собой значение дохода индивидуума, фактически сменившего место жительства случайную выборку мигрантов, лиц фактически сменивших место жительства, для которого z_t =1.

В соответствии с введенным предположнием о зависимости между ошибками e_t и u_t моделей (10.179) и (10.180) закон их совместного распределения характеризуется характеризуется следующими свойствами:

 

(u_t, e_t)~N(0, 0, 1, s_e, r). (10.188)

 

Согласно выражению (10.169) условное математическое ожидание y_t при z_t=1определяется согласно выражению:

 

M[y_t |z_t=1]= a ¢ × x _t+r× s_e× l( g ¢ × w _t ). (10.189)

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V6: Нелинейные модели регрессии
2. Алмазно-расточный станок модели 2А78
3. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
4. Анализ полученных результатов моделирования.
5. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
6. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь
7. В.1. Ознакомление с системой моделирования MATLAB
8. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
9. Взаимосвязь модели AD—AS и кейнсианской модели совокупных доходов и совокупных расходов.
10. Вид 4. «Салонное моделирование ногтей
11. Вид 7. «Арочное моделирование ногтей
12. Виды моделей и моделирования