Законы операций над множествами

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Основные понятия

Под множеством обычно понимают совокупность объектов, обладающих определенным набором свойств. Объекты, составляющие множество называются его элементами.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы множеств - прописными буквами латинского алфавита.

Если говорят: «элемент а принадлежит множеству В», то записывают ; если говорят, что «элемент а не принадлежит множеству А», то пишут .

Выделяют два способа задания множеств:

1. Перечислением всех его элементов: А= {a, b, c}

2. Указанием характеристического свойства его элементов: А= {x | x> 2}.

Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Z₀ – множество целых неотрицательных чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Определение. Множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Пишут: А=В.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А если все элементы множества В принадлежат множеству А. Пишут: .

Определение. Если и , то .

Различают два вида подмножеств множества А:

1. Несобственные подмножества. К ним относятся само множество А и пустое множество (обозначается Æ ).

2. Собственные подмножества. К ним относятся все остальные подмножества множества А.

Обычно в ходе какого-либо рассуждения можно выделить такое множество, что все рассматриваемые множества (предметы) являются его элементами, то такое широкое множество называют универсальным.

Для графической иллюстрации решения задач на множествах часто используются диаграммы Эйлера – Венна (или как их еще называют «круги Эйлера»). Элементы универсального множества I изображаются внутри прямоугольника. Элементы подмножества изображаются внутри в виде окружности или эллипса.

Например,

, I – универсальное множество.

Операции над множествами

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А так и множеству В.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Определение. Разностью двух множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Определение. Если множество В – подмножество А, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А. Пишут: .

– дополнение множества до универсального.

Законы операций над множествами

Для любых подмножеств А, B и C универсального множества I справедливы следующие тождества:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. ;

7. , .

Примеры:

1. Доказать тождество .

Доказательство:

Докажем аналитически. Преобразуем левую часть равенства, используя законы операций над множествами:

После преобразований получили правую часть. Следовательно, тождество верно.

Докажем графически. Изобразим левую и правую часть на кругах Эйлера.

Так как залитые темно-серым цветом области на первой и второй схеме совпадают, следовательно, делаем вывод, что тождество верно.

2. Доказать тождество .

Докажем данное тождество графически. Рассмотрим левую часть равенства:

Серым цветом на схеме показано действие, выполняемое в скобках , а штриховкой – результат выполнения действий в левой части равенства, т.е. . Обведем жирной линией результат действий над множествами.

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

Серым цветом на схеме показано выполнение действия в первой скобке , штриховкой с наклоном влево – результат действия во второй скобке , штриховкой с наклоном вправо – результат пересечения первой и второй скобки. Обведем жирной линией область, где пересекаются штриховые линии, это и будет результат выполнения действий в правой части.

Так как области, обведенные жирной линией в левой и правой части совпадают, следовательно, делаем вывод, что данное тождество верно.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Понятие выборки

Если из множества, содержащего n элементов, каким-то способом отобраны k элементов (k< n), то говорят, что из этого множества произведена выборка объема k.

Если порядок расположения элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют упорядоченными. Таким образом, две упорядоченные выборки считают различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением.

В том случае, когда порядок расположения элементов не учитывают, выборки называют неупорядоченными. Следовательно, две неупорядоченные выборки считают различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент, которого нет в другой.

Например, для множества, состоящего из трех элементов a, b, c, существуют три различные неупорядоченные выборки объема (ab, bc, ac) и шесть различных упорядоченных выборок того же объема (ab, bc, ac, ba, cb, ca).

Правила комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Многие задачи комбинаторики могут быть решены при помощи следующих правил:

Правило произведения: Пусть из некоторого конечного множества первый объект можно выбрать m₁ способами, второй объект – m₂ способами, …, п-й – т_п способами, тогда произвольный набор перечисленных п объектов можно выбрать т₁ · т₂ · …· т_п способами.

Правило суммы: Пусть из некоторого конечного множества первый объект можно выбрать m₁ способами, второй объект – m₂ способами, …, п-й – т_п способами, тогда любой из объектов можно выбрать т₁ + т₂ + …+т_п способами.

Примеры:

1. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, если в ней содержится 7 синих карандашей, 5 красных, 3 зеленых и 1 желтый?

Решение.

Синий карандаш можем выбрать 7 способами, красный – 5 способами, зеленый – 3 способами, желтый – 1 способом. Так как выбираем один объект, то воспользовавшись правилом суммы, получим:

N = 7 + 5 + 3 + 1 = 16.

Ответ. 16 способов.

2. Сколько существует пятизначных чисел, все цифры у которых различны?

Решение.

Х ХХ Х Х – пятизначное число.

Первая цифра записи числа может быть записана 9 способами, так как для записи чисел используется 10 цифр 0, 1, 2, …, 9 и ноль не может быть первой цифрой записи пятизначного числа. Вторая цифра может быть записана 9 способами, так как используются 8 оставшихся цифр и ноль, третья цифра – соответственно 8 способами, четвертая – 7 способами, пятая – 6 способами.

Так как пятизначное число – это набор из 5 цифр, то для подсчета воспользуемся правилом произведения, получим:

N = 9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27216.

Ответ: 27216 существует пятизначных чисел, все цифры у которых различны.

Случайные события

В теории вероятностей рассматривается следующая модель некоторых явлений реальной жизни: проводится испытание (опыт, эксперимент), результат (исход) которого нельзя предсказать заранее.

Например, при бросании монеты (испытание) нельзя предсказать заранее, что выпадет цифра или герб; также нельзя сказать заранее, попадёт ли стрелок в цель при выстреле (испытание).

Результат испытания называется событием.

Определение. Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении опыта либо происходит, либо не происходит.

Обозначаются события часто заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С.

Например, если испытание есть подбрасывание монеты, то событие А=«выпадение цифры» и событие В=«выпадение герба» - случайные события.

Или, если испытание состоит в том, что производится выстрел по цели, то событие А = «попадание в цель» и событие В = «промах» - случайные события.

Определение. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при этом испытании. Обозначается: U.

Например, если в книге наугад выбирается слово, то событие U= «число букв в слове меньше ста» - достоверное событие. Или, если из урны, содержащей только белые шары, вынимается один шар, то событие «появление белого шара» есть достоверное событие.

Определение. В том случае, когда событие заведомо не может произойти в результате опыта, его называют невозможным. Обозначается: Æ.

Например, событие «выпадение 7 очков» при бросании игральной кости один раз есть невозможное событие.

Определение. События А и В называются равносильными (равными), если А происходит тогда и только тогда, когда происходит В. Пишут: А=В.

Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие «выпала шестерка» и событие «выпала грань с наибольшим возможным номером» равносильны.

2. Операции над событиями. Полная группа событий

Определение. Суммой событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Обозначается: А+В.

Определение Суммой нескольких событий (более двух) называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Определение. Произведением событий А и В называется событие, осуществляющееся только в том случае, когда данные события происходят одновременно. Обозначается: А ∙ В.

Примеры:

1. Два стрелка делают по одному выстрелу по цели. Событие А = «попадание одного стрелка в цель», событие В = «попадание другого стрелка в цель», то

а) событие А+В = «попадание или одного, или другого стрелка в цель», т.е. событие А+В = «хотя бы одно попадание в цель».

б) А ∙ В = «оба стрелка попадут в цель».

2. Подбрасывается монета один раз. Событие А = «появление цифры»,

событие В = «появление герба», то событие А ∙ В есть невозможное событие, т.е. А ∙ В =Æ.

Определение. Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, т.е. А ∙ В =Æ.

Определение. Два события А и В называются совместными, если появление одного события не исключает появление другого события.

Пример: Событие А = «попадание одного стрелка в цель» и событие В= «попадание другого стрелка в цель» есть совместные события.

Определение. События А₁, А₂, ..., А_n при называются попарно несовместными, если А_i∙ А_j=Æ при i≠ j (т.е., если каждые два из них несовместны).

Примеры:

1. Пусть игральную кость бросают один раз. Рассмотрим некоторые события, связанные с этим испытанием.

Событие А₁= «появление одного очка»,

А₂= «появление двух очков»,...,

А₆= «появление шести очков».

При этом испытании события А₁, А₂, ..., А₆ попарно несовместны, так как А_i∙ А_j=Æ при i≠ j.

2. Производится 3 выстрела по цели. Пусть событие А_k= «попадание при k-ом выстреле», где k=1, 2, 3. Какие события представляют: а) A₁A₂A₃; б) А₁+А₂+А₃?

Ответ: а) А₁А₃А₃= «три попадания в цель»;

б) А₁+А₂+А₃= «хотя бы одно попадание в цель при 3 выстрелах».

Определение. Говорят, что события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, если при реализации испытания одно (и только одно) из этих событий обязательно произойдет, т.е. если А₁+А₂+…+А_n=U и А_i∙ А_j=Æ при i≠ j.

Пример:

События А_k = «выпадение k очков» (k =1, 2, 3, 4, 5, 6) при одном бросании игральной кости есть исходы, образующие полную группу попарно несовместных событий.

Определение. Событие называется противоположным событию , если оно заключается в непоявлении события . Читают: «не ».

События и образуют полную группу событий.

Формула Бернулли

Пусть эксперимент состоит в проведении некоторого опыта, о котором можно предположить, что или добились успеха или нет. Т.е. эксперимент с двумя исходами: А и , которые называются «успехом» и «неуспехом» соответственно.

Пусть , .

Проведем п идентичных испытаний (независимых друг от друга). Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли.

Ставится вопрос: Какова вероятность того, что раз добьемся успеха? Обозначим искомую вероятность .

Пример:

Найдем вероятность «успеха» в 3-х испытаниях.

Проведем n независимых испытаний.

где .

Определение . Схемой Бернулли называется последовательность независимых (идентичных) испытаний с двумя исходами, имеющими неизменные вероятности (в каждом из испытаний).

Вероятность в схеме Бернулли вычисляется по формуле

. (3)

Формула (3) называется формулой Бернулли.

Отметим, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятностей.

Пример:

В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0, 7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.

Решение:

А = «лампочка неисправна»

n = 6, m = 2, р =1 – 0, 7 = 0, 3; q = 0, 7; p + q = 1,

Ответ. 0, 3241.

Если требуется найти вероятность того, что число появления события А окажется в пределах от т₁ до т₂ (интервальная вероятность), обозначается или , то тогда в силу несовместимости событий

«Не менее m раз» .

«Хотя бы 1 раз» .

Т.к. все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, …, n раз, то

Теорема Пуассона

Пусть в схеме Бернулли и так, что . Тогда

Пример:

Завод выпускает телевизоры, процент брака в которых 0, 2%. В магазин поступила партия телевизоров из 500 штук. Найти вероятность того, что 3 из них окажутся бракованными.

Решение:

А= «телевизор бракованный»

, ,

, , .

Ответ: 0, 06.

Формулой Пуассона удобно пользоваться, когда количество успехов m мало и вероятность успеха p мала.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Номер варианта контрольной работы определяется по номеру студента в списке группы.

Задача 1. Решить задачу, используя основные комбинаторные формулы.

1. Сколько различных (не обязательно осмысленных) слов можно получить, переставляя буквы слов: а) крот; б) наполеононенавистничество?

2. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует способов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

3. Сколькими способами можно разделить колоду в 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по 2 туза?

4. Сколькими способами можно составить набор из 8 различных папок и 10 различных блокнотов, чтобы в нем было 5 папок и 3 блокнота?

5. В лифт вошли 9 человек. Сколькими способами они могут выйти на трех этажах?

6. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

7. Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры чисел: а) 9854; б) 3213?

8. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь к театральной кассе?

9. Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?

10. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Задача 2. Решить задачу, используя определение вероятности.

1. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 чисел; б) 4 числа.

2. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

3. В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд. Случайным образом они делятся на две группы по 10 команд. Какова вероятность того, что: а) 2 наиболее сильные команды при этом окажутся в одной группе; б) 2 наиболее сильные команды при этом окажутся в разных группах?

4. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) все девушки; б) 1 девушка и 4 юноши.

5. В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что: а) 2 из них белые и 3 – черные; б) 1 – белый и 4 – черных?

6. На прилавке лежат 10 кочанов капусты, 4 среди них нестандартные. Найти вероятность того, что среди трех отобранных продавцом кочанов будет: а) 2 нестандартных; б) хотя бы 1 нестандартный.

7. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что: а) студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса; б) студент знает 2 вопроса и не знает 1 из предложенных ему экзаменатором 3 вопросов.

8. В урне 5 белых, 1 черный и 3 красных шара. Наудачу выбирается 3 шара. Найти вероятность того, что: а) не появится ни одного белого шара; б) из выбранных 2 шара белые.

9. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что: а) 2 из них нуждаются в общей регулировке; б) хотя бы 1 нуждается в общей регулировке?

10. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) 2 дамы; б) 1 валет, 1 король и 1 туз.

Задача 3. Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из 3 узлов, каждый из которых независимо друг от друга может выйти из строя за это время. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0, 9, второго – 0, 95, третьего – 0, 8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя.

2. Испытываются 4 двигателя. Вероятность отказа двигателя равна 0, 08. Найти вероятность того, что откажет хотя бы 1 двигатель.

3. Вероятность сдачи студентом первого экзамена равна 0, 8, второго - 0, 9. Найти вероятность того, что студент: а) сдаст оба экзамена; б) сдаст хотя бы один экзамен.

4. Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0, 05 и 0, 08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы 1 элемент.

5. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0, 95; второй - 0, 9. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработает только 1 сигнализатор; б) сработает хотя бы 1 сигнализатор.

6. Три охотника одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого – 0, 9, второго – 0, 8, третьего – 0, 6. Найти вероятность того, что: а) в мишень попадет хотя бы один; б) не попадет ни один.

7. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из 3-х дисциплин равны соответственно 0, 6, 0, 5 и 0, 8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по одной дисциплине.

8. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0, 7, а для второго – 0, 8. Оба они, начиная с первого, поочередно стреляют, но делают не более, чем по два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно две пробоины.

9. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0, 95, во второе отделение – 0, 9 и в третье – 0, 8. Найти вероятность того, что: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

10. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0, 3, второй – 0, 6, третий – 0, 4, четвертый – 0, 25. Найти вероятность того, что: а) в течение смены 3 станка потребуют внимания мастера; б) хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

Задача 4. Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулу Байеса.

1. Для сигнализации о нарушении режима работы автоматической линии используют индикаторы, принадлежащие с вероятностями 0, 2, 0, 3, 0, 5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении режимов равны 0, 1, 0, 75, 0, 4. От индикаторов поступил сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит срабатывающий индикатор?

2. В телевизионном ателье имеется 3 кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок службы, соответственно равны 0, 85, 0, 9, 0, 95. Найти вероятность того, что взятый наугад телескоп выдержит гарантийный срок службы.

3. В команде 5 спортсменов, стреляющих отлично, 4 - хорошо и 2 - удовлетворительно. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для отличного стрелка равна 0, 95, для хорошего - 0, 85 и для удовлетворительного - 0, 7. Наудачу выбирается 1 спортсмен, который производит 1 выстрел. Найти вероятность попадания в мишень.

4. В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю 1-й фирмы приходится 50% от общего числа поставок, на долю 2-й фирмы – 20%, а на долю 3-й фирмы – 30%. Из практики известно, что бракованными оказываются 4% поставляемых первой фирмой, 3% поставляемых 2-й фирмой и 5% поставляемых 3-й фирмой. Найти вероятность того, что купленный в данном магазине телевизор окажется бракованным.

5. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0, 2, а у второго – 0, 6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

6. На столе лежат 20 экзаменационных билетов. Студент может ответить на " отлично" с вероятностью 0, 9 на 10 билетов, с вероятностью 0, 8 - 8 билетов и с вероятностью 0, 5 - на 2 билета. Найти вероятность того, что студент ответит на " отлично", если билет взят наудачу

7. На склад поступили изделия одного типа, изготовленные на 3-х заводах, причем с 1-го завода — 50%, со 2-го завода — 30% и с 3-го завода — 20%. Известно по статистике, что 1-ый завод в среднем поставляет 0, 025 нестандартных изделий, 2-ой завод — 0, 02 и 3-ий завод — 0, 015. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие со склада соответствует стандарту.

8. В канцелярии работают 4 секретарши, которые отправляют соответственно 40%, 10%, 30% и 20% исходящих бумаг. Вероятности неверной адресации бумаг секретаршами равны соответственно 0, 01, 0, 04, 0, 06 и 0, 01. Найти вероятность того, что документ, неверно адресованный, отправлен третьей секретаршей.

9. На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1, 5% брака, второй – 1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 1500.

10. В сентябре вероятность дождливого дня равна 0, 3. Команда «Статистик» выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0, 8, а в дождливый день эта вероятность равна 0, 3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру. Какова вероятность, что в тот день шел дождь?

Задача 5. Решить задачу в условиях схемы Бернулли.

1. Вероятность попадания в мишень при 1 выстреле равна 0, 9. найти вероятность того, что при 10 выстрелах, попаданий будет: 1) ровно 4; 2) не менее 8.

2. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0, 001. Определить вероятность того, что в партии из 4000 деталей будет: а) ровно 3 бракованных; б) не более 3–х.

3. В жилом доме имеется 6400 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0, 5. Найти вероятность того, что: а) число одновременно включенных ламп будет между 3120 и 3200; б) число одновременно включенных ламп будет ровно 3125.

4. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна 0, 004. Найти вероятность, что: а) за смену откажут 6 элементов; б) откажут не более 6 элементов.

5. 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. а) Чему равна вероятность того, что 4 из них высшего сорта; б) найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта.

6. При автоматической прессовке болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок: а) число болванок без зазубрин заключено между 280 и 320; б) число болванок без зазубрин ровно 300.

7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0, 8. а) Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий; б) найти вероятность того, что из 100 деталей 75 высшего сорта.

8. Игральную кость бросают 720 раз. Каково вероятность того, что при этом три очка выпало: а) 135 раз; б) не менее 140 раз?

9. Известно, что 80% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек, высшее образование имеет: а) 70 человек, б) от 65 до 90 человек.

10. Вероятность рождения девочки равна 0, 49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется: а) 50 девочек; б) не более 45 девочек.

Задача 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и

среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, заданной таблицей:


	0, 2	0, 3	0, 5

		-1
	0, 3	0, 4	0, 3

	-2
	0, 1	0, 4	0, 5

	-3	-1
	0, 2	0, 5	0, 3


	0, 5	0, 3	0, 2

	-1
	0, 3	0, 4	0, 3

	-3	-2
	0, 1	0, 2	0, 7


	0, 7	0, 2	0, 1

	-1
	0, 3	0, 2	0, 5

10.

	-2	-1
	0, 4	0, 4	0, 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.

2. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник. – М.: Гардарики, 2002. – 531 с.

3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2005, - 560 с. – (Высшее образование).

4. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А.В. Курс высшей математики для гуманитарных специальностей/ Под ред. Ю.Д. Максимова: Учеб. пособие. – СПб: Специальная литература, 1999. – 191 с.

5. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд., испр. и доп. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 256 с.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа», 2004.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: «Высшая школа», 2004. – 404 с.

8. Столл Р. Логика. Множества. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.

9. Могилев А.В. и др. Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов /А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер; Под ред. Е.К. Хеннера. – 2-е изд., стер. – М.: Изд. центр «Академия», 2001. – 816 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица 1. Значения функции

12 3 4 Следующая ⇒