Понятие модели. Свойство изоморфизма и гомоморфизма модели.

Понятие модели. Свойство изоморфизма и гомоморфизма модели.

Под “ моделью ” понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая в процессе познания, анализа замещает реальный объект (систему), сохраняя некоторые наиболее важные для исследования его черты, причем ее изучение дает нам новую информацию об объекте. Таким образом, модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности.

Гомоморфизм - когда несколько свойств объекта отображаются в одно. Изоморфизм - взаимно однозначное соответствие(одно в одно )).

Понятие системы массового обслуживания (СМО). Примеры СМО в экономике.

Каждая СМО состоит из одного или нескольких обслуживающих устройств, которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть рабочие точки, кассиры, продавцы, телефонные линии связи и т.д.

Такая система обслуживает поток заявок, поступающих в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также продолжается в течение случайного промежутка времени.

Случайный характер потока требований и времени их обслуживания приводит к неравномерной загрузке СМО: перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке с простаиванием каналов.

Т.о основными элементами СМО являются: -входящий поток заявок; -очередь

-поток необслуженных заявок; -каналы обслуживания; -выходящий поток обслуженных заявок.

По числу каналов обслуживания СМО: одноканальные, многоканальные

По характеру случайного процесса: марковские(потоки переходящие из одного состояния в другое, являются простейшими) и немарковские

В зависимости от возможности образования очереди: с отказами обслуживания, с очередью

Потоки случайных событий. Понятие простейшего потока случайных событий.

Под потоком случайных событий понимают последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени ( поток покупателей).

Простейший поток - поток событий характеризующийся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствий.

Стационарность: поток событий называется стационарным, если вероятностные характеристики не зависят от времени

Ординарность: поток называется одинарным, если вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Поток событий называется потоком без последствий если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени не зависит от числа событий, попавших на другой.

Графическая модель СМО в виде цепочки гибели-размножения. Разметка графа состояний СМО. Пример.

Графическая модель СМО в виде цепочки гибели- размножения показана на рисунке:

При анализе СМО удобно пользоваться геометрической схемой, так называемым графом состояний.

Размеченным графом состояний системы( в которой протекает случайный процесс) называется схема, где состояния системы обозначаются квадратами, внутри которых помещаются обозначения состояния, а стрелками указаны возможные непосредственные переходы из одного состояния в другое, при этом у каждой стрелки указывается плотность вероятности перехода.

Пример: СМО с 1 каналом и местом в очереди, на вход которой поступает постоянный поток событий с интенсивностью £ (лямда), поток обслуживания также простейший с интенсивностью µ.

Пронумеруем СМО по числу заявок находящихся в очереди: S₀-канал свободен S₁- канал занят очереди нет S₂- канал занят и в очереди 1 заявка.

Т.о СМО может находится в 1 из трёх состояний

S₂

S₁

S₀

µ µ

Переход из состояния S₀в S₁и с S₁в S₂происходит под воздействием входящих потоков заявок, а с S₂в S₁и с S₁в S₀под воздействием потока обслуживания.Плотности перочтности перехода из S₀в S₁и с S₁в S₂и из S₂в S₁и с S₁в S₀соответственно равны £ и µ.

5. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний марковской стохастической системы. Правила записи уравнений, пример.

Уравнение Колмогорова представляет собой систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Такие уравнения позволяют найти все вероятности состояний как функции времени.

Правило составления уравнения: в каждом уравнении системы в левой части стоит финальная вероятность данного состояния Р₁ умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой части сумма произведений интесивности всех потоков входящих в i-тое состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят.

Уравнение Колмогорова имеет следующий вид., для СМО с простейшими потоками событий.:

Основные формулы для вычисления финальных вероятностей состояний СМО. Пример использования формул.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.

где - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0, 2; 0, 3 и 0, 5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.

Вопрос 8

p_{S - 1} λ _{S - 1, S}+ p_S+1 λ _{S + 1, S}- p_S(λ _{S - 1, S} + λ _{S + 1, S}) = 0, s = 0, R

Пример:

s = 0 – p₁λ ₁₀ – p₀λ ₀₁ = 0

s = 1 - p₀λ ₀₁+ p₂λ ₂₁- p₁(λ ₁₀ + λ ₁₂) = 0

s = 3 - p₁λ ₁₂+ p₃λ ₃₂- p₂(λ ₂₁ + λ ₂₃) = 0

Вопрос 9

Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, …, Sk, …, Sn, …, — нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 — в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 — занят один канал, остальные свободны; S2 — заняты два канала, остальные свободны;..., Sk — занято k каналов, остальные свободны;..., Sn — заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 — заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., Sn+r — заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

Вопрос 10

λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

– интенсивность обслуживания, t_об – среднее время обслуживания одного клиента

Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ

число каналов обслуживания n

p = λ /µ

Вероятности свободного состояния СМО:

Многоканальная с отказами

P₀ =

Или как давал препод: i=1, R

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

P₀ =

Многоканальная СМО с ожиданием

P₀ =

Вопрос 11

Рекуррентная формула (удобна при анализе СМО с небольшим числом состояний )

, i=1, R

Вопрос 12

Средняя длина очереди для одноканальной (многоканальной) системы с ограничением на число заявок ожидающих обслуживания (m – количество в очереди)

Вопрос 13

Средняя длина очереди для одноканальной (многоканальной) системы без ограничения на число заявок ожидающих обслуживания

Понятие матричной игры как модели ситуации риска в управлении хозяйственной деятельностью. Пример.

Это игры, в которых участвуют два игрока с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II — n стратегий, то игра может быть задана (m × n)-maтрицей А = ||a_ij||, где a_ij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i = -1, ..., m), а игрок II — стратегию j (j = 1, ..., n). Игрок I стремится выбрать такую стратегию i₀, на которой достигается

игрок II стремится выбрать стратегию j_o, на которой достигается

Если υ ₁ = υ ₂, то пара(i₀, j₀) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство

i = 1, …, m; j = 1, …, n.

Пример:

Из анализа матрицы выигрышей видно, что игрок 2, выбрав свою минимаксную j=2 проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i=1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j=1, т.е. отклониться от своей минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ую стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-ой стратегии и т.д.

Понятие доминируемой стратегии на основе парного сравнения чистых стратегий. Примеры.

Важным приёмом, позволяющим уменьшить размеры платёжной матрицы,

является так называемое правило доминирования. Оно основано на отбрасывании тех

чистых стратегий, которые не вносят никакого вклада в искомые оптимальные стратегии.

Один из приёмов снижения размеров матрицы заключается в сравнении её строк и

столбцов.

Стратегия Аi называется доминируемой стратегией Аj, а стратегия Аj –

доминирующей, если при любом варианте поведения противодействующего игрока

выполняются неравенства

a_i₁ < = a_j_1, a_i₂< = a_j_2, a_i₃ < = a_j_3,…a_im< = a_jm .

Считают, что игрок поступает разумно, если будет избегать доминируемых

стратегий.

В случае, если выполняется соотношение

a_i1 = a_j1, a_i2= a_j2, a_i3 = a_j3,…a_im= a_jm,

то говорят, что стратегии Аi и Аj дублируют друг друга.

Если в матрице игры одна из строк (столбцов) доминирует другую строку (другой

столбец) или две строки (два столбца) дублируют друг друга, то можно уменьшить

размеры матрицы путём исключения доминируемых строк (столбцов) и одной (одного) из

дублирующих.

Упрощение игры в процессе формирования платежной матрицы. Полное определение доминируемой стратегии. Пример.

Решение матричных игр тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности отыскание оптимального решения можно упростить, если уменьшить их размерность путем исключения дублирующих и заведомо невыгодных (доминируемых) стратегий.

Определение 1. Если в платежной матрице игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующее этим строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими.

Определение 2. Если в платежной матрице игры все элементы некоторой строки, определяющей стратегию Аi игрока А, не больше (меньше или некоторые равны) соответствующих элементов другой строки, то стратегия Аi называется доминируемой (заведомо невыгодной).

Определение 3. Если в платежной матрице игры все элементы некоторого столбца, определяющего стратегию Вi игрока В не меньше (больше или некоторые равны) соответствующих элементов другого столбца, то стратегия Вi называется доминируемой (заведомо невыгодной).

Правило. Решение матричной игры не изменится, если из платежной матрицы исключить строки и столбцы, соответствующие дублирующим и доминируемым стратегиям.

Упростить матричную игру, платежная матрица которой имеет вид:

Из платежной матрицы видно, что стратегия А2 дублирует стратегию А5, потому любую из них можно отбросить (отбросим стратегию А5). Сравнивая почленно стратегии А1 и А4, видим, что каждый элемент строки А4 не больше соответствующего элемента строки А1. Поэтому применение игроком А доминирующей над А4 стратегии А1 всегда обеспечивает выигрыш, не меньший того, который был бы получен при применении стратегии А4. Следовательно, стратегию А4 можно отбросить. Таким образом, имеем упрощенную матричную игру с платежной матрицей вида:

Из этой матрицы видно, что в ней некоторые стратегии игрока В доминируют над другими: В3 над В2, В4 и В5. Отбрасывая доминируемые стратегии В2, В4 и В5, получаем игру 3x2, имеющей платежную матрицу вида:

В этой матрице стратегия А3 доминируется как стратегией А1, так и стратегией А2. Отбрасывая стратегию А3, окончательно получаем игру 2x2 с платежной матрицей

Эту игру уже упростить нельзя, ее надо решать рассмотренным выше алгебраическим или геометрическим методом.

Необходимо отметить, что отбрасывая дублируемые и доминируемые стратегии в игре с седловой точкой, мы все равно придем к игре с седловой точкой, т.е. к решению в чистых стратегиях. Но лучше сразу проверить, не обладает ли игра седловой точкой - это проще, чем сравнивать почленно все строки и все столбцы платежной матрицы.

Алгебраические методы решения матричных игр иногда производить проще, если использовать также следующие свойства матричных игр.

Свойство 1. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить (вычесть) одно и тоже число С, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а только цена игры увеличится (уменьшится) на это число С.

Свойство 2. Если каждый элемент платежной матрицы умножить на положительное число k, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а цена игры умножится на k.

Отметим, что эти свойства верны и для игр, имеющих седловую точку. Эти два свойства матричных игр применяются в следующих случаях:

1) если матрица игры наряду с положительными имеет и отрицательные элементы, то ко всем ее элементам прибавляют такое число, чтобы исключить отрицательные числа в матрице;

2) если матрица игры имеет дробные числа, то для удобства вычислений элементы этой матрицы следует умножить на такое число, чтобы все выигрыши были целыми числами.

24 Критерии решения матричной игры с природой в случае однократного принятия решения в условиях риска (Лапласа, Байеса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица).

Критерий Лапласа: оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш статистика при равенстве всех априорных вероятностях.

Критерий Байеса: в качестве оптимальной принимается чистая стратегия А_j, при кот. максимизируется средний выигрыш статистика.

Критерий Вальда: это максиминный критерий, и его можно сформулировать как для чистых, так и для смешанных стратегий. Этот критерий является критерием крайнего пессимизма, т.к здесь статистик исходит из предположения, что природа «действует» против него наихудшим образом, т.е реализует такие состояния П_j_,при кот. Величина его выигрыша принимает наименьшее значение. Исходя из этого статистик выбирает такую чистую стратегию А_j_,при кот. Наименьший выигрыш будет максимальным. Говоря иначе, оптимальной будет его максиминная чистая стратегия, а максимальным выигрышем – нижняя чистая цена игры а(альфа). Для смешанных стратегий: оптимальной смешанной стратегией считается та, при кот. его минимальный средний выигрыш максимизируется.

Критерий Сэвиджа: как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо здесь статистик исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию А_j_,при кот. минимизируется величина максимального риска.

Критерий Гурвица: критерий пессимизма-оптимизма, рекомендует рассчитывать на нечто среднее.

Алгоритм решения матричной игры. Пример.

Алгоритм:

1.На основании анализа платёжной матрицы следует определить, существуют ли в ней доминируемые стратегии, и исключить их.

2.Найти верхнюю и нижнюю цены игры и определить, имеет ли данная игра седловую точку (нижняя цена игры должна быть равна верхней цене игры).

3.Если седловая точка существует, то оптимальными стратегиями игроков, являющимися решением игры, будут их чистые стратегии, соответствующие седловой точке. Цена игры равна верхней и нижней цены игры, которые равны между собой.

4.Если игра не имеет седловой точки, то решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Для определения оптимальных смешанных стратегий в играх m × n следует использовать симплекс-метод, предварительно переформулировав игровую задачу в задачу линейного программирования.

Алгоритм управления запасами. Пример алгоритма с критическим уровнем.

Для того чтобы запас мог обеспечивать имеющуюся потребность, необходима реализация процесса управления запасами. Под управлением запасами понимается деятельность, направленная на обеспечение требуемого уровня запаса. Процесс управления запасами требует наличия алгоритма управления запасами.

1) определение объема потребности в запасе;
2) определение состава статей затрат, связанных с созданием и поддержанием запаса;
3) расчет оптимального размера заказа, пополняющего запас;
4) согласование условий пополнения запаса;
5) проектирование алгоритма управления запасами.

40. Понятие задачи сетевого планирования и управления (СПУ) и ее применение в менеджменте.

Для планирования работ и обеспечения эффективного оперативного контроля и регулирования в ходе их выполнения используется система сетевого планирования и управления (СПУ).

Система сетевого планирования и управления основана на графическом изображении комплекса работ, отражающем их логическую последовательность и взаимосвязь, а также длительность. Составленный план-график оптимизируется и используется для управления ходом работ при их выполнении.

При применении СПУ модель процесса изображается в виде ориентированного графика, который называется сетевым графиком или просто сетью. График состоит из работ и событий. Работой называется процесс, требующий для ее выполнения трудовых затрат и времени. Например, разработка технического задания, изготовление макета и т.д. Событие завершает работу. По содержанию оно отражает результат предшествующей работы и не имеет продолжительности. Работы в сетевом графике изображаются стрелками, события кружками.

При параллельном выполнении двух или более работ, имеющих единое исходное событие и ведущих к единому результирующему событию, вводится фиктивная работа, изображаемая на графике в виде пунктирной стрелки. Фиктивная работа означает, что для перехода от одного события к другому не требуется затрачивать ресурсы (временные, трудовые), она моделирует лишь логическую последовательность и взаимосвязь событий.

Каждому событию и работе присваивается свой шифр. Для события – это его порядковый номер, для работы – номера ее исходного и завершающего события

В основе методики СПУ лежит анализ полных и частичных (промежуточных) путей сетевого графика. Полный путь представляет собой любую непрерывную последовательность работ от исходного события до завершающего. Из всех полных путей главное значение имеет максимальный, который называется критическим, так как он определяет длительность всей совокупности работ.

В сложных графиках может быть несколько критических путей. Сетевое планирование предусматривает, прежде всего, выявление работ, лежащих на критическом пути, с целью последующего первоочередного контроля хода выполнения этих работ.

Процесс СПУ состоит из следующих этапов:

· построение сетевого графика и определение времени выполнения работ;

· определение критического пути и резервов времени;

· анализ и оптимизация сетевого графика;

· применение сетевого графика для управления ходом выполнения работ.

Понятие модели. Свойство изоморфизма и гомоморфизма модели.

Понятие системы массового обслуживания (СМО). Примеры СМО в экономике.

Т.о основными элементами СМО являются: -входящий поток заявок; -очередь

-поток необслуженных заявок; -каналы обслуживания; -выходящий поток обслуженных заявок.

По числу каналов обслуживания СМО: одноканальные, многоканальные

В зависимости от возможности образования очереди: с отказами обслуживания, с очередью

12 3 4 Следующая ⇒