Вероятности состояний СМО. Предельные вероятности состояний.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пусть имеется физическая система S={S₁, S₂, …S_n}, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что l_ij=const, т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравненияпри заданных начальных условиях, мы получим p₁(t), p₂(t), … p_n(t), при любом t. Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t®¥. Будут ли функции p_i(t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1, 2, …n), .

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p_i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением .

Основные формулы для вычисления финальных вероятностей состояний СМО. Пример использования формул.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.

где - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0, 2; 0, 3 и 0, 5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.

Вопрос 8

p_{S - 1} λ _{S - 1, S}+ p_S+1 λ _{S + 1, S}- p_S(λ _{S - 1, S} + λ _{S + 1, S}) = 0, s = 0, R

Пример:

s = 0 – p₁λ ₁₀ – p₀λ ₀₁ = 0

s = 1 - p₀λ ₀₁+ p₂λ ₂₁- p₁(λ ₁₀ + λ ₁₂) = 0

s = 3 - p₁λ ₁₂+ p₃λ ₃₂- p₂(λ ₂₁ + λ ₂₃) = 0

Вопрос 9

Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, …, Sk, …, Sn, …, — нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 — в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 — занят один канал, остальные свободны; S2 — заняты два канала, остальные свободны;..., Sk — занято k каналов, остальные свободны;..., Sn — заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 — заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., Sn+r — заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

Вопрос 10

λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

– интенсивность обслуживания, t_об – среднее время обслуживания одного клиента