Как производится изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.

Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с - модуль комплексного числа;
φ - аргумент;
a - вещественная часть комплексного числа;
b - мнимая часть;
j - мнимая единица, j = √ -1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).

Умножим комплексное число на множитель . Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β .

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω . Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

 

Амплитуда результирующего тока , начальная фаза - .

Мгновенное значение результирующего тока

.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

- закон Ома; (6.4)

- первый закон Кирхгофа; (6.5)

- второй закон Кирхгофа. (6.6)

Изображения синусоидальных функций времени в векторной форме

При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими. Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию . Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону. Пусть отрезок прямой длиной I_m начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени . Когда отрезок повернется на угол α ₁, проекция его . Откладывая углы α ₁, α ₂, ... на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой - на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 6.1).

Рис. 6.1

 

Пусть даны два синусоидальных тока: и .

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

Представим синусоидальные токи i₁ и i₂ в виде двух радиус - векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I_1m и I_2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ ₁ и φ ₂ относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I_1m и I_2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I_3m. Отрезок расположен под углом φ ₃ относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 6.2). Векторная диаграмма - это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

 

 

 

 

Рис. 6.2

 

Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки.
Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Cпряжение модальных глаголов в простом прошедшем времени
2. E) Воспитание сознательного отношения, склонности к труду как основной жизненной потребности путем включения личности в активную трудовую деятельность.
3. I. Драма одаренного ребенка, или как становятся психотерапевтами.
4. I. Поставьте глаголы в Simple Past и Future Simple, употребляя соответствующие наречия времени. Запишите полученные предложения и переведите их на русский язык.
5. I. Философия как мировоззрение, основной круг проблем
6. I.1 Творчество как средство социализации и развития личности
7. II.1 Досуг как средство творческой самореализации личности
8. III. Поставьте глагол-сказуемое в нужной форме (Present, Past, Future Indefinite)
9. III. Презрение как заколдованный круг .
10. MS Word. Как поменять начертание шрифта на полужирный?
11. Non Role-Play (сокращение NonRP) - нереальная игра, действие, как данный персонаж не поступил бы в жизни. Нарушение RP режима.
12. PAGE7. ЭКСПЕРИМЕНТ КАК МЕТОД ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ