Пересечение геометрических образов в пространстве и на плоскости

Позиционные задачи

Пересечение геометрических образов в пространстве и на плоскости

Задачи, связанные с выявлением взаимного положения геометрических образов относительно друг друга, называются позиционными. В пространстве линии и поверхности могут пересекаться и могут не иметь пересечения. Это открытые позиционные задачи, под которыми понимаются такие задачи, когда для определения искомого элемента не требуется никаких построений, кроме задания самих геометрических образов. В пространстве в общем случае две поверхности n-гои m-го порядка (φ ⁿ и ψ ^m) пересекаются по пространственной кривой линии n× m-го порядка (f ^nm) В частном случае эти лини могут распадаться на плоские кривые или прямые линии и быть мнимыми. Поверхность n-го порядка φ ⁿ в общем случае пересекается с плоскостью α по кривой n-го порядка f ⁿ. Две плоскости пересекаются по прямой линии, которая может быть в бесконечности, если они параллельны. Кривая n -го порядка f ⁿ в общем случае пересекается с поверхностью m-го порядка ψ ^m в n× m точках. Прямая линия l пересекается с поверхностью n-гопорядка φ ⁿ в n точках. Прямая линия l пересекается с плоскостью α в одной точке, которая может быть в бесконечности, если они параллельны. На плоскости круг позиционных задач на пересечение геометрических образов значительно сужается. Если в пространстве две линии в общем случае не имеют пересечения, то на плоскости это единственная открытая позиционная задача. Две прямые линии (l и k)пересекаются в одной точке, прямая линия l и кривая линия n-го порядка f ⁿ пересекаются в n точках, в общем случае две кривые линии n-го и m-го порядков (f ⁿ и q ^m)пересекаются в n× m точках. На рис. 4.1 приведена общая схема позиционных задач в пространстве и на плоскости. В результате операции проецирования пространственные позиционные задачи распадаются на плоскости из-за невозможности выделения некоторых образов и осуществления их алгоритма. При использовании метода двух изображений геометрические образы пространства однозначно моделируются набором геометрических образов меньшей размерности и задают всевозможные преобразования на плоскости (на пример, модель плоскости – гомология, поверхность второго порядка – квадратичное преобразование). Таким образом, открытые позиционные задачи в пространстве переходят на плоскости в закрытые позиционные задачи, для решения которых необходимо реализовывать алгоритмы построения соответственных образов в заданных преобразованиях. Возникает вопрос: как вывить эти алгоритмы и сколько их? Для решения пространственных позиционных задач на пересечение геометрических образов на ортогональном чертеже используют вспомогательные посредники общего и частного положения (плоскости и поверхности), дополнительные проекции и другие преобразования чертежа.

Рис. 4.1. Схема позиционных задач

Пересечение геометрических образов общего положения

Для решения позиционных задач на пересечение геометрических образов общего положения можно использовать дополнительные проекции или преобразования чертежа так, чтобы хотя бы один из пересекающихся образов стал проецирующим. Тогда в дополнительной проекции или на преобразованном чертеже вышеизложенным методом определяются искомые точки или линия пересечения, а затем их переносят в исходное положение. Для решения позиционных задач на пересечение геометрических образов общего положения удобно также использовать посредники частного положения (плоскости или поверхности), которые пересекают заданные геометрические образы по каким-то линиям, на пересечении этих линий получаются общие точки, принадлежащие обоим геометрическим образам. При решении задач на пересечение на пересечение прямой линии с плоскостью или поверхностью посредники проводятся через заданную прямую линию. Затем строится линия пересечения вспомогательной плоскости и заданной плоскости или поверхности, на пересечении этой линии и заданной прямой линии получаются искомые точки (или точка) пересечения. Для решения одной задачи можно использовать различные методы, но всегда желательно выбрать самый рациональный метод. Выбор метода решения конкретных задачи зависит от заданных геометрических образов, их взаимного расположения и относительно плоскостей проекций. При сравнении методов решений задач под рациональным методом понимается такой метод, который содержит меньшее количество операций алгоритма, более простые линии построения и более высокую точность построений. Графические построения на плоскости состоят из проведения линий через точки и получения точки на пересечении двух линий. При проведении прямой линии через две точки точность графических построений зависит от расстояния между точками, чем больше расстояние, тем выше точность. А при построении точки пересечения двух линий точность графических построений зависит от угла между линиями, самая высокая точность получается, когда угол между линиями ближе к прямому углу (90º ), чем острее угол, тем ниже точность.

Пересечение плоскостей

Решение задач не пересечение двух плоскостей общего положения также можно осуществлять различными способами. Более рациональные построения получаются, если вводить в качестве посредников проецирующие плоскости. Так как в пересечении двух плоскостей получается прямая линия, то достаточно проведения двух вспомогательных плоскостей. Если две плоскости α и β заданы следами, то посредниками могут служить плоскости проекций (рис. 4.10). Фронтальные следы плоскостей α _{π 2} и β _{π 2}пересекаются в точке N. Если точка пересечения горизонтальных следов не доступна, то можно ввести вспомогательную горизонтальную плоскость γ, которая пересекает заданные плоскости по горизонталям h и h', на их пересечении получается ещё одна общая точка 1.

Рис. 4.10. Пересечение двух плоскостей общего положения

При задании двух плоскостей ограниченными фигурами (пластинками) удобнее проводить вспомогательные плоскости через стороны одной из фигур, т.е. разбить задачу на пересечение двух плоскостей на две задачи на пересечение прямой с плоскостью. Рассмотрим пример. Пусть заданы две плоскости α и β : треугольник АВС и EFK (рис.4.11). Все стороны треугольников будут иметь явное или на продолжении пересечение с плоскостью другого треугольника. Но желательно вспомогательные плоскости проводить через те стороны треугольников, которые имеют явное пересечение в пределах заданных пластинок. В нашем примере обе проекции стороны ЕF треугольника EFK накладываются на проекции треугольника АВС, значит, проведем вспомогательную плоскость через неё, например, фронтально проецирующую плоскость γ , и решая задачу на пересечение прямой с плоскостью (см. 4.3.1, рис.4.6), получим общую точку 1. Повторяя этот приём ещё раз для стороны ВС (через прямую ВС проведена горизонтально проецирующая плоскость δ ), получим вторую общую точку 2 двух плоскостей. Через полученные точки проходит искомая линия пересечения двух треугольников. Так как заданы линейные образы, то видимость определяется один раз на каждой проекции.

Рис. 4. 11. Пересечение плоскостей двух треугольников

Пересечение поверхностей.

Для определения линия пересечения двух поверхностей можно использовать различные способы решения: методконцентрических сферических посредников, метод эксцентрических сферических посредников, метод секущих плоскостей, преобразования чертежа и определение линии пересечения из условия принадлежности поверхности. Выбор метода решения зависит от характера задаваемых поверхностей, их взаимного положения и расположения по отношению к плоскостям проекций.

Метод секущих плоскостей

Для решения задач на пересечение двух поверхностей вращения с параллельными осями можно использовать вспомогательные плоскости, перпендикулярные к осям вращения. В этом случае поверхности пересекаются с плоскостями по окружностям, на пересечении которых лежат точки искомой линии пересечения. Метод секущих плоскостей может рассматриваться как частный случай метода сфер с бесконечно большим радиусом. На рис. 4.19 приведён пример решения задачи на пересечение сферы с конусом вращения. Вспомогательные горизонтальные плоскости α пересекают поверхности по окружностям, которые на π ₂ вырождаются в прямые линии, совпадающие с фронтальными следами вспомогательных плоскостей α _{π 2}, а на π ₁изображаются без искажения. На пересечении получаемых окружностей определяются общие точки поверхностей.

Рис. 4.19. Метод секущих плоскостей

Для определения линии пересечения двух линейчатых поверхностей необходимо построить множество точек, принадлежащих одновременно образующим одной и другой поверхностям. Эту задачу можно рассматривать как многократное решение задачи на пересечение прямой линии с линейчатой поверхностью. Для решения задач на пересечение двух линейчатых конических или цилиндрических поверхностей можно также использовать вспомогательные плоскости, проходящие через вершины конусов или параллельные образующим цилиндров, которые будут пересекать заданные поверхности по образующим. Пусть заданы коническая и цилиндрическая поверхности. Коническая поверхность задается вершиной конуса S и направляющей q, а цилиндрическая поверхность – направлением образующих R и направляющей m (рис. 4.20).

S₂

Рис. 4.20. Схема решения задачи на пересечение конической и цилиндрической поверхностей

Для решения этой задачи используем вспомогательные плоскости, проходящие через вершину конуса и параллельно направлению. Всё множество плоскостей образует пучок плоскостей с осью s, горизонтальные следы этих плоскостей представляют собою пучок прямых с центром в точке S^*, являющейся следом прямой s. Точки Q и M, в которых след вспомогательной плоскости пересекает направляющие поверхностей q и m, определяют положение образующих на поверхностях, по которым происходит пересечение вспомогательных плоскостей и заданных поверхностей. На пересечении образующих, лежащих вы одной вспомогательной плоскости, получаются общие точки заданных поверхностей, принадлежащие линии пересечения. Решение этой задачи может быть трактовано как построение дополнительной проекции на заданных поверхностей из центра или в направлении (см. 2.4, рис. 2.25). Тогда одна поверхность станет проецирующей, и горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей будет совпадать с вырожденной проекцией одной поверхности (т.е. будет уже задана), а фронтальная проекция линии пересечения определится как недостающая проекция линии на другой поверхности (см. 4.2).

Для решения задач на пересечение двух поверхностей можно использовать вспомогательные цилиндрические или конические поверхности. Этот метод используют в тех случаях, когда требуется определить линию пересечения двух поверхностей, из которых одна линейчатая поверхность (цилиндрическая или коническая), а другая произвольная поверхность вращения. Вспомогательные конические или цилиндрические поверхности проводят через вершину заданной конической поверхности или параллельно направляющим заданного цилиндра.

Позиционные задачи

Пересечение геометрических образов в пространстве и на плоскости

Рис. 4.1. Схема позиционных задач

12 3 4 Следующая ⇒