Пересечение прямой линии с поверхностью

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Точки пересечения прямой линии с поверхностью называют точками входа и выхода или точками проницания. Рассмотрим решение задачи на пересечение прямой линии l с конической поверхностью φ . Проведем вспомогательную плоскость α через прямую линию и вершину конуса (рис.4.7). Эта плоскость пересекает конус по прямолинейным образующим, проходящим через вершину конуса S и точки пересечения следа плоскости α _{π 1} и основания конуса. Для определения горизонтального следа плоскости можно найти горизонтальные следы заданной прямой линии l (М₁) и дополнительной прямой линии k, проходящей через вершину конуса S и произвольную точку А на прямой l (N₁). На пересечении этих образующих и заданной прямой получаются искомые точки. Решение этой задачи можно трактовать как построение дополнительной проекции конуса и прямой линии и из вершины конуса S на горизонтальную плоскость проекций π ₁. Поверхность конуса становится проецирующей и отобразится окружностью основания конуса, а проекция прямой линии совпадет со следом плоскости α _π₁. При этом алгоритм решения задачи на ортогональном чертеже не изменится.

Рис. 4.7. Пересечение прямой линии с конусом

Решение задач на пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью осуществляется подобным образом, только вспомогательная плоскость или направление проецирования будет параллельно образующим цилиндра.

Рассмотрим задачу на пересечение прямой линии l со сферой φ . Проведем через прямую линию l вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость α (рис. 4.8). Эта плоскость пересекает сферу по окружности q, которая будет искажаться во фронтальной проекции в виде эллипса. Чтобы не строить множество точек эллипса, введем дополнительную плоскость проекций π ₄, перпендикулярную к горизонтальной плоскости проекций и параллельную заданной прямой и вспомогательной плоскости (см. 2.4, рис. 2.22).

Рис. 4.8. Пересечение прямой линии со сферой

Рассмотрим пример решения задачи на пересечение прямой линии l с тором φ (рис. 4.9). Проведем через прямую линию l вспомогательную фронтально проецирующую плоскость α (рис. 4.8). Эта плоскость пересекает тор по окружности q, которая будет искажаться в горизонтальной проекции в виде эллипса. Чтобы не строить множество точек эллипса, повернем заданную прямую линию и полученную окружности q вокруг оси тора до горизонтального положения. При этом окружность q совпадет с очерковой образующей тора q^', а все точки прямой линии будут перемещаться по окружностям в плоскостях перпендикулярных к оси вращения (см. 3.2, рис. 2.5). Точка пересечения 1 прямой линии с осью будет неподвижна. Для определения повернутого положения прямой линии l^', достаточно построить повернутое положение ещё одной точки 2^' на прямой линии. Пересечение l^'и q^' определяет точки входа и выхода в повернутом положении. Повернем их в исходное положение и получим искомые точки пересечения L и К.

Рис. 4.9. Пересечение прямой линиис тором

Пересечение плоскостей

Решение задач не пересечение двух плоскостей общего положения также можно осуществлять различными способами. Более рациональные построения получаются, если вводить в качестве посредников проецирующие плоскости. Так как в пересечении двух плоскостей получается прямая линия, то достаточно проведения двух вспомогательных плоскостей. Если две плоскости α и β заданы следами, то посредниками могут служить плоскости проекций (рис. 4.10). Фронтальные следы плоскостей α _{π 2} и β _{π 2}пересекаются в точке N. Если точка пересечения горизонтальных следов не доступна, то можно ввести вспомогательную горизонтальную плоскость γ, которая пересекает заданные плоскости по горизонталям h и h', на их пересечении получается ещё одна общая точка 1.

Рис. 4.10. Пересечение двух плоскостей общего положения

При задании двух плоскостей ограниченными фигурами (пластинками) удобнее проводить вспомогательные плоскости через стороны одной из фигур, т.е. разбить задачу на пересечение двух плоскостей на две задачи на пересечение прямой с плоскостью. Рассмотрим пример. Пусть заданы две плоскости α и β : треугольник АВС и EFK (рис.4.11). Все стороны треугольников будут иметь явное или на продолжении пересечение с плоскостью другого треугольника. Но желательно вспомогательные плоскости проводить через те стороны треугольников, которые имеют явное пересечение в пределах заданных пластинок. В нашем примере обе проекции стороны ЕF треугольника EFK накладываются на проекции треугольника АВС, значит, проведем вспомогательную плоскость через неё, например, фронтально проецирующую плоскость γ , и решая задачу на пересечение прямой с плоскостью (см. 4.3.1, рис.4.6), получим общую точку 1. Повторяя этот приём ещё раз для стороны ВС (через прямую ВС проведена горизонтально проецирующая плоскость δ ), получим вторую общую точку 2 двух плоскостей. Через полученные точки проходит искомая линия пересечения двух треугольников. Так как заданы линейные образы, то видимость определяется один раз на каждой проекции.

Рис. 4. 11. Пересечение плоскостей двух треугольников

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒