Численное интегрирование. Погрешность формул.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

, (1), где f(x) — заданная функция. На отрезке [а, b]вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число (2)

где — значения функции f(x) в узлах x= , — весовые множители (веса), зависящие только от узлов, но не зависящие *т выбора f(x). Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов { } и таких весов { }, чтобы погрешность квадратурной формулы

была минимальной для функций из заданного класса (величина D[F] зависит от гладкости f(х)).

Часто численное моделирование в физике называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с лабораторным экспериментом.

Лабораторный эксперимент	Вычислительный эксперимент
Образец Физический прибор Калибровка прибора Измерение Анализ данных	Модель Программа для компьютера Тестирование программы Расчет Анализ данных

Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инструментом познания качественных закономерностей природы. Важнейшим его этапом, когда расчеты уже завершены, является осознание результатов, представление их в максимально наглядной и удобной для восприятия форме. Забить числами экран компьютера или получить распечатку тех же чисел не означает закончить моделирование (даже если числа эти верны). Тут на помощь приходит другая замечательная особенность компьютера, дополняющая способность к быстрому счету - возможность визуализации абстракций. Представление результатов в виде графиков, диаграмм, траекторий движения динамических объектов в силу особенностей человеческого восприятия обогащает исследователя качественной информацией.

При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Каждый понимает, что предмет, сброшенный с большой высоты, вовсе не движется равноускоренно, так как по мере набора скорости возрастает сила сопротивления среды. Даже эту, относительно несложную, задачу нельзя решить средствами «школьной» физики; таких задач, представляющих практический интерес, очень много. Прежде чем приступать к обсуждению соответствующих моделей, вспомним, что известно о силе сопротивления.

Закономерности носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. О силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она, вообще говоря, растет с ростом скорости (хотя это утверждение не является абсолютным). При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение , где k₁ определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика - это формула Стокса, где m - динамическая вязкость среды, R - радиус шарика. Так, для воздуха при t= 20°С и давлении 1 атм = 0, 0182 Н-с-м², для воды 1, 002Н-с-м², для глицерина 1480Н-с-м².

Оценим, при какой скорости для падающего вертикально шара сила сопротивления сравняется с силой тяжести (и движение станет равномерным). Имеем

Пусть r=0, 1м, r=0, 8*10³ кг/м³ (дерево). При падении в воздухе v*=960м/с, в воде v*=17 м/с, в глицерине v*=0, 012 м/с. На самом деле первые два результата совершенно не соответствуют действительности. Дело в том, что уже при гораздо меньших скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: Fсопр = k₂v². Разумеется, линейная по скорости часть силы сопротивления формально также сохранится, но если

k₂v²»k₁v, то вкладом k₁v можно пренебречь (это конкретный пример ранжирования факторов). О величине k₂ известно следующее: она пропорциональна площади сечения тела S, поперечного по отношению к потоку, и плотности среды Pсреды и зависит от формы тела. Обычно представляю k₂=0, 5сSP_среды, где с - коэффициент лобового сопротивления - безразмерен.

При достижении достаточно большой скорости, когда образующиеся за обтекаемым телом вихри газа или жидкости начинают интенсивно отрываться от тела, значение с в несколько раз уменьшается; для шара оно становится приблизительно равным 0, 1. Подробности можно найти в специальной литературе.

Вернемся к указанной выше оценке, исходя из квадратичной зависимости силы сопротивления от скорости. Имеем:

для шарика

Примем r = 0, 1. м, r = 0, 8*10³ кг/м3 (дерево).

Тогда для движения в воздухе (Рвозд=1, 29кг/м³) получаем v*=18м/с, в воде (Pводы=1*10³кг/м³) v*=0, 65м/с, в глицерине (Pглицерина=1, 26*10³кг/м³) v*=0, 58м/с. Сравнивая с приведенными выше оценками линейной части силы сопротивления, видим, что для движения в воздухе и в воде ее квадратичная часть сделает движение равномерным задолго до того, как это могла бы сделать линейная часть, а для очень вязкого глицерина справедливо обратное утверждение.

Задачи оптимизации.

Очень широкий класс задач составляют задачи оптимизации или, как их еще называют, экстремальные задачи. Обычно их решение сопряжено с большим количеством вычислений, что затрудняет их решение вручную. Мы рассмотрим следующие типы задач оптимизации:

ü решение уравнений с одним неизвестным,

ü задачи линейного программирования;

ü аппроксимация функций.

Постановка задачи оптимизации

В задачах оптимизации требуется найти значения параметров или функций, реализующих максимум или минимум некоторой зависящей от них величины, например: Z=f(x₁, x₂, …, x_n) (7.4)

часто при дополнительных условиях-неравенствах:

φ (x₁, x₂, …, x_n) < =0 (i=1, 2, …, n) (7.5)

Во многих инженерных и экономических задачах, например, желательно найти максимум меры выполнения или минимум стоимости.

Другим приложением задач оптимизации является получение приближенных решений выбором неизвестных значений параметров или функций так, чтобы они давали минимум ошибки.

В простейшем случае одной независимой переменной х локальные максимум и минимум функции определяются следующим образом. Действительная функция f(x), определенная при х=а, имеет в точке а (локальный) минимум или (локальный) максимум f(a), если существует такое положительное число δ , что при всех Δ x = х - а, для которых выполняются неравенства 0< \Δ х\< δ и существует значение f(a+Δ x), соответственно или

Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции. Определение локальный подчеркивает тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки а. При решении оптимизационных задач важно нахождение не локальных экстремумов, а глобального максимума или глобального минимума (наибольшего или наименьшего значений) функции на промежутке X.

Для поиска экстремумов существуют различные методы. Часто случается, что при отыскании максимумов и минимумов функций многих переменных получают сложную систему уравнений, в этих случаях экстремумы находятся численными методами, то есть при помощи последовательного применения метода проб. При этом применение компьютера является практически единственным способом решения задачи.

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒