Моделирование стохастических систем. Метод статистических испытаний. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Общий алгоритм моделирования ДСВ.

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 45Следующая ⇒

В природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции системы (случайный процесс). «Случайный» - не значит «непредсказуемый»; просто характер исследования, задаваемых вопросов резко меняется. Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.

Метод статистических испытаний (Монте-Карло), так же как и теория вероятностей и математическая статистика, применяется в тех экономических задачах, в которых решение определяется случайными факторами и обстоятельствами. Метод Монте-Карло позволяет искусственно моделировать случайные процессы в тех случаях, когда установление аналитических моделей невозможно или затруднительно. Многие экономические ситуации связаны с процессами массового обслуживания покупателей-потребителей. Обслуживаемые объекты называют каналами или аппаратами обслуживания. Требования (заказы) на обслуживание называют заявками. Теория массового обслуживания ставит своей задачей организовать обслуживание таким образом, чтобы длина очереди была минимальной, а время прохождения заявки – оптимальным. При этом должно обеспечиваться минимальное время простоя помещений, оборудования и персонала системы обслуживания и ее максимальная нагрузка. Для решения задачи необходимо уметь рассчитывать следующие показатели системы обслуживания:

1. вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся свободными: , где к – количество занятых каналов, n – общее число каналов обслуживания, a=lt₀, l - средне ожидаемое количество заявок на обслуживание в единицу времени (плотность потока заявок), t₀ – среднее время обслуживания одной заявки.

2. средне ожидаемое число свободных каналов: , где Pn – вероятность того, что все каналы будут заняты: .

3. вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся занятыми: .

4. средне ожидаемое число занятых каналов: .

5. доля загрузки каналов (за время обслуживания): .

6. вероятность того, что K каналов заняты: .

Описанный прием получил название метода статистических испытаний

Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. С понятием случайной величины тесно связано понятие вероятности.

Вероятность = Число интересующих нас событий/Общее число событий

По вероятности события можно разделить на “необходимые” и “случайные”. Случайность окружает наш мир и чаще всего играет отрицательную роль в нашей жизни. Имеет смысл положить случайность в основу методов получения решения посредством проб и ошибок, путем случайного поиска. Для моделирования равномерно распределенных случайных величин в интервале от 0 до 1 в ЭВМ используется датчик случайных чисел ¾ функция RND (выдает последовательность случайных величин, равномерно распределенных от 0 до 1).Таким образом, суть компьютерного эксперимента заключается в обращении к датчику RND для получения координат точки х и у N раз. При этом определяется, попадет ли точка (х, у) в круг единичного радиуса. В случае попадания увеличивается величина Nкр.

Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принять, можно пронумеровать. Число этих значений может быть и неограниченным, нужно лишь, чтобы мог быть указан метод нумерации, при котором не будет пропущено ни одного возможного значения случайной величины. Законом распределения случайной величины X называется соответствие между значениями случайной величины и вероятностями их реализации. Закон распределения может быть задан в виде таблицы, формулы или графика. Распределение дискретной случайной величины называется дискретным распределением. Интегральным законом распределения или интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности Р(Х < х), то есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х: F(x) = P(X< x). (8.4)

Если возможные значения X ограничены снизу величиной M₁ то F(M₁)= 0. Если возможные значения X ограничены сверху величиной М₂, то F(M₂+Δ )=1, где Δ — положительная величина.

Если а < b, то на основании теоремы сложения вероятностей справедливо равенство:

Р(Х < а) + Р(а< =Х< b) = Р(Х < b), откуда на основании (8.4) следует:

F(b)-F(a) = P(a< =x< b), то есть вероятность для случайной переменной принять значение, лежащее между а и b, равна разности интегральных функций распределения для значений b и а.

В качестве примера построения интегрального закона распределения возьмем электролампу, которая многократно включается и выключается. Вероятность перегорания лампы при одном включении и выключении равна р. Необходимо рассмотреть случайную величину — порядковый номер включения и выключения, при которых лампа перегорит, и найти ее распределение.

Эта случайная переменная имеет, очевидно, бесконечно большое число возможных значений. Вероятность того, что лампа перегорит при k-м включении и выключении, равна произведению вероятности того, что она не перегорит при k-1 первых включениях и выключениях, на вероятность того, что при k-м включении и выключении она перегорит: (1-p)^k-¹p, k=i, 2,....

Следовательно, возможные значения случайной переменной: 1, 2,..., k, ... имеют соответственно вероятности: p, (1 -p)p,..., (1 –р)^k^-1 р,....

Вероятность того, что лампа не перегорит после k включений и выключений равна (1 - р)^k, поэтому интегральный закон распределения:

F(k)=1-(1-р)^k, k=1, 2..... что можно получить и суммированием вероятностей значений случайной переменной до k- 1.

⇐ Предыдущая 14 15 16 17 181920 21 22 23 Следующая ⇒